五年級奧數(shù)圖形面積

1、實用標(biāo)準(zhǔn)文檔圖 形 面 積【基本原則】 各種具有一定綜合性的直線形面積問題，重點是需要利用同底或同高的兩三角形的面積相除的商等于對應(yīng)高或?qū)?yīng)底相除的商這一性質(zhì)的問題，其中包括四邊形和梯形被兩條對角線分割而成的4個小三角形之間的面積關(guān)系【典型例題】1圖16-1中三角形ABC的面積是180平方厘米，D是BC的中點，AD的長是AE長的3倍， EF的長是BF長的3倍那么三角形AEF的面積是多少平方厘米? 【分析與解】ABD，ABC等高，所以面積的比為底的比，有,所以=180=90(平方厘米) 同理有×90=30(平方厘米)，×30=22.5(平方厘米) 即三角形AEF的面積是22.

2、5平方厘米2如圖16-2，把四邊形ABCD的各邊都延長2倍，得到一個新四邊形EFGH如果ABCD的面積是5平方厘米，則EFGH的面積是多少平方厘米?【分析與解】 方法一：如下圖，連接BD，ED，BG， 有EAD、ADB同高，所以面積比為底的比，有同理 類似的，還可得，有=30平方厘米 連接AC，AF，HC，還可得，有=30平方厘米.有四邊形EFGH的面積為EAH,FCG,EFB,DHG,ABCD的面積和，即為30+30+5=65(平方厘米.) 方法二：連接BD，有EAH 、ABD中EAD+BAD=180°又夾成兩角的邊EA、AH，AB、AD的乘積比，=2×3=6，所以=6類

3、似的，還可得=6，有+=6（+)=6=30平方厘米 連接AC，還可得=6，=6，有+=6（+）=6=30平方厘米有四邊形EFGH的面積為EAH，F(xiàn)CG，EFB，DHG，ABCD的面積和，即為30+30+5=65平方厘米 評注：方法二用到了一個比較重要的性質(zhì)，若兩個三角形的某對夾角相等或互補(和為180°)，那么構(gòu)成這個角的兩邊乘積的比為面積比 這個原則，我們可以在中學(xué)數(shù)學(xué)中的三角部分學(xué)到，當(dāng)然我們也可以簡單的利用比例性質(zhì)及圖形變換來說明，有興趣的同學(xué)可以自己試試3圖16-3中的四邊形土地的總面積是52公頃，兩條對角線把它分成了4個小三角形，其中2個小三角形的面積分別是6公頃和7公頃那

4、么最大的一個三角形的面積是多少公頃?【分析與解】 方法一：如下圖所示，為了方便敘述，將某些點標(biāo)上字母因為ADE、DEC高相同，所以面積比為底的比，有=，所以=×6.同理有=，所以=×7 所以有ADE與ABE的面積比為6：7又有它們的面積和為52-(6+7)=39(公頃.)所以=×39=18(公頃)，=×39=21(公頃.)顯然，最大的三角形的面積為21公頃方法二：直接運用例2評注中的重要原則，在ABE，CDE中有AEB=CED，所以ABE，CDE的面積比為(AE×EB)：(CE×DE)同理有ADE，BCE的面積比為(AE×D

5、E)：(BE×EC) 所以有×=×，也就是說在所有凸四邊形中，連接頂點得到2條對角線，有圖形分成上、下、左、右4個部分，有：上、下部分的面積之積等于左右部分的面積之積 即×6=×7，所以有ABE與ADE的面積比為7：6，=×39=21公頃，=×39=18公頃 顯然，最大的三角形的面積為21公頃 評注：在方法二中，給出一個很重要的性質(zhì)：在所有凸四邊形中，連接頂點得到2條對角線，有圖形分成上、下、左、右4個部分，有：上、下部分的面積之積等于左右部分的面積之積希望大家牢牢記住，并學(xué)會在具體問題中加以運用.4. 如圖16-4，已知A

6、E=AC，CD=BC，BF=AB，那么等于多少? 【分析與解】 如下圖，連接AD，BE，CF. 有ABE，ABC的高相等，面積比為底的比，則有=，所以=×=同理有=,即=×=.類似的還可以得到=×=，=×= 所以有=-(+)=(1-)=即為5如圖16-5，長方形ABCD的面積是2平方厘米，EC=2DE，F(xiàn)是DG的中點陰影部分的面積是多少平方厘米? 【分析與解】 如下圖，連接FC，DBF、BFG的面積相等，設(shè)為x平方厘米;FGC、DFC的面積相等，設(shè)為y平方厘米，那么DEF的面積為y平方厘米 =2x+2y=1，=x+y=l×= 所以有比較、式，式

7、左邊比式左邊多2x，式右邊比式右邊大0.5，有2x=0.5，即x=0.25,y=0.25而陰影部分面積為y+y=×0.25=平方厘米 評注：將這種先利用兩塊獨立的圖形來表達相關(guān)圖形的面積，再根據(jù)已知條件列出一個二元一次方程組，最終求出解的方法稱為“凌氏類蝶形法” 類蝶形問題必須找好兩塊獨立的圖形，還必須將邊的比例關(guān)系轉(zhuǎn)化為面積的比例關(guān)系類似的還有一道題：ABC中，G是AC的中點，D、F是BC邊上的四等分點，AD與BG交于M，AF與BG交于N，已ABM的面積比四邊形FCGN的面積大1.2平方厘米，則ABC的面積是_平方厘米? 有興趣的同學(xué)可以自己試試6如圖16-6，已知D是BC中點，E

8、是CD的中點，F(xiàn)是AC的中點三角形ABC由這6部分組成，其中比多6平方厘米那么三角形ABC的面積是多少平方厘米?【分析與解】 因為E是DC中點，F(xiàn)為Ac中點，有AD=2FE且陽平行于AD，則四邊形ADEF為梯形 在梯形ADEF中有=，×=×，：=A：F=4又已知-=6，所以=6÷(4-1)=2，=×4：8，所以×=×：16，而=，所以=4，梯形ADEF的面積為、四塊圖形的面積和，為8+4+4+2=18有CEF與ADC的面積比為CE平方與CD平方的比，即為1：4所以ADC面積為梯形ADEF面積的=，即為18×=24 因為D是B

9、C中點，所以ABD與ADC的面積相等，而ABC的面積為ABD、ADC的面積和，即為24+24=48平方厘米 三角形ABC的面積為48平方厘米 評注：梯形中連接兩條對角線則分梯形為4部分，稱之為：上、下、左、右如下圖：運用比例知識，知道：上、下部分的面積比等于上、下邊平方的比左、右部分的面積相等上、下部分的面積之積等于左、右部分的面積之積7圖16-7是一個各條邊分別為5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形如圖16-8，將它的短直角邊對折到斜邊上去與斜邊相重合，那么圖168中的陰影部分(即未被蓋住的部分)的面積是多少平方厘米? 【分析與解】 如下圖，為了方便說明，將某些點標(biāo)上字母有ABC為直角，而

10、CED=ABC，所以CED也為直角.而CE=CB=5.ADE與CED同高，所以面積比為底的比，及=，設(shè)ADE的面積為“8”，則CED的面積為“5” CED是由CDB折疊而成，所以有CED、CDB面積相等，ABC是由ADE、CED、CDB組成，所以=“8”+“5”+“5”=“18”對應(yīng)為×5×12=30，所以“1”份對應(yīng)為，那么ADE的面積為8×=13平方厘米 即陰影部分的面積為13平方厘米8如圖16-9，在一個梯形內(nèi)有兩個三角形的面積分別為10與12，已知梯形的上底長是下底長的那么余下陰影部分的面積是多少? 【分析與解】 不妨設(shè)上底長2，那么下底長3，則上面部分的

11、三角形的高為10÷2×2=10，下面部分的三角形的高為12÷3×2=8，則梯形的高為lO+8=18所以梯形的面積為×(2+3)×18=45，所以余下陰影部分的面積為45-10-12=23 評注：這道題中上下底、梯形的高都不確定，但是余下陰影部分的面積卻是確定的值，所以面積值與上下底、高的確定值無關(guān)，所以可以大膽假設(shè)，當(dāng)然也可以謹慎的將上底設(shè)為2x下底為3x9圖16-10中ABCD是梯形，三角形ADE面積是18，三角形ABF的面積是9,三角形BCF的面積是27那么陰影部分面積是多少?【分析與解】 設(shè)ADF的面積為“上”，BCF的面積為“

12、下”， ABF的面積為“左”，DCF的面積為“右”左=右=9；上×下=左×右=9×9=81，而下=27，所以上=81÷27=3.ADE的面積為1.8，那么AEF的面積為1.2，則EF：DF=：=1.2：3=0.4 CEF與CDF的面積比也為EF與DF的比，所以有=0.4×=0.4×(3+9)=4.8即陰影部分面積為4.810如圖16-11，梯形ABCD的上底AD長為3厘米，下底BC長為9厘米，而三角形ABO的面積為12平方厘米則梯形ABCD的面積為多少平方厘米?【分析與解】 ADD與BCO的面積比為AD平方與BC平方的比，即為9：81

13、= 而DCO與ABO的面積相等為12，又×=×=12×12=144， 因為144÷9=4×4，所以=4，則=4×9=36， 而梯形ABCD的面積為ADO、BCO、ABO、CDO的面積和，即為4+36+12+12=64平方厘米 即梯形ABCD的面積為64平方厘米11如圖16-12，BD，CF將長方形ABCD分成4塊，紅色三角形面積是4平方厘米，黃色三角形面積是6平方厘米問：綠色四邊形面積是多少平方厘米? 【分析與解】 連接BF，四邊形BCDF為梯形，則BFE的面積與黃色CDE的面積相等為6. ，所以. . 又因為BD是長方形ABCD的對

14、角線， 所以. 綠色四邊形面積為11平方厘米12如圖16-13，平行四邊形ABCD周長為75厘米以BC為底時高是14厘米；以CD為底時高是16厘米求平行四邊形ABCD的面積【分析與解】 因為平行四邊形面積等于底與對應(yīng)高的積，所以有14×BC=16 ×CD，即BC：CD=8：7，而2(BC+CD)=75，所以BC=20，以BC為底，對應(yīng)高為14，20×14=280，所以平行四邊形ABCD的面積為280平方厘米13如圖16-14，一個正方形被分成4個小長方形，它們的面積分別是平方米、平方米、平方米和平方米已知圖中的陰影部分是正方形，那么它的面積是多少平方米?【分析與解】 為了方便敘述，將某些點標(biāo)上字母，如下圖：大正方形的面積為，所以大正方形的邊長應(yīng)為1.上面兩個長方形的面積之比為=3：4，所以IG=下面兩個長方形的面積之比為=2：l，所以IG=那么LI=，那么陰影小正方形的面積為14圖16-15中外側(cè)的四邊形是一邊長為10厘米的正方形，求陰影部分的面積 【分析與解】 如下圖所示，所以陰影部分在圖中為四邊形EFGH設(shè)陰影部分面積為“陰”平方厘米，正方形內(nèi)的其他部分面積設(shè)為“空”平方厘米 DGH、HMG的面積相等，GCF與GPF；FBE與 EOF，HAE與HNE這3對三角形的面積