利用空間向量求空間角 教案

1、利用空間向量求空間角備課人：龍朝芬 授課人：龍朝芬授課時(shí)間：2016年11月28日一、高考考綱要求：能用向量方法解決異面直線的夾角、線面角、面面角問(wèn)題體會(huì)向量法在立體幾何中的應(yīng)用二、命題趨勢(shì)：在高考中，本部分知識(shí)是考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，主要考查異面直線所成角、線面角、面面角的計(jì)算，屬中檔題，綜合性較強(qiáng)，與平行垂直聯(lián)系較多.三、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：能用向量法熟練解決異面直線的夾角、線面角、面面角的計(jì)算問(wèn)題，了解向量法在研究立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用；過(guò)程與方法：通過(guò)向量這個(gè)載體，實(shí)現(xiàn)“幾何問(wèn)題代數(shù)化”的思想，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力；情感態(tài)度價(jià)值觀：通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想和方法的應(yīng)用，進(jìn)一

2、步讓學(xué)生感受和體會(huì)空間直角坐標(biāo)系，方向向量，法向量的魅力.四、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：用向量法求空間角線線角、線面角、二面角；難點(diǎn)：將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題.五、教學(xué)過(guò)程（一）空間角公式1、異面直線所成角公式：如圖，設(shè)異面直線，的方向向量分別為,異面直線，所成的角為，則.2、線面角公式：設(shè)直線為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成的角，則.O3、面面角公式：設(shè)，分別為平面、的法向量，二面角為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補(bǔ)），其中.（二）典例分析OABCS如圖，已知：在直角梯形中，面，且.求：（1）異面直線和所成的角的余弦值；（2）與面所成角的正弦值；（3）二面角的余弦值. 解

3、：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，于是我們有，（1），所以異面直線和所成的角的余弦值為.（2）設(shè)平面的法向量，則，即取，則，所以，.（3）由（2）知平面的法向量，又平面，是平面的法向量，令，則有.二面角的余弦值為.（三）鞏固練習(xí)1、在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)、分別，的中點(diǎn)，求：（1）異面直線和所成的角的余弦值；（2）與平面所成角的正弦值；（3）平面與平面所成的銳二面角的余弦值.解析：以為原點(diǎn)，分別以射線，為軸、軸、軸的非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，由于，所以，則，.（1），異面直線和所成的角余弦值為；（2）設(shè)平面的法向量，則有則，即令，則，所以，又設(shè)與平面所成的角為，則.（3）由（2）知平面的法向量，又平面，是

4、平面的法向量，令，則.故所成的銳二面角的余弦值為.2、如圖所示，四棱錐，為邊長(zhǎng)為的正三角形，垂直于平面于，為的中點(diǎn)，求：（1）異面直線與所成角的余弦值；（2）平面與平面所成二面角的余弦值.解：（）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，因?yàn)锳D=1，CD=，AC=2，所以ADCD，DAC=，ADBC， 則， ，異面直線AB與PC所成角的余弦值為（）設(shè)平面PAB法向量為=(x1，y1，z1)，可得令，則，又，設(shè)平面PCD法向量為，可得令，則=，則平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值為 （四）課堂小結(jié)1用向量來(lái)求空間角，都需將各類(lèi)角轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)向量的夾角來(lái)計(jì)算，問(wèn)題的關(guān)鍵在于確定對(duì)應(yīng)線段的向量2合理建立空間直角坐標(biāo)系(1)一般來(lái)說(shuō)，如果已知的空間幾何體中含有兩兩垂直且交于一點(diǎn)的三條直線時(shí)，就以這三條直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系；如果不存在這樣的三條直線，則應(yīng)盡可能找兩條垂直相交的直線，以其為兩條坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，即坐標(biāo)系建立時(shí)以其中的垂直相交直線為基本出發(fā)點(diǎn)(2)建系的基本思想是尋找其中的線線垂直關(guān)系，在沒(méi)有現(xiàn)成的垂直關(guān)系時(shí)要通過(guò)其他已知條件得到垂直關(guān)系，在此基礎(chǔ)上選擇一個(gè)合理的位置建立空間直角坐標(biāo)系易錯(cuò)防范1利用向量求角，一定要注意