李建軍-半導(dǎo)體器件模擬及數(shù)值分析第六章 有限元法模擬

1、微電子器件及工藝CAD1國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心第六章第六章 有限元法有限元法哈爾濱工業(yè)大學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)( (威海威海) ) 微電子中心微電子中心王新勝王新勝微電子器件及工藝CAD2國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心6-1 基本概念基本概念微電子器件及工藝CAD3國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心 有限元法有限元法(Finite Element Method)，又譯為又譯為有限元素法有限元素法，是離散數(shù)值分析方法之一。是現(xiàn)在公認(rèn)的一個(gè)有效的用途是離散數(shù)值分析方法之一。是現(xiàn)在公認(rèn)的一個(gè)有效的用途廣泛的數(shù)值分析工具，廣泛的數(shù)值分析工具，它能應(yīng)用于幾乎所有的連續(xù)介質(zhì)問(wèn)它能應(yīng)用于幾乎所有的連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題和場(chǎng)問(wèn)

2、題題和場(chǎng)問(wèn)題。70年代，有限元法在半導(dǎo)體器件模擬領(lǐng)域中年代，有限元法在半導(dǎo)體器件模擬領(lǐng)域中得到了發(fā)展，并且自那以后，研究它在器件模擬中的應(yīng)用，得到了發(fā)展，并且自那以后，研究它在器件模擬中的應(yīng)用，超過(guò)了有限插分法。超過(guò)了有限插分法。 有限元法不象有限差法那樣把求解區(qū)域看作是網(wǎng)格點(diǎn)有限元法不象有限差法那樣把求解區(qū)域看作是網(wǎng)格點(diǎn)的排列，而是把求解區(qū)域看作由許多小的互相連接的的排列，而是把求解區(qū)域看作由許多小的互相連接的子區(qū)子區(qū)域域(稱為稱為元素元素)所構(gòu)成。對(duì)某一問(wèn)題，其有限元法模型給出所構(gòu)成。對(duì)某一問(wèn)題，其有限元法模型給出基本方程的分片近似。基本方程的分片近似。 有限元法的基本有限元法的基本思想思

3、想是：用一組離散元素集合體來(lái)代是：用一組離散元素集合體來(lái)代替求解區(qū)域，解析地模擬或逼近求解區(qū)域。替求解區(qū)域，解析地模擬或逼近求解區(qū)域。因?yàn)檫@些元素因?yàn)檫@些元素可按各種不同的方式組合在一起，所以能用來(lái)表示極其復(fù)可按各種不同的方式組合在一起，所以能用來(lái)表示極其復(fù)雜的形狀。雜的形狀?；靖拍罨靖拍钗㈦娮悠骷肮に嘋AD4國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心 現(xiàn)在把求解區(qū)域分成很多元素，并用每個(gè)元素內(nèi)假設(shè)現(xiàn)在把求解區(qū)域分成很多元素，并用每個(gè)元素內(nèi)假設(shè)的的近似函數(shù)近似函數(shù)來(lái)表示未知的場(chǎng)變量，來(lái)表示未知的場(chǎng)變量，那么，通過(guò)有限元素離那么，通過(guò)有限元素離散化過(guò)程便把問(wèn)題簡(jiǎn)化為有限個(gè)未知數(shù)的問(wèn)題。散化過(guò)程便把問(wèn)題簡(jiǎn)

4、化為有限個(gè)未知數(shù)的問(wèn)題。近似函數(shù)近似函數(shù)（有時(shí)稱為（有時(shí)稱為插值函數(shù)插值函數(shù)）則由稱之為節(jié)或則由稱之為節(jié)或節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)的指的指定點(diǎn)上的場(chǎng)變量值來(lái)確定。定點(diǎn)上的場(chǎng)變量值來(lái)確定。 節(jié)點(diǎn)通常選在元素的邊界上，相鄰的元素由節(jié)點(diǎn)連接節(jié)點(diǎn)通常選在元素的邊界上，相鄰的元素由節(jié)點(diǎn)連接在一起；除邊界節(jié)點(diǎn)外，元素也可能有一些內(nèi)部節(jié)點(diǎn)。在一起；除邊界節(jié)點(diǎn)外，元素也可能有一些內(nèi)部節(jié)點(diǎn)?；靖拍罨靖拍?那么有限元法的實(shí)質(zhì)是什么呢？在任何維數(shù)的連續(xù)介那么有限元法的實(shí)質(zhì)是什么呢？在任何維數(shù)的連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題中，質(zhì)問(wèn)題中，場(chǎng)變量場(chǎng)變量（無(wú)論它是壓力、溫度、位移（無(wú)論它是壓力、溫度、位移 、應(yīng)力或、應(yīng)力或者某些其它量）者某些其它量）

5、是物體或求解區(qū)域內(nèi)每個(gè)點(diǎn)的函數(shù)，因此是物體或求解區(qū)域內(nèi)每個(gè)點(diǎn)的函數(shù)，因此這是一個(gè)具有無(wú)限個(gè)未知數(shù)的問(wèn)題。這是一個(gè)具有無(wú)限個(gè)未知數(shù)的問(wèn)題。微電子器件及工藝CAD5國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心 場(chǎng)變量的節(jié)點(diǎn)值和元素的插值函數(shù)完全確定了元素內(nèi)場(chǎng)變量的節(jié)點(diǎn)值和元素的插值函數(shù)完全確定了元素內(nèi)部場(chǎng)變量的特性。部場(chǎng)變量的特性。一個(gè)問(wèn)題用有限元素表示后，場(chǎng)變量的一個(gè)問(wèn)題用有限元素表示后，場(chǎng)變量的節(jié)點(diǎn)值變成了新的未知數(shù)，一旦求出這些未知數(shù)，則插值節(jié)點(diǎn)值變成了新的未知數(shù)，一旦求出這些未知數(shù)，則插值函數(shù)便確定了整個(gè)元素集合體的場(chǎng)變量。函數(shù)便確定了整個(gè)元素集合體的場(chǎng)變量。 基本概念基本概念 顯然，解的性質(zhì)和近似程度不

6、但顯然，解的性質(zhì)和近似程度不但取決于所采用的元素取決于所采用的元素的大小和數(shù)目的大小和數(shù)目，而且，而且還取決于所選擇的插值函數(shù)。還取決于所選擇的插值函數(shù)。插值函插值函數(shù)的選擇不是任意的，通常選取的函數(shù)，要使場(chǎng)變量或其數(shù)的選擇不是任意的，通常選取的函數(shù)，要使場(chǎng)變量或其導(dǎo)數(shù)在通過(guò)相鄰元素的邊界時(shí)是連續(xù)的；同時(shí)插值函數(shù)必導(dǎo)數(shù)在通過(guò)相鄰元素的邊界時(shí)是連續(xù)的；同時(shí)插值函數(shù)必須是針對(duì)每個(gè)元素來(lái)定義的。須是針對(duì)每個(gè)元素來(lái)定義的。 有限元法的一個(gè)有限元法的一個(gè)重要特點(diǎn)重要特點(diǎn)是把各個(gè)單獨(dú)的元素集合在是把各個(gè)單獨(dú)的元素集合在一起表示整個(gè)問(wèn)題之前，能夠?yàn)閱为?dú)元素的解建立公式，一起表示整個(gè)問(wèn)題之前，能夠?yàn)閱为?dú)元素的

7、解建立公式，這使得有限元法不同于其他的近似數(shù)值方法。這使得有限元法不同于其他的近似數(shù)值方法。微電子器件及工藝CAD6國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心 有限元法的另一個(gè)有限元法的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)是建立各單獨(dú)元素特性公式的是建立各單獨(dú)元素特性公式的途徑的多樣性。一般來(lái)講，得到元素特性的方法有四種：途徑的多樣性。一般來(lái)講，得到元素特性的方法有四種：直接法、變分法、直接法、變分法、加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法和能量平衡法。各種方法的和能量平衡法。各種方法的特點(diǎn)概括如下：特點(diǎn)概括如下：基本概念基本概念 直接法：來(lái)源于結(jié)構(gòu)分析的直接剛度法，應(yīng)用于比較直接法：來(lái)源于結(jié)構(gòu)分析的直接剛度法，應(yīng)用于比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，易于掌握。簡(jiǎn)

8、單的問(wèn)題，易于掌握。 變分法：依靠變分計(jì)算，涉及到泛函的極值問(wèn)題，變變分法：依靠變分計(jì)算，涉及到泛函的極值問(wèn)題，變分法既適用于形狀簡(jiǎn)單的元素又適用于形狀的復(fù)雜的元素分法既適用于形狀簡(jiǎn)單的元素又適用于形狀的復(fù)雜的元素。 加權(quán)余數(shù)法：這種推導(dǎo)元素特性的方法，完全建立在加權(quán)余數(shù)法：這種推導(dǎo)元素特性的方法，完全建立在數(shù)學(xué)知識(shí)上，從問(wèn)題的基本方程出發(fā)，在推導(dǎo)元素特性時(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)上，從問(wèn)題的基本方程出發(fā)，在推導(dǎo)元素特性時(shí)不依賴于泛函或者變分原理。不依賴于泛函或者變分原理。微電子器件及工藝CAD7國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心 能量平衡法：取決于系統(tǒng)的熱平衡或機(jī)械能的平衡。能量平衡法：取決于系統(tǒng)的熱平衡或機(jī)械能

9、的平衡。象加權(quán)余數(shù)法一樣不需要應(yīng)用變分法原理。因?yàn)闃O大地?cái)U(kuò)象加權(quán)余數(shù)法一樣不需要應(yīng)用變分法原理。因?yàn)闃O大地?cái)U(kuò)大了有限元素法可能應(yīng)用的范圍。大了有限元素法可能應(yīng)用的范圍?；靖拍罨靖拍?不論用哪種方法求解元素特性，采用有限元法求解連不論用哪種方法求解元素特性，采用有限元法求解連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題，總是按照一定步驟進(jìn)行的，基本上可分成以續(xù)介質(zhì)問(wèn)題，總是按照一定步驟進(jìn)行的，基本上可分成以下五個(gè)步驟：下五個(gè)步驟： 1. 連續(xù)介質(zhì)離散化連續(xù)介質(zhì)離散化 把連續(xù)介質(zhì)或求解區(qū)域劃分成很多元素。有各種不同把連續(xù)介質(zhì)或求解區(qū)域劃分成很多元素。有各種不同形式的元素可供采用，并且在同一個(gè)求解區(qū)域中可以應(yīng)用形式的元素可供采用

10、，并且在同一個(gè)求解區(qū)域中可以應(yīng)用不同形式的元素。不同形式的元素。 微電子器件及工藝CAD8國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心 2. 選擇插值函數(shù)選擇插值函數(shù) 指定每個(gè)元素上的節(jié)點(diǎn)，選擇插值函數(shù)的類型以表示指定每個(gè)元素上的節(jié)點(diǎn)，選擇插值函數(shù)的類型以表示每個(gè)元素上場(chǎng)變量的變化。每個(gè)元素上場(chǎng)變量的變化。通常是選擇多項(xiàng)式作為場(chǎng)變量通常是選擇多項(xiàng)式作為場(chǎng)變量的插值函數(shù)，因?yàn)槎囗?xiàng)式易于積分和微分。的插值函數(shù)，因?yàn)槎囗?xiàng)式易于積分和微分。場(chǎng)變量及其導(dǎo)場(chǎng)變量及其導(dǎo)數(shù)的大小在節(jié)點(diǎn)上可能是未知的。數(shù)的大小在節(jié)點(diǎn)上可能是未知的?；靖拍罨靖拍?3. 求出元素特性求出元素特性 有限元素模型一經(jīng)建立（亦即，只要選擇好元素和它

11、有限元素模型一經(jīng)建立（亦即，只要選擇好元素和它們的插值函數(shù)），就可準(zhǔn)備確定表示各個(gè)元素特性的矩陣們的插值函數(shù)），就可準(zhǔn)備確定表示各個(gè)元素特性的矩陣方程，可以應(yīng)用上面提到的直接法、變分法、加權(quán)余數(shù)法方程，可以應(yīng)用上面提到的直接法、變分法、加權(quán)余數(shù)法和能量平衡法四種方法中的任一種。所采用的方法完全取和能量平衡法四種方法中的任一種。所采用的方法完全取決于問(wèn)題的性質(zhì)。決于問(wèn)題的性質(zhì)。 微電子器件及工藝CAD9國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心基本概念基本概念 系統(tǒng)矩陣方程組包括所有的節(jié)點(diǎn)，其形式和一個(gè)單獨(dú)元系統(tǒng)矩陣方程組包括所有的節(jié)點(diǎn)，其形式和一個(gè)單獨(dú)元素的方程組相同。素的方程組相同。在準(zhǔn)備求解系統(tǒng)方程組以

12、前，還要考慮在準(zhǔn)備求解系統(tǒng)方程組以前，還要考慮到問(wèn)題的邊界條件，并對(duì)系統(tǒng)方程組加以修正。到問(wèn)題的邊界條件，并對(duì)系統(tǒng)方程組加以修正。 4. 集合元素特性以求得系統(tǒng)方程組集合元素特性以求得系統(tǒng)方程組 要求出由元素網(wǎng)格構(gòu)成的模型所表示的整個(gè)系統(tǒng)的特要求出由元素網(wǎng)格構(gòu)成的模型所表示的整個(gè)系統(tǒng)的特性，必須將表示元素狀態(tài)的矩陣方程組加以合并，形成表性，必須將表示元素狀態(tài)的矩陣方程組加以合并，形成表示整個(gè)求解區(qū)域或系統(tǒng)的矩陣方程組。示整個(gè)求解區(qū)域或系統(tǒng)的矩陣方程組。 5.求解系統(tǒng)方程組求解系統(tǒng)方程組 用有限元方法得到的系統(tǒng)方程組可能是線性的或是非用有限元方法得到的系統(tǒng)方程組可能是線性的或是非線性的，選用適當(dāng)

13、的求解方法，求解這組聯(lián)立方程，即可線性的，選用適當(dāng)?shù)那蠼夥椒ǎ蠼膺@組聯(lián)立方程，即可求得場(chǎng)變量在未知節(jié)點(diǎn)上的值。求得場(chǎng)變量在未知節(jié)點(diǎn)上的值。 由上所述，建立有限元方程的方法有多種，此處將著重由上所述，建立有限元方程的方法有多種，此處將著重介紹其中應(yīng)用最廣泛的加權(quán)余數(shù)法。介紹其中應(yīng)用最廣泛的加權(quán)余數(shù)法。微電子器件及工藝CAD10國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心基本概念基本概念微電子器件及工藝CAD11國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心6-2 連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)微電子器件及工藝CAD12國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù) 6.2.1 連

14、續(xù)介質(zhì)離散化連續(xù)介質(zhì)離散化 如上所述，如上所述，有限元法的基本概念是把求解區(qū)域分為有限有限元法的基本概念是把求解區(qū)域分為有限個(gè)數(shù)目的子區(qū)域，這些子區(qū)域稱之為個(gè)數(shù)目的子區(qū)域，這些子區(qū)域稱之為元素元素。 這些元素只在求解區(qū)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)處和元素的邊界上互相這些元素只在求解區(qū)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)處和元素的邊界上互相連接。連接。 元素的節(jié)點(diǎn)是元素的一部分，這樣求解區(qū)域就被離散了，元素的節(jié)點(diǎn)是元素的一部分，這樣求解區(qū)域就被離散了，并且表示為許多元素的一個(gè)組合體。并且表示為許多元素的一個(gè)組合體。 有限元素的邊界常常是直線或平面。所以，如果求解區(qū)有限元素的邊界常常是直線或平面。所以，如果求解區(qū)域有曲線或曲面邊界的話，就可

15、被一系列直線段或平面近似域有曲線或曲面邊界的話，就可被一系列直線段或平面近似地表示出來(lái)。有限元素網(wǎng)格的數(shù)學(xué)解釋就是空間的再分割。地表示出來(lái)。有限元素網(wǎng)格的數(shù)學(xué)解釋就是空間的再分割。微電子器件及工藝CAD13國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心 6.2.2 元素和插值函數(shù)概述元素和插值函數(shù)概述 除了用直接法建立有限元方程外，用其他三種方法建立除了用直接法建立有限元方程外，用其他三種方法建立元素特性方程都需要選擇每個(gè)元素上的插值函數(shù)。插值函數(shù)元素特性方程都需要選擇每個(gè)元素上的插值函數(shù)。插值函數(shù)不是任意選取的，它應(yīng)滿足如下要求：不是任意選取的，它應(yīng)滿足如下要求： (1). 在元素的交界面（邊界）處，場(chǎng)變量在

16、元素的交界面（邊界）處，場(chǎng)變量 及其任一階偏及其任一階偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)(直至比在有限元積分方程中出現(xiàn)的最高階偏導(dǎo)數(shù)少一直至比在有限元積分方程中出現(xiàn)的最高階偏導(dǎo)數(shù)少一階為止階為止)都必須連續(xù)。都必須連續(xù)。 在有限元素法中，求解區(qū)域的元素網(wǎng)格一旦確定，則在在有限元素法中，求解區(qū)域的元素網(wǎng)格一旦確定，則在每個(gè)元素上的未知場(chǎng)變量的特性就由連續(xù)函數(shù)近似地表達(dá)。每個(gè)元素上的未知場(chǎng)變量的特性就由連續(xù)函數(shù)近似地表達(dá)。這些連續(xù)函數(shù)用場(chǎng)變量的節(jié)點(diǎn)值以及其直到某階導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)這些連續(xù)函數(shù)用場(chǎng)變量的節(jié)點(diǎn)值以及其直到某階導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值表示。值表示。定義在每個(gè)有限元素上的函數(shù)稱為定義在每個(gè)有限元素上的函數(shù)稱為插值函數(shù)插值函數(shù)。整個(gè)

17、。整個(gè)求解區(qū)域上插值函數(shù)的集合提供場(chǎng)變量的一個(gè)分片近似。求解區(qū)域上插值函數(shù)的集合提供場(chǎng)變量的一個(gè)分片近似。連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)微電子器件及工藝CAD14國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心 (2). 在極限情況下當(dāng)元素的尺寸縮小為零時(shí)，在極限情況下當(dāng)元素的尺寸縮小為零時(shí)， 的全部均的全部均勻狀態(tài)及其偏導(dǎo)數(shù)勻狀態(tài)及其偏導(dǎo)數(shù)(直至在有限元積分方程中出現(xiàn)的最高階直至在有限元積分方程中出現(xiàn)的最高階的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù))都能用都能用 來(lái)表示來(lái)表示。 )e( 這些要求由菲利帕這些要求由菲利帕(Felippa)、克勞夫給出，并為奧利維克勞夫給出，并為奧利維拉拉(Oliverira)所證明。前

18、一個(gè)要求稱為協(xié)調(diào)性要求，第二個(gè)所證明。前一個(gè)要求稱為協(xié)調(diào)性要求，第二個(gè)要求稱為完備性要求。插值函數(shù)滿足第一個(gè)要求的元素稱為要求稱為完備性要求。插值函數(shù)滿足第一個(gè)要求的元素稱為協(xié)調(diào)元素或保續(xù)元素；滿足第二個(gè)要求的元素稱為完備元素。協(xié)調(diào)元素或保續(xù)元素；滿足第二個(gè)要求的元素稱為完備元素。 采用以下的定義和記號(hào)表達(dá)場(chǎng)變量在元素交界面上連續(xù)采用以下的定義和記號(hào)表達(dá)場(chǎng)變量在元素交界面上連續(xù)性的程度。如果場(chǎng)變量在元素交界面上是連續(xù)的就說(shuō)有性的程度。如果場(chǎng)變量在元素交界面上是連續(xù)的就說(shuō)有 連連續(xù)；此外，若一階導(dǎo)數(shù)也是連續(xù)的，就說(shuō)續(xù)；此外，若一階導(dǎo)數(shù)也是連續(xù)的，就說(shuō) 有連續(xù)；若二階有連續(xù)；若二階導(dǎo)數(shù)也是連續(xù)的，

19、就說(shuō)有導(dǎo)數(shù)也是連續(xù)的，就說(shuō)有 連續(xù)等等。連續(xù)等等。0c1c2c 6.2.2 元素和插值函數(shù)概述元素和插值函數(shù)概述連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)微電子器件及工藝CAD15國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心 由此可見，當(dāng)對(duì)所要解決的問(wèn)題選用合適的元素類型時(shí)，由此可見，當(dāng)對(duì)所要解決的問(wèn)題選用合適的元素類型時(shí)，必須包括元素的形狀、節(jié)點(diǎn)的數(shù)目和類型、節(jié)點(diǎn)變量的類型必須包括元素的形狀、節(jié)點(diǎn)的數(shù)目和類型、節(jié)點(diǎn)變量的類型和插值函數(shù)的類型，這些特性中只要缺少一項(xiàng)，對(duì)元素的描和插值函數(shù)的類型，這些特性中只要缺少一項(xiàng)，對(duì)元素的描述就是不完整的。述就是不完整的。雖然可以設(shè)想許多類型的函數(shù)都可以作為雖然可以

20、設(shè)想許多類型的函數(shù)都可以作為插值函數(shù)，但是只有多項(xiàng)式得到了廣泛的應(yīng)用。原因是多項(xiàng)插值函數(shù)，但是只有多項(xiàng)式得到了廣泛的應(yīng)用。原因是多項(xiàng)式的數(shù)學(xué)運(yùn)算較為容易，可以毫無(wú)困難地進(jìn)行積分和微分。式的數(shù)學(xué)運(yùn)算較為容易，可以毫無(wú)困難地進(jìn)行積分和微分。 以下將本著上述原則，討論在半導(dǎo)體器件模擬中常用的以下將本著上述原則，討論在半導(dǎo)體器件模擬中常用的元素類型和插值函數(shù)。元素類型和插值函數(shù)。0c0c 6.2.2 元素和插值函數(shù)概述元素和插值函數(shù)概述連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù) 構(gòu)造具有構(gòu)造具有 連續(xù)性的元素和插值函數(shù)并不特別困難，但連續(xù)性的元素和插值函數(shù)并不特別困難，但需要具有高階連續(xù)性時(shí)，困

21、難將迅速增加。需要具有高階連續(xù)性時(shí)，困難將迅速增加。對(duì)于要求對(duì)于要求 連續(xù)連續(xù)性的問(wèn)題，可以構(gòu)造出無(wú)限個(gè)合適的元素，但通常要從這多性的問(wèn)題，可以構(gòu)造出無(wú)限個(gè)合適的元素，但通常要從這多種元素中選用類型最簡(jiǎn)單的元素，以避免過(guò)大的計(jì)算工作量。種元素中選用類型最簡(jiǎn)單的元素，以避免過(guò)大的計(jì)算工作量。 微電子器件及工藝CAD16國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心 6.2.3 一維元素及其插值函數(shù)一維元素及其插值函數(shù) 最簡(jiǎn)單的元素是沿最簡(jiǎn)單的元素是沿x軸的直線線段，叫做線元素。軸的直線線段，叫做線元素。 用線元素的節(jié)點(diǎn)值和節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)可以唯一地表示場(chǎng)變量用線元素的節(jié)點(diǎn)值和節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)可以唯一地表示場(chǎng)變量 在元素上的線性變

22、化。在元素上的線性變化。 元素元素12外節(jié)點(diǎn)外節(jié)點(diǎn)外節(jié)點(diǎn)外節(jié)點(diǎn)元素元素12內(nèi)節(jié)點(diǎn)內(nèi)節(jié)點(diǎn)3123456 圖圖6-1 一維線元素一維線元素連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)微電子器件及工藝CAD17國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心元素元素12外節(jié)點(diǎn)外節(jié)點(diǎn)外節(jié)點(diǎn)外節(jié)點(diǎn)x1x2)x()e( x1x2x1x2N1(x)N2(x)(a)(b)(c)圖圖6-2 場(chǎng)變量在一維元素上的線性表示場(chǎng)變量在一維元素上的線性表示(a)一維直線元素一維直線元素,(b) 在元素在元素(e)上的線性變化上的線性變化,(c) 的線性插值函數(shù)的線性插值函數(shù) )x()e( )x()e( 6.2.3 一維元素及其插值函數(shù)一

23、維元素及其插值函數(shù)連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)111 2 微電子器件及工藝CAD18國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心21211122)e(xxxxxxxx)x( N1(x)和和N2(x)稱為稱為插值函數(shù)插值函數(shù)。(6.2.1) 6.2.3 一維元素及其插值函數(shù)一維元素及其插值函數(shù)連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)x1x2)x()e( 1 2 (6.2.3)(6.2.2) 2211)e()e(2121)e(NNNN,N)x( 12121221xxxx)x(N,xxxx)x(N 微電子器件及工藝CAD19國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心 6.2.4 二維元素及其插值函數(shù)二

24、維元素及其插值函數(shù) 圖圖6-3 二為元素二為元素(a) 三節(jié)點(diǎn)三角形三節(jié)點(diǎn)三角形 (b) 矩形矩形 (c) 六節(jié)點(diǎn)三角形六節(jié)點(diǎn)三角形 (d) 十節(jié)點(diǎn)三角形十節(jié)點(diǎn)三角形 (e) 梯形梯形 (a) (b) (c) (d) (e) 連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)微電子器件及工藝CAD20國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心 在半導(dǎo)體器件模擬中常采用的二維元素是在半導(dǎo)體器件模擬中常采用的二維元素是三節(jié)點(diǎn)三角形三節(jié)點(diǎn)三角形元素元素。根據(jù)區(qū)域離散化的形式，可以允許。根據(jù)區(qū)域離散化的形式，可以允許 在每個(gè)元素上按在每個(gè)元素上按線性變化，如圖線性變化，如圖6-4。與元素。與元素(e)相聯(lián)系的相聯(lián)系的

25、 的三個(gè)節(jié)點(diǎn)值的的三個(gè)節(jié)點(diǎn)值的平面由下述方程描述。平面由下述方程描述。圖圖6-4 分片的線性求解曲面分片的線性求解曲面)y, x( i k j xy通過(guò)通過(guò) 的三節(jié)的三節(jié)點(diǎn)值的平面點(diǎn)值的平面 用此方程可在每個(gè)節(jié)點(diǎn)用此方程可在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上計(jì)算上計(jì)算 的節(jié)點(diǎn)值。的節(jié)點(diǎn)值。 ),()(3)(2)(1)(eeeeyxyxb bb bb b (6.2.4) ),(),(),()(3)(2)(1)()(3)(2)(1)()(3)(2)(1)(kekeeekjejeeejieieeeiyxyxyxyxyxyxb bb bb b b bb bb b b bb bb b (6.2.5) 6.2.4 二維元素及其插

26、值函數(shù)二維元素及其插值函數(shù)連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)微電子器件及工藝CAD21國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心 從而求得用元素節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)和從而求得用元素節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)和 的節(jié)點(diǎn)值來(lái)表示的常數(shù)的節(jié)點(diǎn)值來(lái)表示的常數(shù) 。)e(3)e(2)e(1,b bb bb bD D D D D D 2)()()(2)()()(2)()()()(3)(2)(1ijkkijjkiejikikjkjiekjjikijikjkikjiexxxxxxyyyyyyyxyxxyyxxyyx b b b b b b(6.2.6)kkjjiiyxyxyx1112 D D頂點(diǎn)為頂點(diǎn)為i,j,k的三角形的面積的三角形的

27、面積 2 6.2.4 二維元素及其插值函數(shù)二維元素及其插值函數(shù)連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)微電子器件及工藝CAD22國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心把方程把方程(6.2.6)代入方程代入方程(6.2.4)， 6.2.4 二維元素及其插值函數(shù)二維元素及其插值函數(shù)連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)D D D D D D 2)()()(2)()()(2)()()()(3)(2)(1ijkkijjkiejikikjkjiekjjikijikjkikjiexxxxxxyyyyyyyxyxxyyxxyyx b b b b b b ),()(3)(2)(1)(eeeeyxyxb

28、 bb bb b ijkjikjkjikkijikjijikjjkikjikikjikkkkjjjjiiii)e(xxc ,yyb,xyyxaxxc ,yyb,xyyxaxxc ,yyb,xyyxa2ycxba2ycxba2ycxba)y, x( D D D D D D (6.2.7)(6.2.8) 整理各項(xiàng)，有整理各項(xiàng)，有aiajakbibjbkcickcj微電子器件及工藝CAD23國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心Nl(e)就是三節(jié)點(diǎn)三角形元素的線性插值函數(shù)。就是三節(jié)點(diǎn)三角形元素的線性插值函數(shù)。 kjilycxbaNNNNNyxxxcyybxyyxaxxcyybxyyxaxxcyybxyyxay

29、cxbaycxbaycxbayxllleleekjiekejeieijkjikjkjikkijikjijikjjkikjikikjikkkkjjjjiiiie,2),(,222),()()()()()()()()( D D D D D D D D (6.2.7)(6.2.8)(6.2.9)(6.2.10)把方程把方程(6.2.6)代入方程代入方程(6.2.4)，整理各項(xiàng)，有整理各項(xiàng)，有 6.2.4 二維元素及其插值函數(shù)二維元素及其插值函數(shù)連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)BACK微電子器件及工藝CAD24國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心 某一三角形元素某一三角形元素e，頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為

30、頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為i(0,0),j(1,0),k(1/2,1)，求求i,j,k節(jié)點(diǎn)處的插值函數(shù)。由節(jié)點(diǎn)處的插值函數(shù)。由(6.2.8)得得y21x12ycxbaN11211011001yx1yx1yx12iii)e(ikkjjii D D D D于是可得差值函數(shù)于是可得差值函數(shù) 6.2.4 二維元素及其插值函數(shù)二維元素及其插值函數(shù)2111, iiijkikjikikjicbaxxcyybxyyxa連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)微電子器件及工藝CAD25國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心yx212ycxbaNjjj)e(j D D 于是可得差值函數(shù)于是可得差值函數(shù) 6.2.4 二維元素及其

31、插值函數(shù)二維元素及其插值函數(shù)1c1b21axxc ,yyb,xyyxajjjkijikjijikj 某一三角形元素某一三角形元素e，頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為i(0,0),j(1,0),k(1/2,1)，求求i,j,k節(jié)點(diǎn)處的插值函數(shù)。由節(jié)點(diǎn)處的插值函數(shù)。由(6.2.8)得得連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)微電子器件及工藝CAD26國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心y12ycxbaNkkk)e(k D D 于是可得差值函數(shù)于是可得差值函數(shù) 6.2.4 二維元素及其插值函數(shù)二維元素及其插值函數(shù)1c0b1axxc ,yyb,xyyxakkkijkjikjkjik 某一三角形元素某一三角

32、形元素e，頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為i(0,0),j(1,0),k(1/2,1)，求求i,j,k節(jié)點(diǎn)處的插值函數(shù)。由節(jié)點(diǎn)處的插值函數(shù)。由(6.2.8)得得連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)微電子器件及工藝CAD27國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心 6.2.5.三維元素三維元素連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)連續(xù)介質(zhì)離散化及插值函數(shù)微電子器件及工藝CAD28國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心6-3 加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法微電子器件及工藝CAD29國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法 第一步是假定有關(guān)場(chǎng)變量的一般函數(shù)性質(zhì)，以某種方式第一步是假定有關(guān)場(chǎng)變量的一般函數(shù)性質(zhì)，以某種方式近似地滿足

33、給定的微分方程和邊界條件，把這種近似值代入近似地滿足給定的微分方程和邊界條件，把這種近似值代入原來(lái)的微分方程和邊界條件中，一般來(lái)講，所得結(jié)果會(huì)出現(xiàn)原來(lái)的微分方程和邊界條件中，一般來(lái)講，所得結(jié)果會(huì)出現(xiàn)某種誤差，稱為某種誤差，稱為余數(shù)余數(shù)，這種余數(shù)在整個(gè)求解區(qū)域上按某種平，這種余數(shù)在整個(gè)求解區(qū)域上按某種平均意義要求為零。均意義要求為零。 第二步是求解由第一步所得的方程第二步是求解由第一步所得的方程(組組)，從而將一般的，從而將一般的函數(shù)形式化為某種特定的函數(shù)，于是成為所求的近似解。函數(shù)形式化為某種特定的函數(shù)，于是成為所求的近似解。 為了說(shuō)明問(wèn)題方便，我們以一個(gè)微分方程來(lái)加以說(shuō)明。為了說(shuō)明問(wèn)題方便，

34、我們以一個(gè)微分方程來(lái)加以說(shuō)明。設(shè)設(shè) 在以曲面在以曲面 為界的區(qū)域?yàn)榻绲膮^(qū)域D中由下述微分方程決定中由下述微分方程決定 ( )-f=0 (6.3.1) 加權(quán)余數(shù)法是求解線性和非線性偏微分方程近似解的一加權(quán)余數(shù)法是求解線性和非線性偏微分方程近似解的一項(xiàng)技術(shù)。項(xiàng)技術(shù)。加權(quán)余數(shù)法基本上包括兩個(gè)步驟。加權(quán)余數(shù)法基本上包括兩個(gè)步驟。微電子器件及工藝CAD30國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法 ( )-f=0 (6.3.1) 符號(hào)符號(hào)是微分算符，函數(shù)是微分算符，函數(shù)f為獨(dú)立變量的已知函數(shù)，并且為獨(dú)立變量的已知函數(shù)，并且假定在假定在 上給出了適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件。應(yīng)用加權(quán)函數(shù)法有下述上給出了適當(dāng)?shù)倪吔?/p>

35、條件。應(yīng)用加權(quán)函數(shù)法有下述兩步。兩步。 首先，用首先，用 近似地表示未知的精確解近似地表示未知的精確解 ， 可表示為插值可表示為插值函數(shù)的一個(gè)組合，即函數(shù)的一個(gè)組合，即 )y, x(CNm1iii (6.3.2) 式中式中Ni是假定的近似函數(shù)是假定的近似函數(shù)(即插值函數(shù)即插值函數(shù))，Ci或是未知參或是未知參數(shù)或是一個(gè)獨(dú)立變量的未知函數(shù)，這數(shù)或是一個(gè)獨(dú)立變量的未知函數(shù)，這m個(gè)函數(shù)個(gè)函數(shù)Ni通常要滿足通常要滿足整體邊界條件。整體邊界條件。微電子器件及工藝CAD31國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心 當(dāng)當(dāng) 代入方程代入方程(6.3.1)時(shí)，未必能滿足方程，即時(shí)，未必能滿足方程，即 ( )-f 0 或表示為

36、或表示為 ( )-f =R式中式中R是用是用 近似表示近似表示 時(shí)所產(chǎn)生的余數(shù)或誤差。加權(quán)余數(shù)法時(shí)所產(chǎn)生的余數(shù)或誤差。加權(quán)余數(shù)法是在整個(gè)求解區(qū)域上，通過(guò)使誤差是在整個(gè)求解區(qū)域上，通過(guò)使誤差R為微小的方法，來(lái)定出為微小的方法，來(lái)定出m個(gè)未知數(shù)個(gè)未知數(shù)Ci，其做法是做出誤差的加權(quán)平均值，使它在求其做法是做出誤差的加權(quán)平均值，使它在求解區(qū)域上為零。因此，可選擇解區(qū)域上為零。因此，可選擇m個(gè)線性無(wú)關(guān)的加權(quán)函數(shù)個(gè)線性無(wú)關(guān)的加權(quán)函數(shù)Wi，并且認(rèn)為，若并且認(rèn)為，若 加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法(6.3.3) 則在某種意義上則在某種意義上 0R (6.3.4)微電子器件及工藝CAD32國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心 方

37、程方程(6.3.4)中表示的誤差分布原理的形式與加權(quán)函數(shù)的中表示的誤差分布原理的形式與加權(quán)函數(shù)的選擇有關(guān)。一旦指定了加權(quán)函數(shù)，方程選擇有關(guān)。一旦指定了加權(quán)函數(shù)，方程(6.3.4)就表示出求就表示出求Ci的的m個(gè)方程，它們或者是代數(shù)方程，或者是常微分方程，于個(gè)方程，它們或者是代數(shù)方程，或者是常微分方程，于是第二步是解方程是第二步是解方程(6.3.4)求求Ci。通過(guò)方程通過(guò)方程(6.3.2)可得到未知場(chǎng)可得到未知場(chǎng)變量變量 的近似表示。可以證明，對(duì)于許多線性問(wèn)題，甚至某的近似表示。可以證明，對(duì)于許多線性問(wèn)題，甚至某些非線性問(wèn)題，當(dāng)些非線性問(wèn)題，當(dāng) 時(shí)，時(shí)，(6.3.4) m加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法 由

38、于可采用的加權(quán)函數(shù)或誤差分布原理有多種選擇方式，由于可采用的加權(quán)函數(shù)或誤差分布原理有多種選擇方式，因而就有多種加權(quán)余數(shù)技術(shù)。最經(jīng)常用來(lái)推導(dǎo)有限元方程的因而就有多種加權(quán)余數(shù)技術(shù)。最經(jīng)常用來(lái)推導(dǎo)有限元方程的誤差分布原理稱為伽遼金準(zhǔn)則，或伽遼金法。根據(jù)伽遼金法誤差分布原理稱為伽遼金準(zhǔn)則，或伽遼金法。根據(jù)伽遼金法所選的加權(quán)函數(shù)與用來(lái)表示所選的加權(quán)函數(shù)與用來(lái)表示 的近似函數(shù)相同，即的近似函數(shù)相同，即Wi=Ni, m, 2 , 1i 微電子器件及工藝CAD33國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心 因此，伽遼金法要求因此，伽遼金法要求(6.3.5)加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法 上述討論是假定在整個(gè)求解區(qū)域上進(jìn)行的。由于方程

39、上述討論是假定在整個(gè)求解區(qū)域上進(jìn)行的。由于方程(6.3.1)對(duì)求解區(qū)域中的任意一點(diǎn)都成立，因此，對(duì)于由點(diǎn)集對(duì)求解區(qū)域中的任意一點(diǎn)都成立，因此，對(duì)于由點(diǎn)集所定義的整個(gè)區(qū)域中的任何子區(qū)域或元素也是成立的。所以，所定義的整個(gè)區(qū)域中的任何子區(qū)域或元素也是成立的。所以，可集中討論單獨(dú)一個(gè)元素，確定一個(gè)類似于方程可集中討論單獨(dú)一個(gè)元素，確定一個(gè)類似于方程(6.3.2)的局的局部近似，并且每次只對(duì)一個(gè)元素有效，這樣，場(chǎng)變量的有限部近似，并且每次只對(duì)一個(gè)元素有效，這樣，場(chǎng)變量的有限元素表示就變得可能了。元素表示就變得可能了。可將函數(shù)可將函數(shù)Ni視為定義在元素上的插視為定義在元素上的插值函數(shù)值函數(shù) ，而，而Ci

40、就是待定參數(shù)，它可以是場(chǎng)變量或者導(dǎo)數(shù)的就是待定參數(shù)，它可以是場(chǎng)變量或者導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值。于是，根據(jù)伽遼金法，可列出支配一個(gè)元素性質(zhì)的節(jié)點(diǎn)值。于是，根據(jù)伽遼金法，可列出支配一個(gè)元素性質(zhì)的方程方程)e(iN(6.3.6)( )-f=0 (6.3.1) )y, x(CNm1iii (6.3.2)微電子器件及工藝CAD34國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心 與前面一樣，式中上標(biāo)與前面一樣，式中上標(biāo)(e)限于一個(gè)元素范圍，且限于一個(gè)元素范圍，且 f(e)為定義在元素為定義在元素(e)上的強(qiáng)迫函數(shù)；上的強(qiáng)迫函數(shù)；N)e()e()e( (6.3.6) 對(duì)于整個(gè)集合體的每個(gè)元素，有象方程對(duì)于整個(gè)集合體的每個(gè)元素，有象方

41、程(6.3.6)那樣的一那樣的一組方程，由元素方程集合成系統(tǒng)方程之前，應(yīng)要求所選擇的組方程，由元素方程集合成系統(tǒng)方程之前，應(yīng)要求所選擇的近似函數(shù)近似函數(shù)Ni在集合過(guò)程中必須保證元素間的連續(xù)性。前面說(shuō)在集合過(guò)程中必須保證元素間的連續(xù)性。前面說(shuō)過(guò)，選擇插值函數(shù)要保證在元素邊界上過(guò)，選擇插值函數(shù)要保證在元素邊界上 的連續(xù)性，以及直的連續(xù)性，以及直至比最高階導(dǎo)數(shù)少一階的至比最高階導(dǎo)數(shù)少一階的 的各階偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性。的各階偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性。 加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法r為指定于元素上的未知參數(shù)的數(shù)目。為指定于元素上的未知參數(shù)的數(shù)目。微電子器件及工藝CAD35國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心 避免這種困境的常用方法是

42、改變方程避免這種困境的常用方法是改變方程(6.3.6)的形式，對(duì)的形式，對(duì)方程方程(6.3.6)的積分表達(dá)式進(jìn)行分部積分，可以得到包含較低的積分表達(dá)式進(jìn)行分部積分，可以得到包含較低階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式，從而可以利用較低階的元素間的連續(xù)性的階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式，從而可以利用較低階的元素間的連續(xù)性的近似函數(shù)。當(dāng)分部積分可能時(shí)，這便提供了一種方便的方法。近似函數(shù)。當(dāng)分部積分可能時(shí)，這便提供了一種方便的方法。引進(jìn)了在邊界的某些部分必須滿足的自然邊界條件。引進(jìn)了在邊界的某些部分必須滿足的自然邊界條件。雖然含雖然含有自然邊界條件的邊界項(xiàng)出現(xiàn)在每個(gè)元素方程中，但是在集有自然邊界條件的邊界項(xiàng)出現(xiàn)在每個(gè)元素方程中，但是在集

43、合元素方程時(shí)，只有邊界元素才給出非零的貢獻(xiàn)。在集合過(guò)合元素方程時(shí)，只有邊界元素才給出非零的貢獻(xiàn)。在集合過(guò)程之后，才引入固定的邊界條件。程之后，才引入固定的邊界條件。加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法微電子器件及工藝CAD36國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心 下面舉例說(shuō)明有限元法解微分方程的過(guò)程下面舉例說(shuō)明有限元法解微分方程的過(guò)程1,1, 0, 010022 xxxdxd邊界條件邊界條件 這是一個(gè)一維問(wèn)題，邊界只有首位兩個(gè)離散點(diǎn)。對(duì)于這這是一個(gè)一維問(wèn)題，邊界只有首位兩個(gè)離散點(diǎn)。對(duì)于這類問(wèn)題的邊界條件的處理，是讓首尾兩個(gè)元素的近似函數(shù)在類問(wèn)題的邊界條件的處理，是讓首尾兩個(gè)元素的近似函數(shù)在相應(yīng)的點(diǎn)取邊界條件規(guī)定值，這

44、樣，邊界條件就自動(dòng)滿足了。相應(yīng)的點(diǎn)取邊界條件規(guī)定值，這樣，邊界條件就自動(dòng)滿足了。 有限元法解題的步驟，首先是對(duì)微分方程的定義域進(jìn)行有限元法解題的步驟，首先是對(duì)微分方程的定義域進(jìn)行離散化。如圖離散化。如圖6-5所示。所示。加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法微電子器件及工藝CAD37國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心 下面舉例說(shuō)明有限元法解微分方程的過(guò)程下面舉例說(shuō)明有限元法解微分方程的過(guò)程1,1, 0, 010022 xxxdxd邊界條件邊界條件 1 2 3 4 x1=0 x2 x3 x4=1 元素元素 (1) (2) (3) 節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)313131圖圖6-5 區(qū)域離散化區(qū)域離散化加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法 可把定義域劃分成

45、可把定義域劃分成3個(gè)區(qū)域，即個(gè)區(qū)域，即3個(gè)元素，共有個(gè)元素，共有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)4就是邊界上的節(jié)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的值就是邊界條件就是邊界上的節(jié)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的值就是邊界條件規(guī)定值。這規(guī)定值。這3個(gè)元素的大小即長(zhǎng)度相等，均為個(gè)元素的大小即長(zhǎng)度相等，均為1/3。微電子器件及工藝CAD38國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心 )()()()()(2)(23 , 2 , 1, 1,01eeeeixxeeNlllidxNdxdll (6.3.7)加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法0dxd22 應(yīng)用伽遼金法，對(duì)元素應(yīng)用伽遼金法，對(duì)元素e，加權(quán)余數(shù)方程為加權(quán)余數(shù)方程為 1 2 3 4 x1=0 x2 x3 x4=1

46、 元素元素 (1) (2) (3) 節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)313131圖圖6-5 區(qū)域離散化區(qū)域離散化微電子器件及工藝CAD39國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心 )()()()()(2)(23 , 2 , 1, 1,01eeeeixxeeNlllidxNdxdll 加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法0dxd22 應(yīng)用伽遼金法，對(duì)元素應(yīng)用伽遼金法，對(duì)元素e，加權(quán)余數(shù)方程為加權(quán)余數(shù)方程為其中其中xl和和xl+1分別為元素的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。分別為元素的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。 如果如果Ni采用線性插值函數(shù)，首先碰到其在元素交界處二采用線性插值函數(shù)，首先碰到其在元素交界處二階導(dǎo)數(shù)取不定值問(wèn)題。為此對(duì)方程階導(dǎo)數(shù)取不定值問(wèn)題。為此對(duì)方程(6.3.7

47、)進(jìn)行分部積分，得進(jìn)行分部積分，得(6.3.7)微電子器件及工藝CAD40國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心11111111)()()()()()()()()()()()()()()()()()(0,0 llllllllllllllllxxeeixxxxeieeiexxxxeieeiexxeeieeixxxxeieeeidxdNdxNdNdxddxNdNdxddxdNdxdvNudxNdxddN 整理得整理得利用分部積分公式利用分部積分公式 vduuvudv(6.3.8)加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法0dxNdxd)e(ixx)e(2)e(21ll 微電子器件及工藝CAD41國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心111

48、)()()()()()( llllllxxeeixxxxeieeiedxdNdxNdNdxd 首先，對(duì)于首先，對(duì)于元素元素1 1，根據(jù)，根據(jù)線性線性插值函數(shù)的定義，可得插值函數(shù)的定義，可得插值函數(shù)插值函數(shù)(6.3.8) 對(duì)于每一元素，下面給出方程對(duì)于每一元素，下面給出方程(6.3.8)的具體形式的具體形式 而而 ，其中，其中 分別為節(jié)點(diǎn)分別為節(jié)點(diǎn)1及節(jié)點(diǎn)及節(jié)點(diǎn)2處待處待求函數(shù)值。求函數(shù)值。 2211)e(NN 21, 12131, hhxxNhxx2N12121221)(,)(xxxxxNxxxxxN 加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法微電子器件及工藝CAD42國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心 dxNNdxdN

49、dxdNdxNdxdNdxNNNdxdNdxdNdxdNihhxxNhxxNhhh 020212112121022111221111221131,1 左邊，左邊，元素元素(6.3.8)2211)e(NN 111)()()()()()( llllllxxeeixxxxeieeiedxdNdxNdNdxd 加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法微電子器件及工藝CAD43國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心 21332223121h03h02222h03121h0222222h0221212h021221h0222h022121h012121h02211122111)6hh1()3hh1()3h2h(h1h13hh1h1)|

50、3x|x2h(h1h1|)xh(31h1h1dx)xxx(h1h1)xx (d)xx(h1h1dxh)xx)(xx(h1dxhxxh1dxNNdxdNdxdNdxNdxdNdxNNNdxdNdxdNdxdN 12121221)(,)(xxxxxNxxxxxN 加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法微電子器件及工藝CAD44國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心(6.3.8)2211)e(NN 210102121222220221122211231612 hhhhdxNNdxdNdxdNdxNdxdNdxNNNdxdNdxdNdxdNihhh12131, hhxxNhxx2N元素元素1111)()()()()()( lll

51、lllxxeeixxxxeieeiedxdNdxNdNdxd 加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法微電子器件及工藝CAD45國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心(6.3.8)hxxhxhxxhxhdxddxdNdxdhNdxdNidxddxdNdxdhNdxdNi )1(0)1(2)1(20)1(20)1(0)1(1)1(10)1(1)0()(, 2)0()(, 1 方程右邊方程右邊元素元素1111)()()()()()( llllllxxeeixxxxeieeiedxdNdxNdNdxd 12131, hhxxNhxx2N加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法代入代入微電子器件及工藝CAD46國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心 )1(2)

52、1(121)1(22)1(21)1(12)1(11)1(0)1(432100000000000031610061311ffkkkkdxddxdhhhhhhhhhxx 元素元素于是得元素于是得元素1中中 的有限元方程為的有限元方程為加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法21)6hh1()3hh1( 21)3hh1()6hh1( hx)1(0 x)1(dxddxd 矩陣形式矩陣形式微電子器件及工藝CAD47國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心111)()()()()()( llllllxxeeixxxxeieeiedxdNdxNdxdNdxd 322303232222222332223322223226131231,12

53、hhhhdxNNdxdNdxdNdxNdxdNdxNNNdxdNdxdNdxdNihhxxNhxxNhhhhh左邊，左邊，元素元素加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法微電子器件及工藝CAD48國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心111)()()()()()( llllllxxeeixxxxeieeiedxdNdxNdxdNdxd 232231,12 hhxxNhxxN元素元素 322203232323232332233322331613 hhhhdxNNdxdNdxdNdxNdxdNdxNNNdxdNdxdNdxdNihhhhh加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法微電子器件及工藝CAD49國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心111)()()

54、()()()( llllllxxeeixxxxeieeiedxdNdxNdxdNdxd 232231,12 hhxxNhxxN元素元素hxhxhxhhhxhxhxhhdxddxdhNdxdhNdxdNidxddxdhNdxdhNdxdNi2)2()2(32)2(32)2(3)2()2(22)2(22)2(2)()2(, 3)()2(, 2 方程右邊方程右邊加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法微電子器件及工藝CAD50國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心 )2(3)2(232)2(33)2(32)2(23)2(222)2()2(4321000000031610006131000002ffkkkkdxddxdhhhhhh

55、hhhxhx 元素元素加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法于是得元素于是得元素2中中 的有限元方程為的有限元方程為326hh13hh1 2i 323hh16hh1 3i h2x)2(hx)2(dxddxd 微電子器件及工藝CAD51國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心 )3(4)3(343)3(44)3(43)3(34)3(331)3(2)3(43214433)3(34330031610061310000000000,13ffkkkkdxddxdhhhhhhhhNNhxxNhxxNxhx 元素元素加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法微電子器件及工藝CAD52國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心 )3(4)3(3)2(3)2(2)1(2)1(

56、14321)3(44)3(43)3(34)3(33)2(33)2(32)2(23)2(22)1(22)1(21)1(12)1(11000000ffffffkkkkkkkkkkkk 系統(tǒng)矩陣方程系統(tǒng)矩陣方程 )3(4)3(343)3(44)3(43)3(34)3(33ffkkkk )2(3)2(232)2(33)2(32)2(23)2(22ffkkkk )1(2)1(121)1(22)1(21)1(12)1(11ffkkkk 加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法hx)1(0 x)1(dxddxd h2x)2(hx)2(dxddxd 1x)3(h2x)3(dxddxd 微電子器件及工藝CAD53國(guó)際微電子中心國(guó)際

57、微電子中心加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法 1x0 x4321dxd00dxd3hh16hh1006hh13hh126hh1006hh13hh126hh1006hh13hh1總方程為總方程為上述方程有上述方程有4個(gè)未知數(shù)個(gè)未知數(shù) ，由此可見集合元素方，由此可見集合元素方程構(gòu)成系統(tǒng)方程時(shí)，內(nèi)部元素邊界無(wú)需考慮，只有邊界元素程構(gòu)成系統(tǒng)方程時(shí)，內(nèi)部元素邊界無(wú)需考慮，只有邊界元素的邊界條件需要考慮。的邊界條件需要考慮。1x0 x32|dxd,|dxd, 微電子器件及工藝CAD54國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心6103. 0,2889. 06098. 0,2885. 0100031610061312610061312

58、61006131323241104321 解析解為解析解為解得解得，代入邊界條件代入邊界條件總方程為總方程為xxdxddxdhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法微電子器件及工藝CAD55國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法 該方程寫成矩陣形式為該方程寫成矩陣形式為 fK 其中其中k為系數(shù)矩陣，為系數(shù)矩陣， 為節(jié)點(diǎn)變量矩陣，為節(jié)點(diǎn)變量矩陣，f為方程右邊的為方程右邊的項(xiàng)。項(xiàng)。 由上例可以看出有限元方法解微分方程，主要工作式計(jì)算由上例可以看出有限元方法解微分方程，主要工作式計(jì)算k和和f。系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣k是一三對(duì)角線矩陣，可以用追趕法求解，是一三對(duì)角線矩陣，可以用

59、追趕法求解，計(jì)算起來(lái)并不困難。計(jì)算起來(lái)并不困難。 如以如以klm表示系數(shù)矩陣元，則歸納本例，表示系數(shù)矩陣元，則歸納本例，klm計(jì)算式為計(jì)算式為 Mm, ldxNNdxdNdxdNkmlmllm 1M為系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)總數(shù)為系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)總數(shù)具體到由具體到由i,j兩節(jié)點(diǎn)組成的元素，系數(shù)矩陣的矩陣元為兩節(jié)點(diǎn)組成的元素，系數(shù)矩陣的矩陣元為BACK微電子器件及工藝CAD56國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心316101122hhdxNdxdNkkhhdxNNdxdNdxdNkkj , im, l,kllllxxiijjiixxjijijiijlm 加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法微電子器件及工藝CAD57國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心

60、6-4一維一維Poisson方程的有限元方程方程的有限元方程微電子器件及工藝CAD58國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心一維一維Poisson方程的有限元方程方程的有限元方程 前一節(jié)介紹了用加權(quán)余數(shù)法建立有限元方程前一節(jié)介紹了用加權(quán)余數(shù)法建立有限元方程 ，從本節(jié)起，從本節(jié)起，將介紹有限元法在半導(dǎo)體器件模擬中的具體應(yīng)用。首先從比將介紹有限元法在半導(dǎo)體器件模擬中的具體應(yīng)用。首先從比較簡(jiǎn)單的一維較簡(jiǎn)單的一維Poisson方程開始，然后再介紹二維器件的有限方程開始，然后再介紹二維器件的有限元模擬法。元模擬法。微電子器件及工藝CAD59國(guó)際微電子中心國(guó)際微電子中心 10222022202222eeTaylor