中值定理與導(dǎo)數(shù)習(xí)題

1、習(xí)題3一、填空題1設(shè)，則有_個根，它們分別位于_區(qū)間；2函數(shù)在上滿足拉格朗日定理條件的；函數(shù)與在區(qū)間上滿足柯西定理條件的；4函數(shù)在上滿足拉格朗日中值定理條件的；6；7;8函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是；9設(shè)在可導(dǎo)，則是在點處取得極值的條件；10函數(shù)在及取得極值，則；11. 函數(shù)的極小值是;12函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；13. 函數(shù)的極小值點是；14. 函數(shù)在上的最大值為，最小值為；14. 函數(shù)在的最小值為;15. 設(shè)點是曲線的拐點,則;16. 曲線的下凹區(qū)間為,曲線的拐點為;17. 曲線的上凹區(qū)間為;18. 曲線的拐點為;19. 若是的四次多項式函數(shù),它有兩個拐點,并且在點處的切線平行于軸,那么函數(shù)的表達式是;

2、20. 曲線的拐點為;21. 曲線的水平漸近線的方程是,垂直漸近線的方程是;22. 的垂直漸近線為; 水平漸近線為;23. 曲線在的曲率;24. 曲線的曲率計算公式為;25. 拋物線在頂點處的曲率為;二. 單項選擇題1. 羅爾定理中的三個條件;在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且是在內(nèi)至少存在一點,使得成立的( ).必要條件 充分條件 充要條件 既非充分也非必要2. 函數(shù)，則（ ）.在任意閉區(qū)間上羅爾定理一定成立； 在上羅爾定理不成立；在上羅爾定理成立 ； 在任意閉區(qū)間上，羅爾定理都不成立；3. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間上可導(dǎo),且,則必有( ).; ; 4. 下列函數(shù)在上滿足拉格朗日中值定理條件的是(

3、).; ; ;5. 函數(shù),它在內(nèi)( ).不滿足拉格朗日中值定理的條件; 滿足拉格朗日中值定理的條件,且;滿足中值定理的條件,但無法求出的表達式;不滿足中值定理條件,但有滿足中值定理的結(jié)論.6. 若在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且是內(nèi)任意兩點,則至少存在一點使得下式成立( ).;7. 設(shè)是內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù),是內(nèi)的任意兩點,則( ) .在之間恰有一個,使得在之間至少存在一點,使得對于與之間的任一點,均有8. 若在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且對內(nèi)任意兩點恒有,則必有( ).(常數(shù))9. 已知函數(shù),則方程有( ).分別位于區(qū)間內(nèi)的三個根;四個根,它們分別為;四個根,分別位于分別位于區(qū)間內(nèi)的三個根;10. 若為可導(dǎo)函數(shù),為開區(qū)間內(nèi)一

4、定點,而且有,則在閉區(qū)間上必總有( ).11. 若,則方程( ).無實根 有唯一實根 有三個實根 有重實根 12. 若在區(qū)間上二次可微,且 (),則方程在上( ).沒有實根 有重實根 有無窮多實根 有且僅有一個實根13. 求極限時,下列各種方法正確的是( ). 用洛必達法則后,求得極限為0;因為不存在,所以上述極限不存在;原式=因為不能用洛必達法則,故極限不存在;14. 設(shè)為未定型, 則存在是也存在的( ).必要條件 充分條件 充要條件 既非充分也非必要條件15. 若與可導(dǎo), 且,則( ).必有存在,且 必有存在,且如果存在,且 如果存在,不一定有16. 函數(shù)在( ).單調(diào)增加 單調(diào)減少 單調(diào)

5、增加,其余區(qū)間單調(diào)減少 單調(diào)減少,其余區(qū)間單調(diào)增加17. 已知在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且當(dāng)時,有,又,則( ).在上單調(diào)增加, 且;在上單調(diào)增加, 且;在上單調(diào)減少, 且;在上單調(diào)增加, 但正負符號無法確定.18. 當(dāng)時,有不等式( )成立.當(dāng)時,當(dāng)時當(dāng)時,當(dāng)時19. 函數(shù)的圖形,在( ).處處是凸的; 處處是凹的;為凸的,在為凹的 為凹的,在為凸的.20. 若在區(qū)間內(nèi),函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù),二階導(dǎo)數(shù),則函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)是( ).單調(diào)減少,曲線上凹; 單調(diào)增加,曲線上凹;單調(diào)減少,曲線下凹 單調(diào)增加,曲線下凹.21. 曲線的凹凸區(qū)間是( ).為其凹區(qū)間; 為其凸區(qū)間; 當(dāng)時,曲線是凸的, 時是凹的;當(dāng)時,

6、曲線是凹的, 時是凸的;22. 曲線( ).有一個拐點; 有二個拐點; 有三個拐點; 無拐點;23. 若點為曲線的拐點,則( ).必有存在且等于零; 必有存在但不一定等于零;如果存在,必等于零; 如果存在,必不等于零.24. 設(shè)函數(shù)在處有,在處不存在,則( ).及一定都是極值點; 只有是極值點;及都可能不是極值點; 及至少有一個點是極值點.25. 曲線 ( ).有極值點,但無拐點; 有拐點,但無極值點;是極值點, 是拐點; 既無極值點又無拐點.26. 若連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上有唯一的極大值和極小值,則( ).極大值一定是最大值,極小值一定是最小值;極大值一定是最大值,或極小值一定是最小值;極大值不

7、一定是最大值,極小值不一定是最小值;極大值必大于極小值.27. 函數(shù)在區(qū)間上的最小值為( ).; 0 ; 1 ; 無最小值.28. 指出曲線的漸近線( ).沒有水平漸近線,也沒有斜漸近線;為垂直漸近線,無水平漸近線;既有垂直漸近線,又有水平漸近線;只有水平漸近線.29. 曲線的漸近線有( ).1條 ; 2條 ; 3條 ; 4條 ;30. 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo),且對于任意,當(dāng)時有,則( ).對于任意 ; 對于任意 ; 函數(shù)單調(diào)增加 ; 函數(shù)單調(diào)增加.31. 設(shè)函數(shù)在上則或的大小順序是( ).; ; .32. 設(shè)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,則( ).是的極大值; 是的極小值; 是曲線的拐點; 不是的極值, 不是曲線

8、的拐點.33. 在區(qū)間內(nèi),方程( ).無實根 ; 有且僅有一個實根; 有且僅有兩個實根; 有無窮多個實根34. 設(shè)時,與是同階無窮小,則為( ).1 ; 2 ; 3 ; 4 .35. 函數(shù)不可導(dǎo)點的個數(shù)是( ).3 ; 2 ; 1 ; 0 .36. 設(shè)函數(shù)在的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且為其極大值，則存在當(dāng)時，必有（ ）。； ；37 函數(shù)在取得極值，則（ ）。0 ； ； 1 ； 2 。38 下列曲線集郵水平漸近線，又有垂直漸近線的是（ ）。； ； 。39 設(shè)為正整數(shù)，則（ ）。； 1 ； 0 ； 40 =（ ）。1 ； ； ； 。三. 計算題1. 求下列極限: ;2.求極限: ;3.求極限: ;4. 求

9、極限: ; 5. 求極限: ;6. 求極限: ;7. 求極限: ;8. 求極限:; 9. 求極限: ; 10. 求極限: ; 11. 求極限: ; 12. 求極限: ;13. 求極限: ; 14. 求極限: . 15. 按(x-4)的冪展開多項式x4-5x3+x2-3x+4. 16. 應(yīng)用麥克勞林公式, 按x冪展開函數(shù)f(x)=(x2-3x+1)3. 17. 求函數(shù)按(x-4)的冪展開的帶有拉格朗日型余項的3階泰勒公式. 18. 求函數(shù)按(x+1)的冪展開的帶有拉格朗日型余項的n階泰勒公式. 19.求函數(shù)f(x)=tan x的帶有拉格朗日型余項的3階麥克勞林公式. 20. 判定函數(shù)f(x)=a

10、rctan x-x 單調(diào)性. 21. 判定函數(shù)f(x)=x+cos x (0£x£2p)的單調(diào)性.22. 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: y=2x3-6x2-18x-7;23. 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: (x>0); 24. 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: ;25. 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: y=(x-1)(x+1)3;26. 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: 27. 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: y=xne-x (n>0, x³0);28. 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: y=x+|sin 2x|. 29. 判定下列曲線的凹凸性: y=4x-x2 ;30. 判定下列曲線的凹凸性:

11、 (x>0);31. 判定下列曲線的凹凸性: y=x arctan x ; 32. 求下列函數(shù)圖形的拐點及凹或凸的區(qū)間: .y=x3-5x2+3x+5 ;33. 求下列函數(shù)圖形的拐點及凹或凸的區(qū)間 : y=xe-x ;34. 求下列函數(shù)圖形的拐點及凹或凸的區(qū)間: y=(x+1)4+ex ;35. 求下列函數(shù)圖形的拐點及凹或凸的區(qū)間 : y=ln(x2+1);36. 試決定曲線y=ax3+bx2+cx+d 中的a、b、c、d, 使得x=-2處曲線有水平切線, (1, -10)為拐點, 且點(-2, 44)在曲線上. 37. 試決定y=k(x2-3)2中k的值, 使曲線的拐點處的法線通過原點

12、.38. 求函數(shù)的極值: y=2x3-6x2-18x+7; 39. 求函數(shù)的極值: y=x-ln(1+x) ; 40. 求函數(shù)的極值: ; 41. 求函數(shù)的極值: ; 42. 求函數(shù)的極值: y=ex cos x ; 43. 求函數(shù)的極值: ; 44. 求函數(shù)的極值: y=x+tan x . 45. 試問a為何值時, 函數(shù)在處取得極值？它是極大值還是極小值？并求此極值.46. 求下列函數(shù)的最大值、最小值: y=2x3-3x2 , -1£x£4; 47. 問函數(shù)y=2x3-6x2-18x-7(1£x£4)在何處取得最大值？并求出它的最大值.48. 問函數(shù)(

13、x<0)在何處取得最小值？49. 問函數(shù)(x³0)在何處取得最大值？50. 求橢圓4x2+y2=4在點(0, 2)處的曲率.51. 求曲線y=lnsec x在點(x, y)處的曲率及曲率半徑.52. 求拋物線y=x2-4x+3在其頂點處的曲率及曲率半徑. 53. 求曲線x=a cos3t, y=a sin 3t在t=t0處的曲率.四.證明題1. 驗證羅爾定理對函數(shù)y=ln sin x 在區(qū)間上的正確性.2. 驗證拉格朗日中值定理對函數(shù)y=4x3-5x2+x-2在區(qū)間0, 1上的正確性.3. 對函數(shù)f(x)=sin x及F(x)=x +cos x在區(qū)間上驗證柯西中值定理的正確性.

14、4. 不用求出函數(shù)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的導(dǎo)數(shù)，說明方程f ¢(x)=0有幾個實根, 并指出它們所在的區(qū)間. 5證明恒等式: (-1£x£1). 6若方程a0xn+a1xn-1+ × × × + an-1x=0有一個正根x0, 證明方程a0nxn-1+a1(n-1)xn-2 + × × × +an-1 =0 必有一個小于x0的正根.7設(shè)a>b>0, n>1, 證明: nbn-1(a-b)<an-bn<nan-1(a-b) .8設(shè)a>b>

15、0, 證明: 9證明下列不等式:(1)|arctan a-arctan b|£|a-b|;(2)當(dāng)x>1時, ex>e×x .10證明方程x5+x-1=0只有一個正根. 11證明下列不等式: 當(dāng)x>0時, ;12. 證明下列不等式: 當(dāng)x>0時, ;13. 證明下列不等式: 當(dāng)時, sin x+tan x>2x; 14. 證明下列不等式: 當(dāng)時, ; 15設(shè)=0, 證明多項式f(x)=a0+a1x+× × ×+anxn在(0,1)內(nèi)至少有一個零點.16設(shè)f(x)在0, a上連續(xù), 在(0, a)內(nèi)可導(dǎo), 且f(a)

16、=0, 證明存在一點xÎ(0, a), 使f(x)+xf ¢(x)=0.17設(shè)0<a<b, 函數(shù)f(x)在a, b上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 試?yán)每挛髦兄刀ɡ? 證明存在一點xÎ(a, b)使.18設(shè)f(x)、g(x)都是可導(dǎo)函數(shù), 且|f ¢(x)|<g¢(x), 證明: 當(dāng)x>a時, |f(x)-f(a)|<g(x)-g(a). 19設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且連接點和的直線與交于點，證明：存在，使.20. 設(shè)在內(nèi)連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo),且為單調(diào)增函數(shù),令,證明:在為單調(diào)增函數(shù).21. 設(shè)函數(shù)對一切,

17、滿足方程,證明:當(dāng)在點處取得極值,則此極值必是極小值.22. 證明: 當(dāng)時,.五.應(yīng)用題1. 某車間靠墻壁要蓋一間長方形小屋, 現(xiàn)有存磚只夠砌20cm長的墻壁, 問應(yīng)圍成怎樣的長方形才能使這間小屋的面積最大？2. 某地區(qū)防空洞的截面擬建成矩形加半圓, 截面的面積為5m2, 問底寬x為多少時才能使截面的周長最小, 從而使建造時所用的材料最??？ 3. . 從一塊半徑為的圓鐵片上挖去一個扇形做成一漏斗(如圖), 問留下的扇形的中心角j取多大時, 做成的漏斗的容積最大？4. 求內(nèi)接于橢圓 且兩邊分別平行于坐標(biāo)軸的面積最大的矩形.5. 欲作一個容積為3000的無蓋圓柱形蓄水池,已知池底單位面積造價為池壁單位面積造價的3倍,問蓄水池的尺寸怎樣設(shè)計才能使得總造價最省?6.