微積分基礎ppt課件

1、.1、不定積分的概念與性質、不定積分的概念與性質、換元積分法、換元積分法、分部積分法分部積分法、有理函數(shù)的積分、有理函數(shù)的積分第五章第五章 不定積分不定積分.25.1 5.1 不定積分的概念與性質不定積分的概念與性質1 1、不定積分的概念不定積分的概念2 2、不定積分的性質、不定積分的性質3 3、基本積分表、基本積分表.3一、概念一、概念.41 1、原函數(shù)、原函數(shù)例如例如,cos)(sinxx定義定義1 1若在區(qū)間若在區(qū)間I上，上，)()(xfxF則稱則稱)(xF為為)(xf在區(qū)間在區(qū)間I上的一個上的一個原函數(shù)原函數(shù). .xsinxcos是是的一個原函數(shù)的一個原函數(shù). .)(sincx,cos

2、 xcx sin也是也是xcos的原函數(shù)的原函數(shù). .dx)x(f)x(dF .5問題問題(1)(1)何種函數(shù)具有原函數(shù)何種函數(shù)具有原函數(shù)? ?(2)(2)函數(shù)若具有原函數(shù)函數(shù)若具有原函數(shù), ,怎樣寫出原函數(shù)怎樣寫出原函數(shù)? ?.6結論結論: :(1)(1)若函數(shù)若函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間I上上連續(xù)連續(xù), ,則存在可導函數(shù)則存在可導函數(shù))( xF 使使)(Ix)()(xfxF連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)I(2)(2)若函數(shù)若函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間 有一原函數(shù)有一原函數(shù)),(xF則則 仍為仍為)(xf的原函數(shù)的原函數(shù)CxF)(.7CxFx)()(I(3)(3)若函數(shù)若函數(shù))(xf在

3、區(qū)間在區(qū)間 有一原函數(shù)有一原函數(shù)),(xF則則)(xf的的CxF)( C( C為任意常數(shù)為任意常數(shù)) )證證)(x設設為為)(xf的任一原函數(shù)的任一原函數(shù), ,)()(xFx則則0)()(xFx)(xf)(xfCxFx)()(即即可表示為可表示為: :所有原函數(shù)所有原函數(shù).8dxxf)(定義定義2 2 C)x(Fdx)x(f函數(shù)函數(shù))(xf的的全體原函數(shù)全體原函數(shù), ,記作記作: :積分號積分號; ;)(xf被積函數(shù)被積函數(shù); ;dxxf)(被積表達式被積表達式; ;x積分變量積分變量. .若若)()(xfxF 則則)(xf的的不定積分不定積分為：為：)(xf的的不定積分不定積分. .稱為稱為

4、2.2.不定積分的定義不定積分的定義.9例例1 1dxx2求解解: :dxx 22 x)( Cx 33例例2.2.求求dxx211解解. .,) (211xdxx 211. cxarctan 331xxarctan.10例例3 3dxx1求 xlndxx 1 )xln( C)xln(dxx 1總之總之, ,0 1 x,Cxlndxx0 x解解 當當時時, ,Cxln 0 x當當時時, ,x1 )(x11 x1 .11 不定積分表示的是一族函數(shù)不定積分表示的是一族函數(shù), ,從幾何上看從幾何上看, ,代表一族曲線代表一族曲線, ,稱為稱為積分曲線族積分曲線族. .3.3.不定積分的幾何意義不定積分

5、的幾何意義曲線曲線: :CCxFy( ,)(為任意常數(shù)為任意常數(shù) ) )在在( (x x0 0 ,y,y0 0 ) )的切線的切線的斜率為的斜率為f f( (x x0 0) )y yo ox x.12例例4.4.設曲線通過點（設曲線通過點（1 1，2 2），且其上任意點處的切線斜率等于這），且其上任意點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍點橫坐標的兩倍, ,求此曲線的方程求此曲線的方程. .)x(f解解)(xfy xdxdy2 xxf2)(即即，由題意知，由題意知Cx 2dxx 2又曲線通過點（又曲線通過點（1 1，2 2），），1C12 x)x(f此曲線的方程為此曲線的方程為12 xy設所求曲線

6、方程為：設所求曲線方程為：x xy yo o1 11 12 212 xy.13二、不定積分的性質二、不定積分的性質.14求不定積分的運算與求導數(shù)運算是互逆的求不定積分的運算與求導數(shù)運算是互逆的.)x(fdx)x(f dx)x(fdx)x(fd C)x(Fdx)x(F C)x(F)x(dF (1)、(2)k(dx)x(fkdx)x(kf0 dx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f(3).15三、基本積分表三、基本積分表.16三、基本積分表三、基本積分表dxk )(1dxx)( 2dxx)( 1 3 Cxarctan dxx)( 211 10 xdxcos)( 7 (8)2dxxsec Ckx

7、 1 11 Cx Cxln dxx)( 211 11 Cxarcsin xdxsin)( 6Ccosx Csinx Cxtan dxx2csc (9) (12)dxxtanxsec dxxcotxcsc (13) (5) dxex cotCx cscCx Caaxln (4) dxax secCx Cex.17例例5.5.求dxxx)5(2解解dxxx)5(2dxxx)5(2125dxxdxx212552772xCx 23310.18dxxx231dxxxxx223133dxxxx)33(21Cxxxx1ln3322dxxx231例例6.6.求解解.19dxexx2例例7. 求解解dxexx2

8、dxex)2(Cexx2ln12Ceex)2ln()2(例例8 求dxx2tan解解dxxtan 2dx)x(sec 12 Cxxtan .20解解: : 原式原式 = =xxxd11) 1(24xxxxd11) 1)(1(222221dd) 1(xxxxCxxxarctan313練習一下.d124xxx例例9.9. 求求.21例例10.求dxxx22cossin1解解dxxcosxsin 221dxxcosxsinxcosxsin 2222dxxcos 21dxxsin 21dxxsec 2dxxcsc 2xtan Cxcot 提高題目.22瘋狂操練瘋狂操練1. 若則的原函數(shù)是,)(xfex

9、 d)(ln2xxfx(P191題4)提示提示:xe)()(xexfxeln)(lnxfx1Cx 221.232. 若)(xf是xe的原函數(shù) , 則xxxfd)(ln提示提示: 已知xexf)(0)(Cexfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln10.243. 若)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的導函數(shù)為,sin x則)(xf的一個原函數(shù)是 ( ) .;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示: 已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)( ?或由題意,cos)(1Cxxf其原函數(shù)為xxfd)(21sinCxCx.254. 求積分:;)1 (d22xxx提示提示:)1 (1)1 (1) 1 (2222xxxx22111xx)(2x2x.265. 求不定積分解：解：.d113xeexxxeexxd113xeexxd1) 1() 1(2xxeexeexxd) 1(2Cxeexx221