基于繩結(jié)理論的研究

1、關(guān)于繩結(jié)理論的研究目錄1 問題重述12 模型假設(shè)13 符號說明14 模型的建立與求解24.1整體分析24.2 模型的建立與求解44.2.1 基于幾何分析理論的力學(xué)模型44.2.2 基于彈性分析理論的摩擦力模型5力的損失預(yù)測模型85.模型的評價125.1 模型的優(yōu)點(diǎn)135.2 模型的缺點(diǎn)136.參考文獻(xiàn)13附錄131 問題重述鞋帶是我們?nèi)粘Ｉ钪斜容^常見的同時也是接觸較多的物體之一，不同的打結(jié)方法所產(chǎn)生的效果是不一樣的，而且鞋帶的機(jī)械性能對其結(jié)實程度也有較大影響。對于不同機(jī)械性能的鞋帶，建立數(shù)學(xué)模型分析其受力特性，研究機(jī)械因素對其影響，從而確定最佳方案2 模型假設(shè)所取鞋帶的單元幾何尺寸相同在施加

2、力的時候繩結(jié)的不同截面所受的是相等的鞋帶的每個截面是均勻的連續(xù)體軟鞋帶為理想的線彈性體硬鞋帶滿足彈性小變形假設(shè)開始的時候鞋帶處在自然狀態(tài)（即外力或其他載荷作用之前物體內(nèi)部沒有應(yīng)力，亦無應(yīng)變）每次對鞋帶施加的力的大小是相等頻率相同，滿足周期函數(shù)鞋帶為理想的圓截面3 符號說明腳對結(jié)點(diǎn)所施加的外力鞋帶的緊箍力摩擦力對鞋帶所施加的軸向張拉力鞋帶與水平面的夾角摩擦系數(shù)鞋帶對鞋面的作用力微元體發(fā)生微小變形的夾角鞋帶截面的直徑鞋帶與鞋帶之間的交接面積微元體的線應(yīng)變鞋帶的松動力鞋帶的松弛度鞋子橫截面的長度鞋子材料的彈性模量鞋帶的回彈指數(shù)松動系數(shù)硬化指數(shù)分項系數(shù)4 模型的建立與求解4.1整體分析鞋帶之所以可以工

3、作主要是因為鞋面與第一層表面的摩擦力、第一層與第二層表面的摩擦力兩部分，所要綁扎的鞋帶在連打兩次單結(jié)的時候，無論這兩次使用相同的打法還是互為鏡像，所受的力都可以簡化為一種的形式，如圖一所示。 圖 1在軸力的作用下，鞋帶之間產(chǎn)生了切向力，在二者相互作用下產(chǎn)生了豎向壓力，鞋帶由自由狀態(tài)開始最大靜摩擦力逐漸增大，撤出軸力后鞋帶的松動力小于最大靜摩擦力，則鞋帶與鞋面相對靜止。要對兩次的摩擦力進(jìn)行分析首先應(yīng)該對整體分析，而在相同的條件下，力越大變形越大，所以通過對變形的觀察與分析來側(cè)向反應(yīng)出前后力的變化。用有限元軟件SAP2000 14 對鞋帶的整體模型進(jìn)行分析結(jié)果如圖2（變形前）、圖3（變形后） 圖

4、2 圖 3 取出單獨(dú)一面的鞋帶進(jìn)行受力分析，討論起整體受力作用下的平衡 鞋帶與鞋面之間的相互作用圖中：N為外部對鞋帶的結(jié)所施加的外力；q為鞋帶對鞋面的作用力；為摩擦系數(shù)；為鞋帶與水平地面的夾角；F為外界對鞋帶所施加的軸力;L為鞋帶的長度。由圖中的條件，結(jié)合理論力學(xué)中的平衡方程可知 情況一：如果沒有外力施加即腳面對結(jié)點(diǎn)沒有作用力的話，則此時鞋帶對鞋面的作用力隨F、的增大而增大，此時為緊箍的趨勢不易發(fā)生松動。情況二：如果有外力施加到結(jié)點(diǎn)即腳面對結(jié)點(diǎn)有作用力的話，則此時鞋帶對鞋面的作用力隨著N的增大而增大，此時為松動趨勢結(jié)點(diǎn)易打開。4.2 模型的建立與求解對于整體模型的建立，我們只是得到了一個普遍化

5、的結(jié)論，并沒有能夠具體區(qū)分不同打結(jié)方式的受力性能，對于不同的打結(jié)情況其內(nèi)部受力特性是不一樣的，因此整體分析并不能夠滿足我們解決問題的需要，因此我們進(jìn)行局部分析方法，對不同打結(jié)方法做進(jìn)一步分析。4.2.1 基于幾何分析理論的力學(xué)模型如圖所示為鞋帶的正向與反向系法 正向系法 反向系法設(shè)鞋帶為不易發(fā)生變形的實心柱體，在所施加外力相同的條件下，鞋帶的松弛度m只與摩擦力f的大小有關(guān)。由3d Max做出的效果圖如圖所示： 我們將其簡化為兩個基本的模型A（正向）、B（反向），并將兩根鞋帶分開考慮如圖所示： A組第一根鞋帶 B組第一根鞋帶 A組第二根鞋帶 B組第二根鞋帶由簡化的圖形可以看出，A 中的第一根鞋帶

6、與B中的第一根鞋帶所受摩擦力相同，因此并不影響整體摩擦力的大小，它們所作用的面積為兩繩交接所包圍的面積。而相比較第二根鞋帶來說A中的第二根鞋帶與另一個鞋帶所接觸的面積為兩個與鞋帶周長長度相等的圓柱的表面積；B中的第二根鞋帶與另一根鞋帶所接觸的面積為一個與鞋帶直徑長度相等的圓柱加上一個與鞋帶周長長度相等的圓柱 通過比較可得：互為鏡像的打法與相同的打法相比更為結(jié)實，結(jié)點(diǎn)不易發(fā)生松動。4.2.2 基于彈性分析理論的摩擦力模型鞋帶的松弛其中最主要的因素應(yīng)為摩擦力的大小，設(shè)鞋帶為實心柱體，兩種扎結(jié)方式的鞋帶都發(fā)生的是小變形，即滿足小變形假設(shè)的條件。我們?nèi)⌒瑤Ы孛娴奈⒃M(jìn)行分析，如下圖所示 圖 4 微分體

7、上的作用力有：體力-，坐標(biāo)正向為正應(yīng)力-面，面，分別表示應(yīng)力及其增量，應(yīng)力同樣以正面正向、負(fù)面負(fù)向的應(yīng)力方向為正平衡條件1：再連續(xù)性以及小變形的假定下，考慮通過為分體行心C的、向以及矩的平衡，列出三個平衡條件-通過行心C的向合力為0，-通過行心C的向合力為0，略去三階微量，保留到二階微量，得-通過行心C的力矩為0，當(dāng)考慮到二階微量時，得而對于鞋帶來說一般不會發(fā)生環(huán)向位移，只會發(fā)生徑向位移，由彈性理論如下圖所示 圖 5P、A、B 為變形前的三個點(diǎn)，其變形后分別為P、A、B在小變形的假定下下，則PA的線應(yīng)變：PB的線應(yīng)變對所建立的模型采用積分及物理變量轉(zhuǎn)換的方式（其中要用到拉普拉斯算子變換2），將

8、應(yīng)力問題轉(zhuǎn)化為應(yīng)變問題，三個平衡條件下的平衡方程變?yōu)?我們通過轉(zhuǎn)換將力的問題轉(zhuǎn)換為變形的問題，通過變形的大小來別判別摩擦力的大小，從而確定不同的打結(jié)方式的松弛度情況。雖然對求解進(jìn)行這種轉(zhuǎn)變，但這種方式求解十分繁瑣，而且所考慮的只是單因素對松緊程度的影響，因此，下面我們將建立考慮三因素的綜合模型來解決鞋帶的機(jī)械性能對松弛度的影響。力的損失預(yù)測模型我們預(yù)施加的力F隨時間的增長會發(fā)生力的損失，當(dāng)損失的值達(dá)到一定限度的時候，鞋帶就會發(fā)生松弛現(xiàn)象。同時人們低下頭系鞋帶并不是鞋帶完全解開，而是當(dāng)人們感覺松動時就會停下來系鞋帶。因此，我們設(shè)置一個松弛系數(shù)b，假定鞋帶消耗后的殘余力為初始施加力的30%時鞋帶就

9、發(fā)生松弛現(xiàn)象。b=(1-殘余百分比） 100%4.2.3.1 摩阻力因素鞋面與鞋帶之前有一定的角度，該角度影響其摩擦里的大小，在這里，我們稱之為摩阻力。假設(shè)鞋帶與鞋面的外邊緣相貼，取微段為脫離體，如圖所示，相應(yīng)的彎曲角，曲率半徑為，則。由此可以求解微分段與鞋面間的徑向壓力為：鞋帶與鞋面的摩擦系數(shù)為，則微段的影響摩擦力為由圖可知這是一個比較簡單的積分式子，是的函數(shù)，積分后為：式中： 腳對結(jié)點(diǎn)所施加的外力 單位長度內(nèi)應(yīng)力對鞋面的徑向壓力 單位長度內(nèi)應(yīng)力對鞋帶的摩擦力4.2.3.2 鞋子的變形人在走路的時候?qū)π瑤Ч?jié)點(diǎn)所施加的力可以近似的認(rèn)為是周期函數(shù)，大小不變假設(shè)初始值為10N，用matlab模擬出

10、來的效果為 圖 6假設(shè)鞋帶的影響范圍只有與鞋子相交及延長到鞋底的部分，我們假設(shè)鞋的橫截面為圓形，計算可以簡化成如圖所示的結(jié)構(gòu)： 圖 7人在行走的過程中，當(dāng)腳踩到地面，此時腳對鞋帶施加的力為0，相當(dāng)于鞋帶與鞋面之間沒有相互作用力。當(dāng)腳離開地面的時候，鞋帶與鞋面才有了相互作用力，若鞋子材料的彈性模量為E，由虎克定律3可知： 式中： 鞋帶對鞋面的作用力 鞋帶對鞋面影響作用面的面積4.2.3.3 鞋帶的彈性回復(fù)力我們把鞋帶等效為彈性系數(shù)不同的彈簧，其在來回的運(yùn)動過程中，受到摩擦力的影響，恢復(fù)力在一點(diǎn)點(diǎn)的消耗，等效后的效果圖用matlab模擬 圖 8鞋帶的回復(fù)力與摩擦系數(shù)、硬化系數(shù)（即鞋帶的柔軟度指標(biāo)）

11、的大小有一定關(guān)系，我們分別給定三個值，用ABAQUS分析4其對回復(fù)力的影響，在這里我們用回彈角5來表示：摩擦系數(shù) u1=0.05 u2=0.15 u3=0.25 結(jié)果如下圖所示 圖 9硬化系數(shù) n1=0.025 n2=0.17 n3=0.085 結(jié)果如圖所示 圖 10由實驗結(jié)果分析可以得到，時間越長鞋帶彈性回復(fù)力的效果越明顯，且隨著摩擦系數(shù)的增大回復(fù)力的大小也是增大的，而且增加基本成比例；隨著硬化指數(shù)的提高（即鞋帶越來越硬）其回復(fù)力的大小逐漸減小。繩子的回復(fù)力是反映鞋帶中的力衰減情況的指標(biāo)，由分析結(jié)果可以得到，鞋帶表面越粗糙，鞋帶越不容易松脫，相反，鞋帶表面越光滑，鞋帶越硬，鞋帶越容易松脫。4

12、.2.3.4 綜合因素考慮當(dāng)我們對鞋帶施加力之后，鞋帶損失的力是由多種因素共同作用的結(jié)果，而不是單一因素的影響，因此我們綜合考慮以上分析的三種因素的影響建立力學(xué)平衡方程式，考慮其不同因素所占比例不同，乘以不同的分項系數(shù)。只要滿足如下式子鞋帶就不會發(fā)生松弛：打結(jié)的方法不同使兩個鞋帶之間的摩擦角度不同，因此我們將其轉(zhuǎn)化為一個變量，研究其殘余力與角度的關(guān)系，從而確定不同打結(jié)方法的自動松脫難易程度。 圖 11考慮到在力的損失過程中，摩擦力占主要部分回彈力次之，因此其分項系數(shù)可以分別取為：對于柔軟的鞋帶可以達(dá)到80%以上，一般普通鞋帶在30%左右。而彈性系數(shù)與回復(fù)力為正相關(guān)，其中：帶入設(shè)定參數(shù)整理公式：

13、 常數(shù)項不予考慮，最后確定出角的大小與K、C以及鞋帶的直徑有關(guān)。而一般情況下，鞋帶的打結(jié)方法在兩次相同時所施加的力與鞋帶機(jī)械性能之間要滿足如下關(guān)系鞋帶才不容易發(fā)生松脫：若要使鞋帶的打結(jié)發(fā)方法在兩次鏡像的時候不易發(fā)生松脫，所施加的力與鞋帶機(jī)械性能要滿足：5.模型的評價5.1 模型的優(yōu)點(diǎn)1 本文是以力學(xué)理論為依據(jù)，結(jié)合國內(nèi)知名文獻(xiàn)，建立的精確性模型。2 影響鞋帶松脫的因素很多，建立的力學(xué)損失預(yù)測模型將各種因素聯(lián)系起來，使其整合為一個參考變量，使結(jié)果直觀簡單。5.2 模型的缺點(diǎn)1 在考慮各種因素對松脫程度的影響時，主要分析了兩種情況，而直接簡化掉其他情況對松脫的影響2 模型在求解過程中缺乏真實的數(shù)據(jù)

14、，大部分?jǐn)?shù)據(jù)依靠經(jīng)驗假設(shè)，可能與實際不相吻合，缺乏說服力6.參考文獻(xiàn)1 徐芝綸，彈性力學(xué)簡明教程（第4版），高等教育出版社， 2013-06-01 2 崔迪生、徐建平，拉普拉斯變換與試井分析，石油工業(yè)出版社，2002 3 劉鴻文，材料力學(xué)（第5版），高等教育出版社，2011-1-14 石亦平、周玉蓉，ABAQUS 有限元分析實例詳解，北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006-7-1 5 秦龍海，回彈角的應(yīng)用，航空工藝技術(shù)，1982年03期附錄1.鞋子的變形施加力的模擬close allclccleart=0:pi/20:4*pi;hold onaxis(0 4*pi 0 10)plot(t,10*sin

15、(t),'r+:')2. 鞋帶的等效振動matlab程序close all;clear;clc;rectangle('position',12,8,2,0.3,'FaceColor',0.1,0.3,0.4);axis(0,15,-1,10);hold on;plot(13,13,7,8,'r','linewidth',2);y=2:.2:7;M=length(y);x=12+mod(1:M,2)*2;x(1)=13;x(end-3:end)=13;D=plot(x,y);C=0:.1:2*pi;r=0.3;t1=

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