傳統(tǒng)考點中值定理

1、微分中值定理證明中輔助函數(shù)的構造摘要：本文總結了證明微分中值命題時常用的六種構造輔助函數(shù)的方法，并給出了具體的應用.關鍵詞：輔助函數(shù)；原函數(shù)；不定積分；羅爾定理利用微分中值定理解決問題時，通常需要構造一個輔助函數(shù)，由這個輔助函數(shù)滿足某個中值定理的條件而得到要證明的結論，而構造性方法是高等數(shù)學中一個重要的分析技巧，這往往成為解題的難點所在本文主要介紹證明微分中值命題時常用的六種構造輔助函數(shù)的方法1 原函數(shù)法此法是將結論變形并向羅爾定理的結論靠攏，湊出適當?shù)脑瘮?shù)作為輔助函數(shù)，主要思想分為四點：(1)將要證的結論中的換成；(2)通過恒等變形將結論化為易消除導數(shù)符號的形式；(3)用觀察法或積分法求出

2、原函數(shù)（等式中不含導數(shù)符號），并取積分常數(shù)為零；(4)移項使等式一邊為零，另一邊即為所求輔助函數(shù)例1：證明柯西中值定理分析：在柯西中值定理的結論中令，得，先變形為再兩邊同時積分得，令，有故為所求輔助函數(shù)例2：若,是使得的實數(shù)證明方程在（0，1）內至少有一實根證：由于并且這一積分結果與題設條件和要證明的結論有聯(lián)系，所以設（?。?，則1）在0，1上連續(xù)2）在（0，1）內可導3）=0， 故滿足羅爾定理的條件，由羅爾定理，存在使，即亦即 這說明方程在（0，1）內至少有實根 2 積分法對一些不易湊出原函數(shù)的問題，可用積分法找相應的輔助函數(shù) 例3：設在1，2上連續(xù)，在（1，2）內可導，證明存在使分析：結論變

3、形為，不易湊成我們將換為，結論變形為，積分得：，即，從而可設輔助函數(shù)為，有本題獲證例4：設函數(shù)，在上連續(xù)，在內可微，證明存在，使得：證：將變形為，將換為，則，兩邊關于積分，得： ，所以，其中，由可得由上面積分的推導可知，為一常數(shù)，故其導數(shù)必為零，從整個變形過程知，滿足這樣結論的的存在是不成問題的因而令，易驗證其滿足羅爾定理的條件，原題得證3 幾何直觀法此法是通過幾何圖形考查兩函數(shù)在區(qū)間端點處函數(shù)值的關系，從而建立適當?shù)妮o助函數(shù)例5：證明拉格朗日中值定理分析：通過弦兩個端點的直線方程為，則函數(shù)與直線AB的方程之差即函數(shù)在兩個端點處的函數(shù)值均為零，從而滿足羅爾定理的條件故上式即為要做輔助函數(shù)例6：

4、若在上連續(xù)且試證在內至少有一點，使分析：由圖可看出，此題的幾何意義是說，連續(xù)函數(shù)的圖形曲線必跨越這一條直線，而兩者的交點的橫坐標，恰滿足進而還可由圖知道，對上的同一自變量值，這兩條曲線縱坐標之差構成一個新的函數(shù)，它滿足<0,>0,因而符合介值定理的條件當為的一個零點時，恰等價于因此即知證明的關鍵是構造輔助函數(shù)4 常數(shù)k值法此方法構造輔助函數(shù)的步驟分為以下四點：1） 將結論變形，使常數(shù)部分分離出來并令為2） 恒等變形使等式一端為及構成的代數(shù)式，另一端為及構成的代數(shù)式3）觀察分析關于端點的表達式是否為對稱式若是，則把其中一個端點設為，相應的函數(shù)值改為4）端點換變量的表達式即為輔助函數(shù)例

5、7：設在上連續(xù)，在內可導，試證存在一點，使等式成立分析：將結論變形為，令，則有，令，可得輔助函數(shù)例8：設在上存在，在，試證明存在，使得分析：令，于是有，上式為關于，三點的輪換對稱式，令（or：，or：），則得輔助函數(shù)5 分析法分析法又叫倒推法，就是從欲證的結論出發(fā)借助于邏輯關系導出已知的條件和結論例9：設函數(shù)在0，1上連續(xù)，在（0，1）內可導，證明在（0，1）內存在一點，使得分析：所要證的結論可變形為：，即，因此可構造函數(shù)，則對與在0，1上應用柯西中值定理即可得到證明例10：設函數(shù)在0,1上連續(xù)，在（0，1）內可導，且=0，對任意有證明存在一點使（為自然數(shù)）成立分析：欲證其成立，只需證由于對任

6、意有，故只需證：即，于是引入輔助函數(shù)（為自然數(shù)）例11：設函數(shù)在區(qū)間0，+上可導，且有個不同零點：試證在0，+內至少有個不同零點（其中，為任意實數(shù)）證明：欲證在0，+）內至少有個不同零點，只需證方程=0在0，+內至少有個不同實根因為，故只需證方程在內至少有個不同實根引入輔助函數(shù)，易驗證在區(qū)間，上滿足羅爾定理的條件，所以，分別在這個區(qū)間上應用羅爾定理，得，其中且以上說明方程在0，+內至少有個不同實根，從而證明了方程=0在0，+內至少有個不同實根6 待定系數(shù)法在用待定系數(shù)法時，一般選取所證等式中含的部分為，再將等式中一個端點的值換成變量，使其成為函數(shù)關系，等式兩端做差構造輔助函數(shù)，這樣首先可以保證=0，而由等式關系=0自然滿足，從而保證滿足羅爾定理條件，再應用羅爾定理最終得到待定常數(shù)與之間的關系例12：設是上的正值可微函數(shù)，試證存在，使證明：設，令容易驗證在 上滿足羅爾定理條件，由羅爾定理，存在使，解得，故例13：設函數(shù)在上連續(xù)，在內可導，則在內至少存在一點使證明：將所證等式看作，設，令，則滿足羅爾定理條件，由羅爾定理得，存在一點，使，即，若=0，則，結論成立；若，則，從而有例14：設，則存在使分析：對于此題設作函數(shù)應用羅爾定理可得存在，使，即，從而，這樣并不能證明原結論，遇到這種情況，說明所作的輔助函數(shù)不合適，則需要將所證明的等式變形，重新構造輔助函數(shù)