九年級數(shù)學(xué)下冊第章二次函數(shù)復(fù)習(xí)課件11

1、第27章 單元復(fù)習(xí)課 一、二次函數(shù)的概念一、二次函數(shù)的概念1.1.定義定義形如形如y=axy=ax2 2+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常數(shù)，是常數(shù)，a0)a0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)的函數(shù)叫做二次函數(shù). .2.2.由二次函數(shù)的定義可知二次函數(shù)必須滿足三個(gè)條件：由二次函數(shù)的定義可知二次函數(shù)必須滿足三個(gè)條件：(1)(1)函數(shù)關(guān)系式是整式；函數(shù)關(guān)系式是整式；(2)(2)化簡后自變量的最高次數(shù)必須是化簡后自變量的最高次數(shù)必須是2 2；(3)(3)二次項(xiàng)的系數(shù)不為二次項(xiàng)的系數(shù)不為0 0，一次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)b b和常數(shù)項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)c c可以為任意實(shí)可以為任意實(shí)數(shù)數(shù). . 3.3.二次函數(shù)定義

2、的應(yīng)用二次函數(shù)定義的應(yīng)用與二次函數(shù)定義有關(guān)的問題的應(yīng)用有兩個(gè)方面，解題的關(guān)鍵是與二次函數(shù)定義有關(guān)的問題的應(yīng)用有兩個(gè)方面，解題的關(guān)鍵是理解二次函數(shù)的概念：理解二次函數(shù)的概念：一是根據(jù)定義判斷函數(shù)的類型，在判斷時(shí)要先把函數(shù)化成一般一是根據(jù)定義判斷函數(shù)的類型，在判斷時(shí)要先把函數(shù)化成一般形式，再嚴(yán)格按照定義，對含有字母系數(shù)的二次函數(shù)，著重看形式，再嚴(yán)格按照定義，對含有字母系數(shù)的二次函數(shù)，著重看二次項(xiàng)的系數(shù)是否為零；二次項(xiàng)的系數(shù)是否為零；二是根據(jù)二次函數(shù)的定義，求某些字母的取值范圍，解題的關(guān)二是根據(jù)二次函數(shù)的定義，求某些字母的取值范圍，解題的關(guān)鍵是根據(jù)次數(shù)構(gòu)建關(guān)于所求字母的方程，然后求解鍵是根據(jù)次數(shù)構(gòu)建

3、關(guān)于所求字母的方程，然后求解. 注：注：(1)(1)利用二次函數(shù)的定義解題時(shí)，尤其是含有字母系數(shù)的利用二次函數(shù)的定義解題時(shí)，尤其是含有字母系數(shù)的函數(shù)，應(yīng)特別留意二次項(xiàng)的系數(shù)是否為函數(shù)，應(yīng)特別留意二次項(xiàng)的系數(shù)是否為0.0.(2)(2)根據(jù)實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要注意自變量的取值范圍根據(jù)實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要注意自變量的取值范圍需保證使實(shí)際問題有意義需保證使實(shí)際問題有意義. .二、二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)二、二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)1.1.二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2的圖象及其性質(zhì)的圖象及其性質(zhì)(1)(1)拋物線拋物線y=axy=ax2 2的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對

4、稱軸是y y軸軸. .(2)(2)當(dāng)當(dāng)a a0 0時(shí)時(shí), ,圖象位于圖象位于x x軸的上方軸的上方, ,拋物線開口向上拋物線開口向上, ,頂點(diǎn)為頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)其最低點(diǎn); ;在對稱軸的左側(cè)，在對稱軸的左側(cè)，y y隨隨x x的增大而減小，在對稱軸的的增大而減小，在對稱軸的右側(cè)，右側(cè)，y y隨隨x x的增大而增大；的增大而增大；當(dāng)當(dāng)a a0 0時(shí)時(shí), ,圖象位于圖象位于x x軸的下方軸的下方, ,拋物線開口向下拋物線開口向下, ,頂點(diǎn)為其最頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)；在對稱軸的左側(cè)，高點(diǎn)；在對稱軸的左側(cè)，y y隨隨x x的增大而增大，在對稱軸的右的增大而增大，在對稱軸的右側(cè)，側(cè)，y y隨隨x x的增大而減??；的

5、增大而減??；(3)(3)當(dāng)當(dāng)a a0 0時(shí)時(shí), ,函數(shù)函數(shù)y=axy=ax2 2有最小值，最小值是有最小值，最小值是0 0；當(dāng)當(dāng)a a0 0時(shí)時(shí), ,函數(shù)函數(shù)y=axy=ax2 2有最大值，最大值是有最大值，最大值是0.0.注：注：應(yīng)用函數(shù)圖象及其性質(zhì)時(shí)，要注意數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，特應(yīng)用函數(shù)圖象及其性質(zhì)時(shí)，要注意數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，特別是利用函數(shù)的圖象解決問題時(shí)，需充分考慮拋物線的對稱性別是利用函數(shù)的圖象解決問題時(shí)，需充分考慮拋物線的對稱性. .2.2.二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的圖象及其性質(zhì)的圖象及其性質(zhì)(1)(1)幾種特殊的二次函數(shù)圖象的特征幾種特殊的二次函數(shù)圖

6、象的特征函數(shù)關(guān)系式函數(shù)關(guān)系式開口方向開口方向?qū)ΨQ軸對稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)y=axy=ax2 2+k+k當(dāng)當(dāng)a a0 0時(shí)，開時(shí)，開口向上；當(dāng)口向上；當(dāng)a a0 0時(shí)，開口時(shí)，開口向下向下x=0 x=0(0,k)(0,k)y=a(x-h)y=a(x-h)2 2x=hx=h(h,0)(h,0)y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+kx=hx=h(h,k)(h,k)(2)(2)二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的圖象及其性質(zhì)的圖象及其性質(zhì)函數(shù)函數(shù)二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a，b b，c c為常數(shù)，為常數(shù)，a a0)0)圖象圖象a a

7、0 0a a0 0函數(shù)函數(shù)二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a，b b，c c為常數(shù)，為常數(shù)，a a0)0)性質(zhì)性質(zhì)拋物線開口向上拋物線開口向上拋物線開口向下拋物線開口向下對稱軸是直線對稱軸是直線 頂點(diǎn)是頂點(diǎn)是當(dāng)當(dāng)x x 時(shí)，時(shí)，y y隨隨x x的的增大而減小；當(dāng)增大而減??；當(dāng)x x時(shí)，時(shí)，y y隨隨x x的增大而增大的增大而增大當(dāng)當(dāng)x x 時(shí)時(shí),y,y隨隨x x的的增大而增大；當(dāng)增大而增大；當(dāng)x x時(shí)，時(shí)，y y隨隨x x的增大而減小的增大而減小拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)x= x= 時(shí)，時(shí)，y y有最小值，有最小值，y y最小值最小值= =拋物線有最高

8、點(diǎn)，當(dāng)拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)x= x= 時(shí)，時(shí)，y y有最大值，有最大值，y y最大值最大值= =bx2a ，2b4acb(,)2a4ab2ab2ab2ab2ab2a24acb.4ab2a24acb.4a3.3.系數(shù)系數(shù)a,b,ca,b,c與二次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象(1)a(1)a決定開口方向及開口大小決定開口方向及開口大小當(dāng)當(dāng)a a0 0時(shí)，開口向上，當(dāng)時(shí)，開口向上，當(dāng)a a0 0時(shí)，開口向下；時(shí)，開口向下；|a|a|越大，拋物越大，拋物線的開口越小線的開口越小; ;(2)b(2)b和和a a共同決定拋物線對稱軸的位置共同決定拋物線對稱軸的位置由于拋物線由于拋物線y=axy=ax2 2+b

9、x+c(a0)+bx+c(a0)的對稱軸是直線的對稱軸是直線 故：故：b=0b=0時(shí)，對稱軸為時(shí)，對稱軸為y y軸軸; ; 0(0(即即a,ba,b同號同號) )時(shí)，對稱軸在時(shí)，對稱軸在y y軸左側(cè)軸左側(cè); ; 0(0(即即a,ba,b異號異號) )時(shí)，對稱軸在時(shí)，對稱軸在y y軸右側(cè)軸右側(cè). .bx2a ，baba(3)c(3)c的大小決定拋物線的大小決定拋物線y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c與與y y軸交點(diǎn)的位置軸交點(diǎn)的位置當(dāng)當(dāng)x=0 x=0時(shí)，時(shí)，y=cy=c，拋物線拋物線y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c與與y y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0,c).(0,

10、c).即即c=0c=0，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；c c0 0，與，與y y軸交于正半軸軸交于正半軸; ;c c0 0，與，與y y軸交于負(fù)半軸軸交于負(fù)半軸. .以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立. . 4.4.二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律平移不改變圖形的形狀和大小，因此拋物線在平移的過程中，平移不改變圖形的形狀和大小，因此拋物線在平移的過程中，圖象的形狀、開口方向必相同，即圖象的形狀、開口方向必相同，即a a不變，所以拋物線不變，所以拋物線y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c可以由可以由y=axy=ax2 2平移得到平移

11、得到. .其平移的規(guī)律用語言來表示其平移的規(guī)律用語言來表示可以歸結(jié)為：可以歸結(jié)為：“上加下減，左加右減上加下減，左加右減”，平移時(shí)具體的對應(yīng)關(guān)，平移時(shí)具體的對應(yīng)關(guān)系可以用下列框圖來表示：系可以用下列框圖來表示：三、二次函數(shù)的相關(guān)計(jì)算三、二次函數(shù)的相關(guān)計(jì)算1.1.求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸的方法：求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸的方法：(1)(1)公式法：公式法：頂點(diǎn)是頂點(diǎn)是 , ,對稱軸是直線對稱軸是直線222b4acbyaxbxca(x),2a4a2b4acb(,)2a4abx.2a (2)(2)配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的關(guān)系式化為配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的關(guān)系式化為y=a(x-h)y=a

12、(x-h)2 2+k+k的形式，得到頂點(diǎn)為的形式，得到頂點(diǎn)為(h,k)(h,k)，對稱軸是直線，對稱軸是直線x=h.x=h.將將關(guān)系式關(guān)系式y(tǒng)=axy=ax2 2+bx+c+bx+c化為化為y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k的形式，其基本步驟是：的形式，其基本步驟是：提取二次項(xiàng)的系數(shù)，把二次項(xiàng)的系數(shù)化為提取二次項(xiàng)的系數(shù)，把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1(1(注意與一元二次注意與一元二次方程中配方法的區(qū)別方程中配方法的區(qū)別) )；對上面的二次函數(shù)的二次三項(xiàng)式配方，即加上一次項(xiàng)系數(shù)一對上面的二次函數(shù)的二次三項(xiàng)式配方，即加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，配方時(shí)不能改變原式的值；半的平方，配方時(shí)不能改變原式的

13、值；寫成寫成y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k的形式的形式. .(3)(3)運(yùn)用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱運(yùn)用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱的兩點(diǎn)的連線的垂直平分線是拋物線的對稱圖形，所以對稱的兩點(diǎn)的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn)軸，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn). . 若已知拋物線上兩點(diǎn)若已知拋物線上兩點(diǎn)(x(x1 1,y),y)、(x(x2 2,y),y)，則對稱軸方程可以表示為：，則對稱軸方程可以表示為：12xxx.22.2.求二次函數(shù)關(guān)系式求二次函數(shù)關(guān)系式(1)(1)二次函數(shù)關(guān)系式常用的有三種形

14、式二次函數(shù)關(guān)系式常用的有三種形式一般式：一般式：y yaxax2 2bxbxc(a0)c(a0)；頂點(diǎn)式：頂點(diǎn)式：y ya(xa(xh)h)2 2k(a0) k(a0) ；交點(diǎn)式：交點(diǎn)式：y ya(xa(xx x1 1)(x)(xx x2 2)(a0).)(a0).(2)(2)恰當(dāng)?shù)剡x擇二次函數(shù)的表達(dá)形式求關(guān)系式恰當(dāng)?shù)剡x擇二次函數(shù)的表達(dá)形式求關(guān)系式求解二次函數(shù)關(guān)系式一般用待定系數(shù)法，根據(jù)所給條件的不求解二次函數(shù)關(guān)系式一般用待定系數(shù)法，根據(jù)所給條件的不同，要靈活選用函數(shù)關(guān)系式的表達(dá)形式：同，要靈活選用函數(shù)關(guān)系式的表達(dá)形式：當(dāng)已知拋物線上任意三點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)為一般式當(dāng)已知拋物線上任意三點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)為

15、一般式y(tǒng) yaxax2 2bxbxc(a0)c(a0)的形式，然后組成三元一次方程組來求解的形式，然后組成三元一次方程組來求解. .當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大( (小小) )值時(shí)，通常設(shè)為頂值時(shí)，通常設(shè)為頂點(diǎn)式點(diǎn)式y(tǒng) ya(xa(xh)h)2 2k(a0)k(a0)的形式的形式. .當(dāng)已知拋物線與當(dāng)已知拋物線與x x軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)( (或交點(diǎn)橫坐標(biāo)或交點(diǎn)橫坐標(biāo)) )或已知拋物線與或已知拋物線與x x軸一個(gè)交點(diǎn)和對稱軸時(shí)，通常設(shè)為交點(diǎn)式：軸一個(gè)交點(diǎn)和對稱軸時(shí)，通常設(shè)為交點(diǎn)式：y ya(xa(xx x1 1)(x)(xx x2 2)(a0).)(a0).注：

16、注：(1)(1)用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的關(guān)系式，題目給出的方式用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的關(guān)系式，題目給出的方式比較靈活，除上述三種方式外，往往還結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)提供一比較靈活，除上述三種方式外，往往還結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)提供一些條件些條件. .如如拋物線的形狀相同拋物線的形狀相同( (形狀相同的兩個(gè)拋物線的二次項(xiàng)的系數(shù)相形狀相同的兩個(gè)拋物線的二次項(xiàng)的系數(shù)相同或互為相反數(shù)，在解題時(shí)要注意，防止漏解同或互為相反數(shù)，在解題時(shí)要注意，防止漏解) )；與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)所圍成的三角形的面積；與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)所圍成的三角形的面積；依據(jù)函數(shù)增減性，通過增減性的不同確定拋物線的對稱軸，依據(jù)函數(shù)增減性，通過增減性的

17、不同確定拋物線的對稱軸，再設(shè)為頂點(diǎn)式求解；再設(shè)為頂點(diǎn)式求解；結(jié)合函數(shù)的圖象平移給出某些點(diǎn)的坐標(biāo)；結(jié)合函數(shù)的圖象平移給出某些點(diǎn)的坐標(biāo)；應(yīng)用函數(shù)圖象與應(yīng)用函數(shù)圖象與x x軸的交點(diǎn)與一元二次方程的關(guān)系，借助方程軸的交點(diǎn)與一元二次方程的關(guān)系，借助方程的解給出條件的解給出條件. .(2)(2)不論應(yīng)用何種形式設(shè)關(guān)系式，最后求得的結(jié)果一般化為一般不論應(yīng)用何種形式設(shè)關(guān)系式，最后求得的結(jié)果一般化為一般形式形式. .(3)(3)當(dāng)題目條件中點(diǎn)的條件不足三個(gè)時(shí)，要充分利用二次函數(shù)的當(dāng)題目條件中點(diǎn)的條件不足三個(gè)時(shí)，要充分利用二次函數(shù)的對稱性轉(zhuǎn)化條件對稱性轉(zhuǎn)化條件. .四、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系四、二次函數(shù)與一

18、元二次方程的關(guān)系1.1.二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)與一元二次方程與一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的關(guān)系的關(guān)系(1)“(1)“數(shù)數(shù)”的角度：當(dāng)二次函數(shù)的角度：當(dāng)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的函數(shù)值等于的函數(shù)值等于0 0時(shí)，相應(yīng)的自變量的值即為一元二次方程時(shí)，相應(yīng)的自變量的值即為一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的的解解. .(2)(2)“形形”的角度：若拋物線的角度：若拋物線y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)與與

19、x x軸兩交點(diǎn)為軸兩交點(diǎn)為A(xA(x1 1,0),B(x,0),B(x2 2,0),0)，則一元二次方程，則一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a+bx+c=0(a0)0)的兩個(gè)根的兩個(gè)根為為x x1 1，x x2 2. . 2.2.拋物線與拋物線與x x軸的交點(diǎn)情況與一元二次方程的根的判別式的關(guān)軸的交點(diǎn)情況與一元二次方程的根的判別式的關(guān)系：系：(1)(1)有兩個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)交點(diǎn)b b2 2-4ac-4ac0;0;(2)(2)有一個(gè)交點(diǎn)有一個(gè)交點(diǎn)( (頂點(diǎn)在頂點(diǎn)在x x軸上軸上) )b b2 2-4ac=0;-4ac=0;(3)(3)沒有交點(diǎn)沒有交點(diǎn)b b2 2-4ac-4ac0.0.注

20、：注：根據(jù)拋物線的開口方向和頂點(diǎn)的位置也可以判斷拋物線與根據(jù)拋物線的開口方向和頂點(diǎn)的位置也可以判斷拋物線與x x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如a a0 0，頂點(diǎn)在，頂點(diǎn)在x x軸的上方，則拋物線與軸的上方，則拋物線與x x軸沒軸沒有交點(diǎn)有交點(diǎn). . 3.3.應(yīng)用二次函數(shù)圖象求方程的近似根的步驟應(yīng)用二次函數(shù)圖象求方程的近似根的步驟(1)(1)根據(jù)方程確定與方程有關(guān)的二次函數(shù)；根據(jù)方程確定與方程有關(guān)的二次函數(shù)；(2)(2)畫出二次函數(shù)的圖象；畫出二次函數(shù)的圖象；(3)(3)初步估值，確定一元二次方程的根的取值范圍，即確定拋物初步估值，確定一元二次方程的根的取值范圍，即確定拋物線與線與x x軸交點(diǎn)

21、的橫坐標(biāo)的大體范圍；軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的大體范圍；(4)(4)在初步估值確定的范圍內(nèi)，從小到大或從大到小依次取值，在初步估值確定的范圍內(nèi)，從小到大或從大到小依次取值，借助計(jì)算器探索，確定近似值借助計(jì)算器探索，確定近似值. .4.4.直線與拋物線的交點(diǎn)直線與拋物線的交點(diǎn)(1)y(1)y軸與拋物線軸與拋物線y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為(0,c).(0,c).(2)(2)與與y y軸平行的直線軸平行的直線x=hx=h與拋物線與拋物線y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c有且只有一個(gè)交點(diǎn)有且只有一個(gè)交點(diǎn)(h,ah(h,ah2 2+bh+c).+bh+c).(3)(3)拋物

22、線與拋物線與x x軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的圖象與的圖象與x x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x x1 1，x x2 2，是對應(yīng)的一元二次方程是對應(yīng)的一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的兩個(gè)實(shí)數(shù)根. .拋物線與拋物線與x x軸軸的交點(diǎn)情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定的交點(diǎn)情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定. .(4)(4)平行于平行于x x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)軸的直線與拋物線的交點(diǎn)同同(3)(3)一樣可能有一樣可能有0 0個(gè)交點(diǎn)、個(gè)交點(diǎn)、1 1個(gè)交點(diǎn)、個(gè)交點(diǎn)、2 2個(gè)交點(diǎn)個(gè)交點(diǎn).

23、 .當(dāng)有當(dāng)有2 2個(gè)交點(diǎn)個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k k，則橫坐標(biāo)是，則橫坐標(biāo)是axax2 2+bx+c=k+bx+c=k的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的兩個(gè)實(shí)數(shù)根. .(5)(5)一次函數(shù)一次函數(shù)y=kx+n(k0)y=kx+n(k0)的圖象的圖象l與二次函數(shù)與二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的圖象的圖象G G的交點(diǎn)，由方程組的交點(diǎn)，由方程組 的解的數(shù)目來確定的解的數(shù)目來確定: :方程組有兩組不同的解方程組有兩組不同的解l與與G G有兩個(gè)交點(diǎn)；方程組只有一有兩個(gè)交點(diǎn)；方程組只有一組解組解l與與G G只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無解只有一

24、個(gè)交點(diǎn)；方程組無解l與與G G沒有交點(diǎn)沒有交點(diǎn). .2ykxnyaxbxc，(6)(6)拋物線與拋物線與x x軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c與與x x軸軸兩交點(diǎn)為兩交點(diǎn)為A(xA(x1 1,0),B(x,0),B(x2 2,0),0)，由于，由于x x1 1，x x2 2是方程是方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的兩的兩個(gè)根，故個(gè)根，故x x1 1+x+x2 2= x= x1 1xx2 2= =b,ac,a221212121222ABxx(xx )(xx )4x xb4cb4ac().aa|a |a |五、應(yīng)用二次

25、函數(shù)解決實(shí)際問題五、應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題二次函數(shù)是反映現(xiàn)實(shí)世界中變量間的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的一二次函數(shù)是反映現(xiàn)實(shí)世界中變量間的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的一種常見的數(shù)學(xué)模型，它的應(yīng)用體現(xiàn)的核心問題是數(shù)學(xué)建模思想種常見的數(shù)學(xué)模型，它的應(yīng)用體現(xiàn)的核心問題是數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解題意，建立合適的函數(shù)模型的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解題意，建立合適的函數(shù)模型. .解解決此類問題的基本思路是：決此類問題的基本思路是：(1)(1)理解問題；理解問題；(2)(2)分析問題中的變分析問題中的變量和常量以及它們之間的關(guān)系；量和常量以及它們之間的關(guān)系；(3)(3)用函數(shù)關(guān)系式表示它們之間用函數(shù)關(guān)系式表

26、示它們之間的關(guān)系；的關(guān)系；(4)(4)計(jì)算或求解，并應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)作出判斷；計(jì)算或求解，并應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)作出判斷；(5)(5)檢檢驗(yàn)結(jié)果的合理性驗(yàn)結(jié)果的合理性. . 注：注：1.1.不能選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式表示實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系；不能選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式表示實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系；2.2.利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題時(shí)，對題意理解不清，導(dǎo)致無法利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題時(shí)，對題意理解不清，導(dǎo)致無法列出正確的函數(shù)關(guān)系式；列出正確的函數(shù)關(guān)系式；3.3.不考慮自變量的取值范圍，所求最值與實(shí)際不符；不考慮自變量的取值范圍，所求最值與實(shí)際不符；4.4.易把求最大值和最小值的公式與一元二次方程的求根公式相易把求

27、最大值和最小值的公式與一元二次方程的求根公式相混混. .實(shí)際問題實(shí)際問題實(shí)際問題實(shí)際問題的解決的解決二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c(a 0)+bx+c(a 0)二次函數(shù)與一元二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系二次方程的關(guān)系二次函數(shù)的二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象與性質(zhì)關(guān)系式關(guān)系式圖圖 象象性性 質(zhì)質(zhì)平移規(guī)律平移規(guī)律 二次函數(shù)的對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)二次函數(shù)的對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo) 【相關(guān)鏈接相關(guān)鏈接】 確定二次函數(shù)對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)的兩種方法確定二次函數(shù)對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)的兩種方法1.1.公式法：對稱軸是直線公式法：對稱軸是直線 頂點(diǎn)坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)是2.2.配方法：將二次函數(shù)通過配方化為配方法：將二次函

28、數(shù)通過配方化為y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k(a0)+k(a0)的形的形式式, ,對稱軸為對稱軸為x=h,x=h,頂點(diǎn)坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k)(h,k) bx2a ，2b4acb(,);2a4a【例例1 1】(2012(2012煙臺中考煙臺中考) )已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y=2(x-3)y=2(x-3)2 2+1.+1.下列說下列說法：其圖象的開口向下法：其圖象的開口向下; ;其圖象的對稱軸為直線其圖象的對稱軸為直線x=-3;x=-3;其其圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-1);(3,-1);當(dāng)當(dāng)x x3 3時(shí)時(shí),y,y隨隨x x的增大而減小，則其的增大而減小，則其中說法正確

29、的有中說法正確的有( )( )(A)1(A)1個(gè)個(gè) (B)2(B)2個(gè)個(gè) (C)3(C)3個(gè)個(gè) (D)4(D)4個(gè)個(gè) 【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】根據(jù)拋物線根據(jù)拋物線y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k(a0)+k(a0)的性質(zhì)進(jìn)行判斷的性質(zhì)進(jìn)行判斷. .【自主解答自主解答】選選A.2A.20 0，圖象的開口向上，故錯(cuò)誤圖象的開口向上，故錯(cuò)誤; ;圖象的對稱軸為直線圖象的對稱軸為直線x=3x=3，故錯(cuò)誤，故錯(cuò)誤; ;其圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為其圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,1)(3,1)，故錯(cuò)誤，故錯(cuò)誤; ;當(dāng)當(dāng)x x3 3時(shí)，時(shí)，y y隨隨x x的增大而減小，正確的增大而減小，正確. .綜上所述，說法正確的有，共

30、綜上所述，說法正確的有，共1 1個(gè)個(gè). . 確定函數(shù)關(guān)系式確定函數(shù)關(guān)系式 【相關(guān)鏈接相關(guān)鏈接】待定系數(shù)法主要用于確定二次函數(shù)的關(guān)系式待定系數(shù)法主要用于確定二次函數(shù)的關(guān)系式1.1.當(dāng)已知拋物線上任意三點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)當(dāng)已知拋物線上任意三點(diǎn)坐標(biāo)時(shí), ,可以通過設(shè)函數(shù)關(guān)系式為可以通過設(shè)函數(shù)關(guān)系式為一般式一般式y(tǒng)=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)進(jìn)行求解進(jìn)行求解; ;2.2.當(dāng)已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸或最值時(shí)當(dāng)已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸或最值時(shí), ,可以通過設(shè)函數(shù)可以通過設(shè)函數(shù)關(guān)系式為關(guān)系式為y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k(a0)+k(a0)進(jìn)行求解進(jìn)行求解; ;3.3.如

31、果已知拋物線與如果已知拋物線與x x軸的兩個(gè)交點(diǎn)軸的兩個(gè)交點(diǎn)(x(x1 1,0)(x,0)(x2 2,0),0)時(shí)，可設(shè)為時(shí)，可設(shè)為交點(diǎn)式交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-xy=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2) )進(jìn)行求解進(jìn)行求解. . 【例例2 2】(2012(2012佳木斯中考佳木斯中考) )如圖，拋物線如圖，拋物線y=xy=x2 2+bx+c+bx+c經(jīng)過坐標(biāo)經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，并與原點(diǎn)，并與x x軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)A(2,0).A(2,0).(1)(1)求此拋物線的解析式求此拋物線的解析式; ;(2)(2)寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸; ;(3)(3)若拋物線上有一點(diǎn)若拋物線上有一點(diǎn)B

32、 B，且，且S SOABOAB=3,=3,求點(diǎn)求點(diǎn)B B的坐標(biāo)的坐標(biāo). .【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】(1)(1)(2)(2)(3)(3)【自主解答自主解答】(1)(1)把把(0,0),(2,0)(0,0),(2,0)代入代入y=xy=x2 2+bx+c+bx+c得得 解得解得所以解析式為所以解析式為y=xy=x2 2-2x.-2x.(2)y=x(2)y=x2 2-2x=(x-1)-2x=(x-1)2 2-1,-1,頂點(diǎn)為頂點(diǎn)為(1,-1).(1,-1).對稱軸為直線對稱軸為直線x=1. x=1. c042b0，b2c0, ，(3)(3)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)B B的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(m,n)(m,n)，則，則解得解

33、得n=3n=3或或n=-3,n=-3,頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為-1,-3-1,-3-1(-1(或或x x2 2-2x=-3-2x=-3中，中，x x無解無解) )n=3,n=3,xx2 2-2x=3.-2x=3.解得解得x x1 1=3,x=3,x2 2=-1.=-1.所以點(diǎn)所以點(diǎn)B B的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(3,3)(3,3)或或(-1,3). (-1,3). 12 n3,2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)【相關(guān)鏈接相關(guān)鏈接】某些特殊形式的代數(shù)式的符號的判斷某些特殊形式的代數(shù)式的符號的判斷: :(1) a+b+c(1) a+b+c，即，即x=1x=1時(shí)時(shí)y y的值的值. .(2) b(2

34、) b2 2-4ac-4ac，根據(jù)圖象與，根據(jù)圖象與x x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷. .系數(shù)的符號系數(shù)的符號圖象特征圖象特征a a的符號的符號開口向上開口向上a0a0，開口向下，開口向下a0a0,y0,y2 20 (B)y0 (B)y1 10,y0,y2 200(C)y(C)y1 10,y0 (D)y0 (D)y1 10,y0,y2 200【解析解析】選選B. B. 圖象開口向下圖象開口向下, ,與與x x軸兩交點(diǎn)都在軸兩交點(diǎn)都在0 0到到1 1之間之間, ,由當(dāng)自變量由當(dāng)自變量x x取取m m時(shí)時(shí), ,對應(yīng)的函數(shù)值大于對應(yīng)的函數(shù)值大于0,0,得得0 0m m1,-11,-1m-1m-

35、10, 10, 1m+1m+12,2,根據(jù)圖象可得根據(jù)圖象可得y y1 10,y0,y2 20.0,b0)+bx(a0,b0)的圖象交于點(diǎn)的圖象交于點(diǎn)P,P,點(diǎn)點(diǎn)P P的縱坐標(biāo)為的縱坐標(biāo)為1,1,則關(guān)于則關(guān)于x x的方程的方程axax2 2+bx+ =0+bx+ =0的解為的解為_._.3yx 3x【解析解析】PP的縱坐標(biāo)為的縱坐標(biāo)為1,1,PP的橫坐標(biāo)為的橫坐標(biāo)為-3.-3. 可化為關(guān)于可化為關(guān)于x x的方程的方程axax2 2+bx= +bx= 的形式的形式, ,此方程的解即為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值此方程的解即為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值, ,x=-3.x=-3.答案：答案：x=-3x

36、=-331,x3,x 23axbx0 x3x7.(20117.(2011龍東中考龍東中考) )已知：拋物線與直線已知：拋物線與直線y=x+3y=x+3分別交于分別交于x x軸和軸和y y軸上同一點(diǎn)軸上同一點(diǎn), ,交點(diǎn)分交點(diǎn)分別是點(diǎn)別是點(diǎn)A A和點(diǎn)和點(diǎn)C,C,且拋物線的對稱軸為直線且拋物線的對稱軸為直線x=-2x=-2(1)(1)求出拋物線與求出拋物線與x x軸的兩個(gè)交點(diǎn)軸的兩個(gè)交點(diǎn)A A，B B的的坐標(biāo)坐標(biāo); ;(2)(2)試確定拋物線的關(guān)系式試確定拋物線的關(guān)系式; ;(3)(3)觀察圖象觀察圖象, ,請直接寫出二次函數(shù)值小于一次函數(shù)值的自變量請直接寫出二次函數(shù)值小于一次函數(shù)值的自變量x x的

37、取值范圍的取值范圍【解析解析】(1)y=x+3(1)y=x+3中中, ,當(dāng)當(dāng)y=0y=0時(shí)時(shí), x=-3, x=-3,點(diǎn)點(diǎn)A A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(-3,0).(-3,0).當(dāng)當(dāng)x=0 x=0時(shí)時(shí),y=3,y=3,點(diǎn)點(diǎn)C C坐標(biāo)為坐標(biāo)為(0,3)(0,3)拋物線的對稱軸為直線拋物線的對稱軸為直線x=-2,x=-2,點(diǎn)點(diǎn)A A與點(diǎn)與點(diǎn)B B關(guān)于直線關(guān)于直線x=-2x=-2對稱對稱點(diǎn)點(diǎn)B B的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是(-1,0)(-1,0)(2)(2)設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式為設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式為y=axy=ax2 2+bx+c,+bx+c,二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(0,3)C(0,3)和點(diǎn)和點(diǎn)A

38、(-3,0),A(-3,0),且對稱軸是直線且對稱軸是直線x=-2,x=-2,可列得方程組可列得方程組 解得：解得：二次函數(shù)的關(guān)系式為二次函數(shù)的關(guān)系式為y=xy=x2 2+4x+3.+4x+3.( (或?qū)Ⅻc(diǎn)或?qū)Ⅻc(diǎn)A A，點(diǎn)，點(diǎn)B B，點(diǎn)，點(diǎn)C C的坐標(biāo)依次代入關(guān)系式中求出的坐標(biāo)依次代入關(guān)系式中求出a a，b b，c c的值的值也可也可) )c39a3bc0,b22a ，a1b4c3.，(3)(3)由圖象觀察可知由圖象觀察可知, ,當(dāng)當(dāng)3 3x x0 0時(shí)時(shí), ,二次函數(shù)值小于一次函數(shù)二次函數(shù)值小于一次函數(shù)值值8.(20128.(2012南昌中考南昌中考) )如圖，已知函數(shù)如圖，已知函數(shù)L L1

39、 1: :y=xy=x2 2-4x+3-4x+3與與x x軸交于軸交于A A，B B兩點(diǎn)兩點(diǎn)( (點(diǎn)點(diǎn)A A在點(diǎn)在點(diǎn)B B左邊左邊) )，與，與y y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)C.C.(1)(1)寫出二次函數(shù)寫出二次函數(shù)L L1 1的開口方向、對稱軸和的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo); ; (2)(2)研究二次函數(shù)研究二次函數(shù)L L2 2:y=kx:y=kx2 2-4kx+3k(k0).-4kx+3k(k0).寫出二次函數(shù)寫出二次函數(shù)L L2 2與二次函數(shù)與二次函數(shù)L L1 1有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)；有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)；若直線若直線y=8ky=8k與拋物線與拋物線L L2 2交于交于E E，

40、F F兩點(diǎn)，問線段兩點(diǎn)，問線段EFEF的長度是否的長度是否發(fā)生變化？如果不會，請求出發(fā)生變化？如果不會，請求出EFEF的長度；如果會，請說明理由的長度；如果會，請說明理由. .【解析解析】(1)(1)拋物線拋物線y=xy=x2 2-4x+3-4x+3中，中，a=1a=1，b=-4b=-4，c=3;c=3;二次函數(shù)二次函數(shù)L L1 1的開口向上，對稱軸是直線的開口向上，對稱軸是直線x=2x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)(2,-1). (2,-1). 2b44acb4 3 162,1;2a24a4 (2)(2)二次函數(shù)二次函數(shù)L L2 2與與L L1 1有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)：有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)：對稱軸為直線對稱軸為直線x=2x=2或頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,2,都經(jīng)過都經(jīng)過A(1,0),B(3,0)A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn)兩點(diǎn); ;線段線段EFEF的長度不會發(fā)生變化的長度不會發(fā)生變化. .直線直線y=8ky=8k與拋物線與拋物線L L2 2交于交于E E，F(xiàn) F兩點(diǎn)兩點(diǎn), ,kxkx2 2-4k