數(shù)學(xué)函數(shù)模型在科學(xué)中的應(yīng)用

1、函數(shù)模型在科學(xué)中的應(yīng)用內(nèi)容提要：在初中科學(xué)教學(xué)中構(gòu)建合適的模型，可以有效的開展教學(xué)。在研究物理量之間的量化關(guān)系時(shí)，通常要控制變量，這使得研究結(jié)果與可變因素間形成了數(shù)學(xué)的自變量與應(yīng)變量的關(guān)系，構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)模型在教與學(xué)間搭建橋梁，使學(xué)習(xí)變得高效而充滿趣味。關(guān)鍵詞：函數(shù)模型；科學(xué)；應(yīng)用科學(xué)實(shí)驗(yàn)探究中，首先定性的研究可變因素與結(jié)果之間的關(guān)系。若存在定性的關(guān)系則進(jìn)一步研究存在的定量關(guān)系，對于結(jié)果可能存在多個(gè)影響因素，使用控制變量的方法，使得結(jié)果與可變因素形成一一對應(yīng)關(guān)系，這恰好對應(yīng)數(shù)學(xué)的函數(shù)。以下筆者就函數(shù)模型在科學(xué)中的應(yīng)用過程淺談一些看法。一、函數(shù)的定義及常見類型1、函數(shù)指在某變化過程中設(shè)有兩個(gè)變量

2、x,y,按照某個(gè)對應(yīng)法則，對于每一個(gè)給定的x值，都有唯一確定的y值與之對應(yīng)，那么y就是x的函數(shù)。其中x叫自變量，y叫x的因變量。2、初中常見的函數(shù)類型(1)一次函數(shù)：表達(dá)式為y=kx+b(kw0,k、b均為常數(shù))的函數(shù)，叫做y是x的一次函數(shù)。當(dāng)b=0時(shí)稱y為x的正比例函數(shù)，其圖像為直線。正比例函數(shù)是一次函數(shù)中的特殊情況。當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為零時(shí)的一次函數(shù)，可表示為y=kx(kW0),其圖像為經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線。(2)反比例函數(shù)：形如函數(shù)y=k/x(k為常數(shù)且kw0)叫做反比例函數(shù)，其圖像為雙曲線。(3)分段函數(shù)：分段函數(shù)；對于自變量x的不同的取值范圍，有著不同的對應(yīng)法則，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)。它是

3、一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)：分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)定義域的并集，值域也是各段函數(shù)值域的并集。二、構(gòu)建函數(shù)模型教學(xué)在初中科學(xué)教學(xué)過程中，涉及很多物理量之間量化關(guān)系的研究。在選擇教學(xué)方法中，先讓學(xué)生將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立表格模型，然后建立坐標(biāo)軸進(jìn)行描點(diǎn)，用光滑曲線連起來形成圖像模型，在利用圖像特點(diǎn)回歸到函數(shù)模型。這一方法符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，同時(shí)加強(qiáng)了學(xué)科之間的聯(lián)系，使得學(xué)生對研究問題的認(rèn)識明顯提高。八年級科學(xué)（上）第四章電路探秘，在學(xué)習(xí)了電路的基本物理量電流、電阻、電壓之后，需要研究三者之間的量化關(guān)系，通常的做法是：（1）控制電阻一定，研究電壓與電流的關(guān)系。（2）控制電壓一定，研究電流與電阻的關(guān)系。在（

4、1）中設(shè)計(jì)電路圖（甲）如下所示，移動滑動變阻器得到電壓和電流的多組數(shù)據(jù)并記錄表格（表一）。r®TR=5Q電壓/V電流/A表一從表格模型中，可以初步得出：電阻一定時(shí)，通過導(dǎo)體的電流隨電壓的增大而增大。接下來建立坐標(biāo)軸，橫坐標(biāo)為電流，縱坐標(biāo)為電壓，將表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行描點(diǎn)，最后用光滑的線連起來，得到一條經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的線段。從函數(shù)的角度，這符合正比例函數(shù)y=kx圖像的特征。由此進(jìn)一步可以得到結(jié)論：電阻一定時(shí)，導(dǎo)體中的電流與電壓成正比。用同樣的方法進(jìn)行上述（2）的研究，得到的圖像符合反比例函數(shù)y=k/x圖像的特征。由此進(jìn)一步可以得到結(jié)論：電壓一定時(shí)，導(dǎo)體中的電流與電阻成反比。最后確定電壓、電阻

5、、電流三者的關(guān)系為：I=U/R在上述的研究過程中，科學(xué)的物理量之間的定量關(guān)系借助數(shù)學(xué)函數(shù)圖像的建立過程，回歸到自變量與應(yīng)變量的關(guān)系，使最后結(jié)果的得出順理成章。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，對此類問題的研究有了明確的方法，自主學(xué)習(xí)能力得到加強(qiáng)。三、對實(shí)際問題的模型構(gòu)建學(xué)生在學(xué)習(xí)中利用構(gòu)建函數(shù)模型的思想，抓住所研究問題的本質(zhì)特征，對原型進(jìn)行抽象，把復(fù)雜的原型客體加以簡化和純化，并對抽象的假設(shè)或命題進(jìn)行邏輯轉(zhuǎn)換，以構(gòu)建一個(gè)能反映原型本質(zhì)聯(lián)系的函數(shù)模型。不僅可以使學(xué)生更好地掌握科學(xué)知識，同時(shí)可以培養(yǎng)學(xué)生的研究能力。例如：當(dāng)一個(gè)物體由靜止開始自由下落過程中，重力做功的功率與下落時(shí)間的關(guān)系。通常的方法是先計(jì)算做功再除

6、以下落時(shí)間，即P=W/t。但用公式P=GV這個(gè)公式模型判斷，此時(shí)功率取決于V的變化情況。自由落體運(yùn)動中速度V=gt,故功率P=Ggt。公式中G和g都是定值，從公式模型中可看出功率P和時(shí)間t成正比，符合正比例函數(shù)模型。故可以做圖來形象的理解，如下圖（一）所示。如果想進(jìn)一步研究重力做功與時(shí)間的關(guān)系，可從原來功率的計(jì)算基礎(chǔ)上再乘以時(shí)間，考慮這是一個(gè)勻加速過程，故速度應(yīng)取平均值，即V=1/2gt。此時(shí)重力做功可表示為W=1/2Ggt2。此公式模型屬于二次函數(shù)，對應(yīng)的圖像應(yīng)為拋物線，如下圖（二）所示。圖（一）圖（二）根據(jù)研究的任務(wù)、目的抽象出被研究對象的本質(zhì)特征，舍去許多次要的細(xì)節(jié)和非本質(zhì)的屬性，把要研

7、究的現(xiàn)象、問題從紛繁復(fù)雜的交錯(cuò)關(guān)系中明確、清晰地顯示出來，使問題得以簡化和明確化，并制訂出解決問題的程序，從而充分地發(fā)揮思維的能動作用，達(dá)到認(rèn)識原型的目的。四、利用函數(shù)公式模型與圖像模型解題函數(shù)模型是聯(lián)系實(shí)際問題與數(shù)學(xué)的橋梁，具有解釋、判斷、預(yù)測等重要功能，在科學(xué)研究中，函數(shù)模型是發(fā)現(xiàn)問題、解決問題和探索新規(guī)律的有效途徑之一。1、物理學(xué)中的一次函數(shù)運(yùn)用例如：在一次校運(yùn)動會，小明騎一質(zhì)量為m的獨(dú)輪車，以速度v勻速通過一重為G、長為L的水平獨(dú)木橋，獨(dú)木橋的兩端由兩根豎直支柱A、B支撐著，如圖所示.設(shè)獨(dú)輪車騎上A端支柱處為初始時(shí)刻（t=0）,下面哪一個(gè)圖正確地表示了B端支柱所受壓力Fb與時(shí)間t的函數(shù)

8、關(guān)系？（不考慮獨(dú)木橋的形變）（）首先要分析橋的受力，左右兩端的支持力分別為Fa、Fb,橋自身的重力G,在橋上移動的人與車的重力mg,我們以A為支點(diǎn)，那么橋的重力和人車重力都是要讓橋順時(shí)針轉(zhuǎn)動的力，而B端的支持力是要使橋逆時(shí)針轉(zhuǎn)動的力，因此有FbXL=GX0.5L+mgX,X是人車距離A端的距離：X=vt,因此可計(jì)算得到Fb=（mgv/L）M+0.5G。當(dāng)t=0時(shí)，F(xiàn)b=0.5G,當(dāng)t=L/v也就是彳f駛到B端時(shí)：FB=0.5G+mg。綜上B端支柱所受壓力Fb與時(shí)間t構(gòu)成一次函數(shù)關(guān)系，其圖像為上述B選項(xiàng)所示。物理學(xué)中涉及很多物理量間的量化關(guān)系，當(dāng)我們控制其他的可變因素之后，研究結(jié)果與唯一可變因素

9、之間就形成了相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。結(jié)合函數(shù)公式模型和對應(yīng)的圖像模型，讓解題變得輕松而有據(jù)可循。通過科學(xué)與數(shù)學(xué)的整合，有利于培養(yǎng)學(xué)生簡約、嚴(yán)密的思維品質(zhì)。2、化學(xué)中的分段函數(shù)運(yùn)用例如：做實(shí)驗(yàn)時(shí)，小科取了40mL的Ba（OH）2溶液，并隨手倒人等量的稀鹽酸（均未知濃度）。老師發(fā)現(xiàn)后，遞給他一瓶未知質(zhì)量分?jǐn)?shù)的K2CO3溶液，讓小科來檢測混合溶本題圖形從數(shù)學(xué)的角度可看作是分段函數(shù)模型。當(dāng)碳酸鉀溶液質(zhì)量x取值范圍在（0,10）時(shí)，生成沉淀質(zhì)量為y=0;當(dāng)碳酸鉀溶液質(zhì)量x取值范圍在110,40時(shí)，生成沉淀質(zhì)量為y=0.328x+3.28;當(dāng)碳酸鉀溶液質(zhì)量x取值范圍在40時(shí)，生成沉淀質(zhì)量為y=0。分析原溶液發(fā)生的

10、反應(yīng)為Ba（OH）2+2HCl=BaCl2+2H2O。三個(gè)取值范圍內(nèi)發(fā)生的是不同的變化，x取值范圍在（0,10）發(fā)生的反應(yīng)是K2CO3+2HCl=2KCl+H2O+CO2T反應(yīng)后的溶質(zhì)組成為：BaCl2、KCl;x取值范圍在10,40時(shí)，BaCl2+K2CO3=BaCO3J+2KC1反應(yīng)后的溶質(zhì)組成為：KCl;x取值范圍在40時(shí)，碳酸鉀過量，沒有反應(yīng)發(fā)生，此時(shí)溶質(zhì)的組成為：KCl、K2CO3相關(guān)的圖形都可采取上述的方法進(jìn)行分析，理清在不同區(qū)域的變化，判斷反應(yīng)結(jié)束時(shí)溶液的物質(zhì)組成，完成所設(shè)問題的回答。并且此類為題可以推廣為如圖（二）所示的類型，解題的思路是一致的。總之構(gòu)建函數(shù)模型是數(shù)據(jù)處理的重要方法，充分理解函數(shù)公式模型與圖像模型的建立過程，以此來指導(dǎo)科學(xué)研究過程的數(shù)據(jù)處理，可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和思維廣度。學(xué)生置身于探索科學(xué)現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)科學(xué)規(guī)律的活動中，充分體會了學(xué)科之間的交融。學(xué)以致用激發(fā)其學(xué)習(xí)的積極性，以及繼續(xù)探索相關(guān)問題的濃厚興趣。同時(shí)順著科學(xué)的思路和方法去感知、去思索在不知不覺中，就領(lǐng)略到科學(xué)知識的