初等數(shù)論作業(yè)

1、初等數(shù)論作業(yè)第一次作業(yè)：一、單項選擇題1、（ ）. A B C D 02、如果，則( ).A B C D 3、如果，則=（ ）.A B C D 4、小于30的素數(shù)的個數(shù)（ ）. A 10 B 9 C 8 D 75、大于10且小于30的素數(shù)有（ ）. A 4個 B 5個 C 6個 D 7個6、如果，則15（）.A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定7、在整數(shù)中正素數(shù)的個數(shù)（ ）.A 有1個 B 有限多 C 無限多 D 不一定二、計算題1、求24871與3468的最大公因數(shù)? 2、求24871,3468=? 3、求136,221,391=?三、證明題1、 如果是兩個整數(shù),則存在唯一的整數(shù)對,使得

2、,其中.2、 證明對于任意整數(shù),數(shù)是整數(shù). 3、 任意一個位數(shù)與其按逆字碼排列得到的數(shù)的差必是9的倍數(shù).4、 證明相鄰兩個偶數(shù)的乘積是8的倍數(shù).第二次作業(yè)一、單項選擇題1、如果( A ),則不定方程有解. A B C D 2、不定方程（A ）.A 有解 B 無解 C 有正數(shù)解 D 有負數(shù)解 二、求解不定方程1、.解：因為（9，21）=3，所以有解； 化簡得； 考慮，有， 所以原方程的特解為， 因此，所求的解是。 2、.解：因為 ,所以有解; 考慮,; 所以是特解, 即原方程的解是 3、.解：因為（107，37）=1，所以有解； 考慮， 有， 所以，原方程特解為=225，=-650， 所以通解為

3、 4.求不定方程的整數(shù)解.解 我們將它分為兩個二元一次不定方程來求解 25x+13y=t, t+7z=4.利用求二元一次不定方程的方法,因為 25(-t)+13(2t)= t, 32+7(-4)=4,所以,上面兩個方程的解分別為 , .消去t就得到所求的解,這里是任意整數(shù).5.求不定方程的整數(shù)解.解 我們將它分為兩個二元一次不定方程來求解4x-9y=t, t+5z=8.利用求二元一次不定方程的方法,因為4(-2t)-9(-t)= t, 48+5(-8)=8,所以,上面兩個方程的解分別為 , .消去t就得到所求的解,這里是任意整數(shù).第三次作業(yè)：一、選擇題1、整數(shù)5874192能被( )整除. A

4、 3 B 3與9 C 9 D 3或92、整數(shù)637693能被( )整除. A 3 B 5 C 7 D 93、模5的最小非負完全剩余系是( ).A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,44、如果,是任意整數(shù),則A B C T D 二、解同余式（組）（1）.（2）（3）.（4）.（5）.三、證明題1、如果整數(shù)的個位數(shù)是5,則該數(shù)是5的倍數(shù).2、證明當是奇數(shù)時，有.第四次作業(yè)：一、計算：1、判斷同余式是否有解？2、判斷同余式是否有解？3、求11的平方剩余與平方非剩余.4、計算,其中563是素數(shù).5、 計算二、證明題：1、證明相鄰兩個整

5、數(shù)的立方之差不能被5整除.2、證明形如的整數(shù)不能寫成兩個平方數(shù)的和.3、一個能表成兩個平方數(shù)和的數(shù)與一個平方數(shù)的乘積,仍然是兩個平方數(shù)的和;兩個能表成兩個平方數(shù)和的數(shù)的乘積,也是一個兩個平方數(shù)和的數(shù). 4、素數(shù)寫成兩個平方數(shù)和的方法是唯一的.答案：第一次作業(yè)：一、單項選擇題1、（C ）.A B C D 02、如果，則(D ).A B C D 3、如果，則=（C ）.A B C D 4、小于30的素數(shù)的個數(shù)（A ）. A 10 B 9 C 8 D 75、大于10且小于30的素數(shù)有（ C ）. A 4個 B 5個 C 6個 D 7個6、如果，則15（A ）.A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定

6、7、在整數(shù)中正素數(shù)的個數(shù)（C ）. A 有1個 B 有限多 C 無限多 D 不一定二、計算題1、 求24871與3468的最大公因數(shù)?解： 24871=34687+5953468=5955+493595=4931+102493=1024+85102=851+1785=175, 所以,(24871,3468)=17.2、 求24871,3468=?解：因為 （24871,3468）=17 所以 24871,3468= =5073684 所以24871與3468的最小公倍數(shù)是5073684。3、求136,221,391=?解： 136,221,391=136,221,391 =1768,391 =

7、 =104391=40664.三、證明題6、 如果是兩個整數(shù),則存在唯一的整數(shù)對,使得,其中.證明 ：首先證明唯一性.設,是滿足條件的另外整數(shù)對,即,.所以,即,.又由于,所以.如果,則等式不可能成立.因此,. 其次證明存在性.我們考慮整數(shù)的有序列,則整數(shù)應介于上面有序列的某兩數(shù)之間,即存在一整數(shù)使.我們設,則有,. 7、 證明對于任意整數(shù),數(shù)是整數(shù). 證明： 因為=, 而且兩個連續(xù)整數(shù)的乘積是2的倍數(shù),3個連續(xù)整數(shù)的乘積是3的倍數(shù), 并且(2,3)=1, 所以從和有,即是整數(shù). 8、 任意一個位數(shù)與其按逆字碼排列得到的數(shù)的差必是9的倍數(shù). 證明： 因為 , =, 所以,-= 而上面等式右邊的

8、每一項均是9的倍數(shù), 于是所證明的結論成立. 9、 證明相鄰兩個偶數(shù)的乘積是8的倍數(shù).證明: 設相鄰兩個偶數(shù)分別為 所以= 而且兩個連續(xù)整數(shù)的乘積是2的倍數(shù) 即是8的倍數(shù). 第二次作業(yè)答案：一、單項選擇題1、 如果( A ),則不定方程有解. A B C D 2、不定方程（A ）. A 有解 B 無解 C 有正數(shù)解 D 有負數(shù)解 二、求解不定方程1、.解：因為（9，21）=3，所以有解； 化簡得； 考慮，有， 所以原方程的特解為， 因此，所求的解是。 2、.解：因為 ,所以有解; 考慮,; 所以是特解, 即原方程的解是 3、.解：因為（107，37）=1，所以有解； 考慮，有， 所以，原方程特

9、解為=225，=-650， 所以通解為 4.求不定方程的整數(shù)解.解 我們將它分為兩個二元一次不定方程來求解25x+13y=t, t+7z=4.利用求二元一次不定方程的方法,因為25(-t)+13(2t)= t, 32+7(-4)=4,所以,上面兩個方程的解分別為 , .消去t就得到所求的解,這里是任意整數(shù).5.求不定方程的整數(shù)解.解 我們將它分為兩個二元一次不定方程來求解 4x-9y=t, t+5z=8.利用求二元一次不定方程的方法,因為 4(-2t)-9(-t)= t, 48+5(-8)=8,所以,上面兩個方程的解分別為 , .消去t就得到所求的解 , 這里是任意整數(shù).第三次作業(yè)答案：一、選

10、擇題1、整數(shù)5874192能被( B )整除. A 3 B 3與9 C 9 D 3或92、整數(shù)637693能被(C )整除. A 3 B 5 C 7 D 93、模5的最小非負完全剩余系是( D ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,44、如果,是任意整數(shù),則（A ）A B C T D 二、解同余式（組）（1）.解 因為(45,132)=3¦21,所以同余式有3個解. 將同余式化簡為等價的同余方程 . 我們再解不定方程, 得到一解(21,7). 于是定理4.1中的. 因此同余式的3個解為, , . （2）解 因為

11、(12,45)=3¦15,所以同余式有解,而且解的個數(shù)為3. 又同余式等價于,即. 我們利用解不定方程的方法得到它的一個解是(10,3), 即定理4.1中的. 因此同余式的3個解為, , .（3）.解 因為(111,321)=3¦75,所以同余式有3個解. 將同余式化簡為等價的同余方程 . 我們再解不定方程, 得到一解(-8,3). 于是定理4.1中的. 因此同余式的3個解為, , . （4）.解 因為(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我們先解同余式,得到.于是所求的解為 （5）. (參考上題)三、證明題1、 如果整數(shù)的個位數(shù)是5,則該數(shù)是5的倍數(shù).證明 設是一正

12、整數(shù),并將寫成10進位數(shù)的形式:=,. 因為100(mod5), 所以我們得到 所以整數(shù)的個位數(shù)是5,則該數(shù)是5的倍數(shù). 2、證明當是奇數(shù)時，有.證明 因為,所以 . 于是,當是奇數(shù)時,我們可以令.從而有, 即. 第四次作業(yè)答案：一、計算：1、 判斷同余式是否有解？(答：無解。方法參照題2)2、判斷同余式是否有解？解 我們?nèi)菀字?847是素數(shù),所以只需求的值.如果其值是1,則所給的同余式有解,否則無解. 因為,所以 .再,所以 , 所以, =1. 于是所給的同余式有解. 3、 11的平方剩余與平方非剩余.解 因為,所以平方剩余與平方非剩余各有5個. 又因為 , 所以,1，3，4，5，9是素數(shù)

13、11的5個平方剩余.其它的8個數(shù)，2，6，7，8，10是素數(shù)11的平方非剩余. 4、 計算,其中563是素數(shù)., 即429是563的平方剩余. 5、計算（計算方法參照題4）二、證明題：1、 證明相鄰兩個整數(shù)的立方之差不能被5整除.證明 因為, 所以只需證明T.而我們知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2構成,所以這只需將n=0,±1,±2代入分別得值1，7，1，19，7.對于模5, 的值1，7，1，19，7只與1，2，4等同余, 所以T 所以相鄰兩個整數(shù)的立方之差不能被5整除。 2、 證明形如的整數(shù)不能寫成兩個平方數(shù)的和.證明 設是正數(shù),并且, 如果, 則因為對于模4,只與0,1,2,-1等同余, 所以只能與0,1同余, 所以, 而這與的假設不符, 即定理的結論成立. 3