九無窮級(jí)數(shù)(14)節(jié)習(xí)題及答案

1、九無窮級(jí)數(shù)（一）常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及性質(zhì)1. 判定下列級(jí)數(shù)的收斂性：(1) ; (2) ; (3) ; (4) ;(5) ; (6) 解：（1），則，級(jí)數(shù)發(fā)散。（2）由于，因此原級(jí)數(shù)是調(diào)和級(jí)數(shù)去掉前面三項(xiàng)所得的級(jí)數(shù)，而在一個(gè)級(jí)數(shù)中增加或刪去有限項(xiàng)不改變級(jí)數(shù)的斂散性，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。（3），則，級(jí)數(shù)發(fā)散。（4）因而不存在，級(jí)數(shù)發(fā)散。（5）級(jí)數(shù)通項(xiàng)為，由于，不滿足級(jí)數(shù)收斂的必要條件，原級(jí)數(shù)發(fā)散。（6）級(jí)數(shù)通項(xiàng)為，而不存在，級(jí)數(shù)發(fā)散。2. 判別下列級(jí)數(shù)的收斂性，若收斂則求其和：(1) ； (2) ;(3) ; (4) 解：（1）因?yàn)樗栽摷?jí)數(shù)的和為即（2）由于，則所以該級(jí)數(shù)的和為即（3）級(jí)數(shù)的通項(xiàng)為，

2、由于，不滿足級(jí)數(shù)收斂的必要條件，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。（4）由于因而不存在，原級(jí)數(shù)發(fā)散。（二）常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法1. 判定下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性：(1) ; (2) ； (3) (a0); (4) ；(5) ; (6) ；(7) ; (8) 解：（1）由于，而級(jí)數(shù)收斂，由比較判別法知收斂。（2）因?yàn)?，而p-級(jí)數(shù)收斂，由比較判別法的極限形式知收斂。（3）若，通項(xiàng)，級(jí)數(shù)顯然發(fā)散；若，有，不滿足級(jí)數(shù)收斂的必要條件，級(jí)數(shù)發(fā)散；若，有，而級(jí)數(shù)收斂，由比較判別法知收斂。（4）通項(xiàng)，則，所以由比值判別法知，級(jí)數(shù)發(fā)散。（5）通項(xiàng)，則，所以由比值判別法知，級(jí)數(shù)發(fā)散。（6）通項(xiàng)，則，所以由比值判別法知，級(jí)數(shù)收斂。（7）通項(xiàng)

3、，則，所以由根值判別法知，級(jí)數(shù)收斂。（8）由于，而級(jí)數(shù)收斂，由比較判別法推論知級(jí)數(shù)收斂。2. 判定下列級(jí)數(shù)是否收斂，如果是收斂級(jí)數(shù)，指出其是絕對收斂還是條件收斂：(1) ; (2) ; (3) ；;() ; （5）； (6) ;(7) ; （8）解：（1）這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，,且，由萊布尼茲判別法知收斂但發(fā)散，故條件收斂。（2）由于，而級(jí)數(shù)收斂，所以收斂，故絕對收斂。（2），由，知級(jí)數(shù)收斂，故絕對收斂。（4）由于，而級(jí)數(shù)收斂，所以收斂，故絕對收斂。（5）1）對于級(jí)數(shù)，由，知級(jí)數(shù)絕對收斂，易知條件收斂，故條件收斂。（6）當(dāng)n充分大時(shí)，除去級(jí)數(shù)前面有限項(xiàng)，這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，,且有，由萊布尼茲判別法知

4、收斂但發(fā)散（），故條件收斂。（7）由于，而級(jí)數(shù)收斂，所以收斂，故絕對收斂。（8）記，而發(fā)散，故發(fā)散，令，當(dāng)時(shí)，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加，由此可知，又，故收斂，但非絕對收斂，即為條件收斂。（三）冪級(jí)數(shù)1. 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域：(1) ； (2) ；(3) ； (4) (5) ； (6) 解：（1）因?yàn)?，故收斂半徑?dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)顯然發(fā)散。因此，原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。?）因?yàn)?，故收斂半徑。?dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，由于，即，級(jí)數(shù)不滿足級(jí)數(shù)收斂的必要條件，因此原級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，同樣不滿足級(jí)數(shù)收斂的必要條件，原級(jí)數(shù)發(fā)散。因此，原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。?）因?yàn)椋适諗堪霃?。?dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，此時(shí)原級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)

5、為，此時(shí)原級(jí)數(shù)收斂。因此，原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。?）令，則，于是，當(dāng)，即時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對收斂；當(dāng)，即時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散；故原級(jí)數(shù)收斂半徑為。當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，此時(shí)原級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，此時(shí)原級(jí)數(shù)收斂。因此，原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。?）因?yàn)?，故收斂半徑。?dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，此時(shí)原級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，此時(shí)原級(jí)數(shù)收斂。因此，原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。?）因?yàn)?，故收斂半徑。?dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，此時(shí)原級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，此時(shí)原級(jí)數(shù)收斂。因此，原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椤?. 求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)：(1) ； (2) 解：（1）所給冪級(jí)數(shù)收斂半徑為，收斂區(qū)間為。因?yàn)?，在區(qū)間內(nèi)成立，則所以。（2）3. 求下列級(jí)數(shù)的和：(1) ； (2) 解：（1）由于則。所以（2）因?yàn)樗?。（四）函?shù)展開成冪級(jí)數(shù)1. 將下列函數(shù)展開成x的冪級(jí)數(shù)： (1) ； (2)