全國初中數(shù)學競賽試題含答案

1、 13題為更正后答案a=2017中國教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會2012年全國初中數(shù)學競賽試題 一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分）（第1題圖）1如果實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么代數(shù)式可以化簡為（ ） （A）2c-a （B）2a-2b （C）-a （D）a2如果正比例函數(shù)y = ax（a 0）與反比例函數(shù)y =（b 0 ）的圖象有兩個交點，其中一個交點的坐標為（3，2），那么另一個交點的坐標為（ ）（A）（2，3） （B）（3，2） （C）（2，3） （D）（3，2）3如果為給定的實數(shù)，且，那么這四個數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)之差的絕對值是（ ） （A）1 （B） （C） （

2、D）4小倩和小玲每人都有若干面值為整數(shù)元的人民幣小倩對小玲說：“你若給我2元，我的錢數(shù)將是你的n倍”；小玲對小倩說：“你若給我n元，我的錢數(shù)將是你的2倍”，其中n為正整數(shù)，則n的可能值的個數(shù)是（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）45一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6擲兩次骰子，設其朝上的面上的兩個數(shù)字之和除以4的余數(shù)分別是0，1，2，3的概率為，則中最大的是（ ）（A） （B） （C） （D）二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6按如圖的程序進行操作，規(guī)定：程序運行從“輸入一個值x”到“結(jié)果是否>487？”為一次操作. 如果操作進行四次才停

3、止，那么x的取值范圍是 .（第6題圖）（第7題圖）7如圖，正方形ABCD的邊長為2，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，AF與DE，DB分別交于點M，N，則DMN的面積是 .8如果關(guān)于x的方程x2+kx+k23k+= 0的兩個實數(shù)根分別為，那么 的值為 92位八年級同學和m位九年級同學一起參加象棋比賽，比賽為單循環(huán)，即所有參賽者彼此恰好比賽一場記分規(guī)則是：每場比賽勝者得3分，負者得0分；平局各得1分. 比賽結(jié)束后，所有同學的得分總和為130分，而且平局數(shù)不超過比賽局數(shù)的一半，則m的值為 .10如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，AB是直徑，AD = DC. 分別延長BA，CD，交點為E. 作BFEC，并與

4、EC的延長線交于點F. 若AE = AO，BC = 6，則CF的長為 .（第10題圖）三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11已知二次函數(shù)，當時，恒有；關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和小于求的取值范圍12如圖，O的直徑為，O 1過點，且與O內(nèi)切于點為O上的點，與O 1交于點，且點在上，且，BE的延長線與O 1交于點，求證：BOC（第12題圖）13已知整數(shù)a，b滿足：ab是素數(shù)，且ab是完全平方數(shù). 當a2012時，求a的最小值.14求所有正整數(shù)n，使得存在正整數(shù)，滿足，且.中國教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會2012年全國初中數(shù)學競賽試題參考答案一、選擇題1C解：由實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的

5、位置可知，且，所以 2D解：由題設知，所以.解方程組得 所以另一個交點的坐標為（3，2）.注：利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及其對稱性，可知兩個交點關(guān)于原點對稱，因此另一個交點的坐標為（3，2）.3D 解：由題設知，所以這四個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為 ，于是 .4D解：設小倩所有的錢數(shù)為x元、小玲所有的錢數(shù)為y元，均為非負整數(shù). 由題設可得消去x得 (2y7)n = y+4， 2n =.因為為正整數(shù)，所以2y7的值分別為1，3，5，15，所以y的值只能為4，5，6，11從而n的值分別為8，3，2，1；x的值分別為14，7，6，75D解：擲兩次骰子，其朝上的面上的兩個數(shù)字構(gòu)成的有序數(shù)對共有36

6、個，其和除以4的余數(shù)分別是0，1，2，3的有序數(shù)對有9個，8個，9個，10個，所以，因此最大二、填空題67x19解：前四次操作的結(jié)果分別為 3x2，3(3x2)2 = 9x8，3(9x8)2 = 27x26，3(27x26)2 = 81x80.由已知得 27x26487， 81x80487.解得 7x19. 78解：連接DF，設正方形的邊長為2. 由題設可知，所以 ，由此得，所以.在RtABF中，因為，所以（第7題），于是 .由題設可知ADEBAF，所以 ， .于是 ， . 又，所以. 因為，所以.8解：根據(jù)題意，關(guān)于x的方程有判定式=k240，由此得 (k3)20 又(k3)20，所以(k3

7、)2=0，從而k=3. 此時方程為x2+3x+=0，解得x1=x2=. 故=98解：設平局數(shù)為，勝（負）局數(shù)為，由題設知，由此得0b43. 又 ，所以. 于是 043，87130，由此得 ，或.當時，；當時，不合題設.故（第10題）10解：如圖，連接AC，BD，OD. 由AB是O的直徑知BCA =BDA = 90°.依題設BFC = 90°，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，所以BCF =BAD,所以 RtBCFRtBAD ，因此 .因為OD是O的半徑，AD = CD，所以OD垂直平分AC，ODBC， 于是 . 因此.由，知因為，所以 ，BA=AD ，故.三、解答題11解：

8、因為當時，恒有，所以，即，所以 （5分）當時，；當時，即，且 ，解得 （10分）設方程的兩個實數(shù)根分別為，由韋達定理得：因為，所以，解得，或綜上所述： （20分）12 證明：連接BD，因為為的直徑，所以又因為，所以CBE是等腰三角形 （5分）（第12題）設與交于點，連接OM，則又因為，所以 （15分）又因為分別是等腰，等腰的頂角，所以BOC （20分）更正后答案：13解：設ab = m（m是素數(shù)），ab = n2（n是正整數(shù)）. 因為 (a+b)24ab = (ab)2，所以 (2am)24n2 = m2， (2am+2n)(2am2n) = m2. （5分）1.當n=0時即b=0，故a取2012的最小素數(shù)，a=2017 （10分）2.因為2am+2n與2am2n都是正整數(shù)，且2am+2n2am2n (m為素數(shù))，所以 2am+2nm 2，2am2n1.解得 a，. 于是 = am. 又a2012，即20