中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用20728VIP

1、 第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用§3. 1 中值定理 一、羅爾定理 費(fèi)馬引理 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義, 并且在x0處可導(dǎo), 如果對(duì)任意xÎU(x0), 有 f(x)£f(x0) (或f(x)³f(x0), 那么f ¢(x0)=0. 羅爾定理 如果函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù), （2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), （3）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即, 那么在內(nèi)至少在一點(diǎn) , 使得函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零，即. 例:設(shè)函數(shù)在0,1上連續(xù)，在(0,1)上可導(dǎo)，證明：在(0,1)內(nèi)存在，使得【分析】本題的難點(diǎn)是構(gòu)造輔助函數(shù)，可如下分析：【證

2、明】令，則在0,1上連續(xù)，在(0,1)上可導(dǎo)，且,由羅爾中值定理知，存在，使得即例：設(shè)函數(shù)f(x), g(x)在a, b上連續(xù)，在(a, b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，f(a)=g(a), f(b)=g(b), 證明：存在，使得【分析】需要證明的結(jié)論與導(dǎo)數(shù)有關(guān)，自然聯(lián)想到用微分中值定理，事實(shí)上，若令，則問題轉(zhuǎn)化為證明, 只需對(duì)用羅爾定理，關(guān)鍵是找到的端點(diǎn)函數(shù)值相等的區(qū)間(特別是兩個(gè)一階導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn))，而利用F(a)=F(b)=0, 若能再找一點(diǎn)，使得，則在區(qū)間上兩次利用羅爾定理有一階導(dǎo)函數(shù)相等的兩點(diǎn)，再對(duì)用羅爾定理即可?！咀C明】構(gòu)造輔助函數(shù)，由題設(shè)有F(a)=F(b)=0. 又f(

3、x), g(x)在(a, b)內(nèi)具有相等的最大值, 不妨設(shè)存在, 使得，若，令, 則若，因，從而存在，使 在區(qū)間上分別利用羅爾定理知，存在，使得. 再對(duì)在區(qū)間上應(yīng)用羅爾定理，知存在，有， 即 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函數(shù)滿足（1）在閉區(qū)間上連續(xù), （2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), 那么在內(nèi)至少有一點(diǎn), 使得等式 例:. 證明當(dāng)x>0時(shí), . 證 設(shè)f(x)=ln(1+x), 顯然f(x)在區(qū)間0, x上滿足拉格朗日中值定理的條件, 根據(jù)定理, 就有 f(x)-f(0)=f ¢(x)(x-0), 0<x<x。由于f(0)=0, , 因此上式即為 .又由0&l

4、t;x<x, 有 .例 證明：當(dāng)0<b<a時(shí)，【分析】即證：【證明】令，在上使用拉格朗日中值定理，知存在所以，即 ，變形得證。例(真題)設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，證明（1）存在，使得（2）對(duì)（1）中的，存在使得證明：（1）因?yàn)?，?duì)于，存在,使得當(dāng)時(shí)，因此，由連續(xù)函數(shù)的介值性，存在，使得。（2）由拉格朗日中值定理，存在使得定理 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零, 那么f(x)在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù). 例:求證 .證 設(shè)，當(dāng)時(shí)有由推論1，在區(qū)間內(nèi)為一常數(shù)C，即下面確定常數(shù)C的值，不妨取，得所以當(dāng)時(shí)， 對(duì)于時(shí)，等式顯然成立，故命題得證. 三、柯西中值定理 柯西中值定理 如果函數(shù)f(x)及

5、F(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 且F ¢(x)在(a, b)內(nèi)的每一點(diǎn)處均不為零, 那么在(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x , 使等式 . 成立. 顯然, 如果取F(x)=x, 那么F(b)-F(a)=b-a, F ¢(x)=1, 因而柯西中值公式就可以寫成: f(b)-f(a)=f ¢(x)(b-a) (a<x<b), 這樣就變成了拉格朗日中值公式了. §3. 2 洛必達(dá)法則若，則 稱為的待定型。類似的待定型有：，。 一、型未定式定理1 設(shè)函數(shù)、滿足下列條件：（1），；（2）與在的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且；（3）存在

6、（或?yàn)闊o窮大），則這個(gè)定理說明：當(dāng)存在時(shí)，也存在且等于；當(dāng)為無窮大時(shí)，也是無窮大這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的極限值的方法稱為洛必達(dá)（ospital）法則.例:計(jì)算極限解:由洛必達(dá)法則，得注:若仍滿足定理的條件，則可以繼續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則，即例:計(jì)算極限解 例: 求極限 解例(真題)求極限【解析】二、型未定式定理2 設(shè)函數(shù)、滿足下列條件：（1），；（2）與在的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且；（3）存在（或?yàn)闊o窮大），則注：上述關(guān)于時(shí)未定式型的洛必達(dá)法則，對(duì)于時(shí)未定式型同樣適用例:計(jì)算極限解所求問題是型未定式，連續(xù)次施行洛必達(dá)法則，有在使用洛必塔法則時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：洛必塔法則

7、只適用于型或型的極限.如果仍是型或型,則可繼續(xù)使用洛必塔法則.如果不存在且不是,并不表明不存在,只表明洛必塔法則失效,這時(shí)應(yīng)用其他方法求解,即洛必達(dá)法則的條件是充分的，但不必要因此，在該法則失效時(shí)并不能斷定原極限不存在例:三、其它類型極限求法除型與型的未定式之外，還有 ，等未定式，對(duì)這類未定式求極限，通常是利用代數(shù)恒等變形轉(zhuǎn)化為或型，然后用洛必達(dá)法則進(jìn)行計(jì)算.例: 求.解 這是型，因此.例: 求解 這是型，因此 例9 求.解 這是型，因此 . §3. 3 泰勒公式 一、n階泰勒公式. n階帶有Lagrange型余項(xiàng)的Taylor公式定理1（泰勒） 若函數(shù)f在(a,b)上存在直到n階的

8、連續(xù)導(dǎo)函數(shù),在(a,b)內(nèi)存在n1階導(dǎo)函數(shù),則對(duì)任意給定的,至少存在一點(diǎn)使得： 在之間。2.帶有皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式定理2若函數(shù)f在(a,b)上存在直到n階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù),則對(duì)任意給定的 （1）稱為泰勒公式的余項(xiàng).3、 常用函數(shù)的麥克勞林公式二、應(yīng)用1.把函數(shù)展開成n階Maclaurin公式例： 把函數(shù)展開成含項(xiàng)的具Peano型余項(xiàng)的Maclaurin公式 .【解】 , .例： 把函數(shù)展開成含項(xiàng)的具Peano型余項(xiàng)的Maclaurin公式 .【解】 , .2.求的n階導(dǎo)數(shù)例 ，求.【解】又所以，3.利用Taylor公式求極限 例 求極限(1) (2).【分析】用泰勒公式求極限把函數(shù)展開到多少次方

9、呢？對(duì)于分子和分母有一個(gè)能確定次數(shù)的，把另一個(gè)展開到相同次數(shù)即可，例如：但是對(duì)于分子和分母都不能確定次數(shù)的，要以具體情況而定?！窘狻?1) 【點(diǎn)評(píng)】本題先確定分母展開的次數(shù)，至少展開到二階，確定了分母的次數(shù)后，以次確定分子展開的次數(shù)。(2) . §3. 4 函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性 一、函數(shù)單調(diào)性的判定法 定理1(函數(shù)單調(diào)性的判定法) 設(shè)函數(shù)y=f(x)在a, b上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)可導(dǎo). (1)如果在(a, b)內(nèi)f ¢(x)>0, 那么函數(shù)y=f(x)在a, b上單調(diào)增加; (2)如果在(a, b)內(nèi)f ¢(x)<0, 那么函數(shù)y=f(x)在

10、a, b上單調(diào)減少. 注: 判定法中的閉區(qū)間可換成其他各種區(qū)間. 例:確定函數(shù)f(x)=2x3-9x2+12x-3的單調(diào)區(qū)間. 解 這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)?(-¥, +¥). 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為:f ¢(x)=6x2 -18x +12 = 6(x-1)(x-2). 導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)有兩個(gè): x1 =1、x2 =2. 列表分析: (-¥, 11, 22, +¥)f ¢(x)+-+f(x)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-¥, 1和2, +¥)內(nèi)單調(diào)增加, 在區(qū)間1, 2上單調(diào)減少. 一般地, 如果f ¢(x)在某區(qū)間內(nèi)的有限個(gè)點(diǎn)處為

11、零, 在其余各點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時(shí), 那么f(x)在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的. 例 證明: 當(dāng)x>1時(shí), . 證明: 令, 則 . 因?yàn)楫?dāng)x>1時(shí), f ¢(x)>0, 因此f(x)在1, +¥)上f(x)單調(diào)增加, 從而當(dāng)x>1時(shí), f(x)>f(1). 由于f(1)=0, 故f(x)>f(1)=0, 即 , 也就是(x>1). 例(真題) 證明：當(dāng)時(shí)，證：令只需證明嚴(yán)格單調(diào)增加 嚴(yán)格單調(diào)減少又故單調(diào)增加（嚴(yán)格）得證 二、曲線的凹凸與拐點(diǎn) 定義 設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù), 如果對(duì)I上任意兩點(diǎn)x 1, x 2, 恒有,

12、 那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧); 如果恒有, 那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凸的(或凸弧). 凹凸性的判定: 定理 設(shè)f(x)在a, b上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù), 那么 (1)若在(a, b)內(nèi)f ¢¢(x)>0, 則f(x)在a, b上的圖形是凹的; (2)若在(a, b)內(nèi)f ¢¢(x)<0, 則f(x)在a, b上的圖形是凸的. 拐點(diǎn): 連續(xù)曲線y=f(x)上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為這曲線的拐點(diǎn). 確定曲線y=f(x)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的步驟: (1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域; (2)求出

13、在二階導(dǎo)數(shù)f¢¢ (x); (3)求使二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn); (4)判斷或列表判斷, 確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點(diǎn); 例 求曲線y=3x 4-4x 3+1的拐點(diǎn)及凹、凸的區(qū)間. 解: (1)函數(shù)y=3x 4-4x 3+1的定義域?yàn)?-¥, +¥); (2),; (3)解方程y¢¢=0, 得, ; (4)列表判斷: (-¥, 0) 0 (0, 2/3) 2/3 (2/3, +¥) f ¢¢(x) + 0 - 0 + f(x) È 1 Ç 11/27 È

14、在區(qū)間(-¥, 0和2/3, +¥)上曲線是凹的, 在區(qū)間0, 2/3上曲線是凸的. 點(diǎn)(0, 1)和(2/3, 11/27)是曲線的拐點(diǎn). 例: 問曲線y=x 4是否有拐點(diǎn)？ 解 y¢=4x 3, y¢¢=12x 2. 當(dāng)x ¹0時(shí), y¢¢>0, 在區(qū)間(-¥, +¥)內(nèi)曲線是凹的, 因此曲線無拐點(diǎn). 例: 求曲線的拐點(diǎn). 解 (1)函數(shù)的定義域?yàn)?-¥, +¥); (2) , ; (3)無二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn), 二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)為x=0; (4)判斷: 當(dāng)x<

15、0當(dāng), y¢¢>0; 當(dāng)x>0, y¢¢<0. 因此, 點(diǎn)(0, 0)是曲線的拐點(diǎn). §3. 5 函數(shù)的極值與最大值最小值 一、函數(shù)的極值及其求法 極值的定義: 定義 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義, 如果在去心鄰域U(x0)內(nèi)有f(x)<f(x0) (或f(x)>f(x0), 則稱f(x0)是函數(shù) f(x)的一個(gè)極大值(或極小值). 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值, 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn). 函數(shù)的極大值和極小值概念是局部性的. 如果f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值, 那只是就x

16、0 附近的一個(gè)局部范圍來說, f(x0)是f(x)的一個(gè)最大值; 如果就f(x)的整個(gè)定義域來說, f(x0)不一定是最大值. 關(guān)于極小值也類似. 定理1 (必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0 處可導(dǎo), 且在x0 處取得極值, 那么這函數(shù)在x0 處的導(dǎo)數(shù)為零, 即f ¢(x0)=0.注意，定理1僅是極值存在的必要條件，而非充分條件.如函數(shù)，在處有，但不是極值. 駐點(diǎn): 使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)(即方程f ¢(x) = 0的實(shí)根)叫函數(shù)f(x)的駐點(diǎn). 定理就是說: 可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)必定是函數(shù)的駐點(diǎn). 但反過來, 函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn). 例:函數(shù)的駐點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ C

17、）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 定理2(第一充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0連續(xù), 且在x0的某去心鄰域(x0-d, x0)È(x0, x0+d)內(nèi)可導(dǎo). (1)如果在(x0-d, x0)內(nèi)f ¢(x)>0, 在(x0, x0+d)內(nèi)f ¢(x)<0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (2)如果在(x0-d, x0)內(nèi)f ¢(x)<0, 在(x0, x0+d)內(nèi)f ¢(x)>0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; (3)如果在(x0-d, x0)及(x0, x0+d)內(nèi) f ¢(x)的符號(hào)相同

18、, 那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值. 確定極值點(diǎn)和極值的步驟: (1)求出導(dǎo)數(shù)f ¢(x); (2)求出f(x)的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn); (3)列表判斷(考察f ¢(x)的符號(hào)在每個(gè)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左右鄰近的情況, 以便確定該點(diǎn)是否是極值點(diǎn), 如果是極值點(diǎn), 還要按定理2確定對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是極大值還是極小值); (4)確定出函數(shù)的所有極值點(diǎn)和極值. 例:求函數(shù)的極值. 解(1)f(x)在(-¥, +¥)內(nèi)連續(xù), 除x=-1外處處可導(dǎo), 且 ; (2)令f ¢(x)=0, 得駐點(diǎn)x=1; x=-1為f(x)的不可導(dǎo)點(diǎn); (3)列表判斷 x(-

19、65;, -1)-1(-1, 1)1(1, +¥)f ¢(x)+不可導(dǎo)-0+f(x)0 (4)極大值為f(-1)=0, 極小值為. 定理3 (第二種充分條件) 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f ¢(x0)=0, f ¢¢(x0)¹0, 那么 (1)當(dāng)f ¢¢(x0)<0時(shí), 函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (2)當(dāng)f ¢¢(x0)>0時(shí), 函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; 例: 求函數(shù)f(x)=(x2-1)3+1的極值. 解 (1)f ¢(x)=6x(x2-1)2

20、. (2)令f ¢(x)=0, 求得駐點(diǎn)x1=-1, x2=0, x3=1. (3)f ¢¢(x)=6(x2-1)(5x2-1). (4)因f ¢¢(0)=6>0, 所以f (x)在x=0處取得極小值, 極小值為f(0)=0. (5)因f ¢¢(-1)=f ¢¢(1)=0, 用定理3無法判別. 因?yàn)樵?1的左右鄰域內(nèi)f ¢(x)<0, 所以f(x)在-1處沒有極值; 同理, f(x)在1處也沒有極值. 二、最大值最小值問題 最大值和最小值的求法: 設(shè)f(x)在(a, b)內(nèi)的駐點(diǎn)和不

21、可導(dǎo)點(diǎn)(它們是可能的極值點(diǎn))為x1, x2, × × × , xn, 則比較 f(a), f(x 1), × × × , f(x n), f(b) 的大小, 其中最大的便是函數(shù)f(x)在a, b上的最大值, 最小的便是函數(shù)f(x)在a, b上的最小值. 例:求函數(shù)f(x)=|x2-3x+2|在-3, 4上的最大值與最小值. 解 , 在(-3, 4)內(nèi), f(x)的駐點(diǎn)為; 不可導(dǎo)點(diǎn)為x=1和x=2. 由于f(-3)=20, f(1)=0, f(2)=0, f(4)=6, f(x)在x=-3處取得它在-3, 4上的最大值20, 在x=1

22、和x=2處取它在-3, 4上的最小值0. 注意: 應(yīng)當(dāng)指出, 實(shí)際問題中, 往往根據(jù)問題的性質(zhì)就可以斷定函數(shù)f(x)確有最大值或最小值, 而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取得. 這時(shí)如果f(x)在定義區(qū)間內(nèi)部只有一個(gè)駐點(diǎn)x0, 那么不必討論f(x0)是否是極值, 就可以斷定f(x0)是最大值或最小值. §3. 6 函數(shù)圖形的描繪曲線的漸近線（1）水平漸近線如果當(dāng)自變量時(shí)，函數(shù)以常量C為極限，即，則稱直線為曲線的水平漸近線.（2）鉛直漸近線（或垂直漸近線）如果當(dāng)自變量時(shí)，函數(shù)為無窮大量，即，則稱直線為曲線的鉛直漸近線. （3）斜漸近線 ,其中,有水平漸近線則無斜漸近線, 有斜漸近線則無水平斜漸近

23、線例:（真題）曲線漸近線的條數(shù)為（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】：（C）【解析】：，所以為垂直漸近線 ，所以為水平漸近線，沒有斜漸近線，總共兩條漸近線，選（C）。例:（真題）曲線的漸近線方程為_解：，所以 描繪函數(shù)圖形的一般步驟: (1)確定函數(shù)的定義域, 并求函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù); (2)求出一階、二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn), 求出一階、二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn); (3)列表分析, 確定曲線的單調(diào)性和凹凸性; (4)確定曲線的漸近性; (5)確定并描出曲線上極值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)、拐點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、其它點(diǎn); (6)聯(lián)結(jié)這些點(diǎn)畫出函數(shù)的圖形. 例: 畫出函數(shù)y=x 3-x 2-x+1的圖形. 解:

24、 (1)函數(shù)的定義域?yàn)?-¥, +¥), (2) f ¢(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1), f ¢¢(x)=6x-2=2(3x-1). f ¢(x)=0的根為x= -1/3, 1; f ¢¢(x)=0的根為x= 1/3. (3)列表分析: x(-¥,-1/3)-1/3(-1/3,1/3)1/3(1/3,1)1(1, +¥)f ¢(x)+0-0+f ¢¢(x)-0+f(x)Ç極大Ç拐點(diǎn)È極小È (4)當(dāng)x ®+¥時(shí), y ®+¥ 當(dāng)x ®-¥時(shí), y ®-¥. (5)計(jì)算特殊點(diǎn): f(-1/3)=32/27, f(1/3)=16/27, f(1)=0, f(0)=1; f(-1)=0, f(3/2)=5/8. (6)描點(diǎn)聯(lián)線畫出圖形: §3. 7 曲