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1、2012-2018全國卷圓錐曲線解答題(理科)1(2012年全國高考新課標(biāo)卷理科第20題)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,已知以為圓心,為半徑的圓交于兩點(diǎn)()若,的面積為,求的值及圓的方程()若三點(diǎn)在同一直線上,直線與平行,且與只有一個公共點(diǎn),求坐標(biāo)原點(diǎn)到距離的比值2(2013全國高考新課標(biāo)卷理科第20題)已知圓,圓,動圓與外切并且與圓內(nèi)切,圓心的軌跡為曲線()求的方程;()是與圓,圓都相切的一條直線,與曲線交于兩點(diǎn),當(dāng)圓的半徑最長時,求3(2014年全國高考新課標(biāo)卷理科第20題)已知點(diǎn),橢圓:的離心率為,是橢圓的焦點(diǎn),直線的斜率為,為坐標(biāo)原點(diǎn)()求的方程;()設(shè)過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn),當(dāng)?shù)拿娣e最大
2、時,求的方程4(2015年全國高考新課標(biāo)卷理科第20題)在直角坐標(biāo)系中,曲線與直線交于兩點(diǎn)() 當(dāng)時,分別求在點(diǎn)和處的切線方程;() 軸上是否存在點(diǎn),使得當(dāng)變動時,總有?說明理由5(2016年全國高考新課標(biāo)卷理科第20題) (本小題滿分12分)設(shè)圓的圓心為,直線過點(diǎn)且與軸不重合,交圓于兩點(diǎn),過作的平行線交于點(diǎn)(I)證明為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程;(II)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線,直線交于兩點(diǎn),過且與垂直的直線與圓交于兩點(diǎn),求四邊形面積的取值范圍6. (2017年全國高考卷理科第20題) (本小題滿分12分)已知橢圓C:(ab0),四點(diǎn)P1(1,1),P2(0,1),P3(1,),P4(1,)中恰有三
3、點(diǎn)在橢圓C上.(1)求C的方程;(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn)。若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1,證明:l過定點(diǎn).7(2018年全國高考卷理科第19題) (本小題滿分12分)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,過的直線與交于,兩點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)與軸垂直時,求直線的方程;設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:2012-2018全國卷圓錐曲線解答題(參考答案)1(2012年全國高考新課標(biāo)卷理科第20題)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,已知以為圓心,為半徑的圓交于兩點(diǎn)()若,的面積為,求的值及圓的方程()若三點(diǎn)在同一直線上,直線與平行,且與只有一個公共點(diǎn),求坐標(biāo)原點(diǎn)到距離的比值 【解析】()由對稱性知是等腰直角三角形
4、,斜邊, 點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離, 由得 圓的方程為 ()由對稱性設(shè),則 由點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱得,從而,所以 因此,直線,即 又,求導(dǎo)得,即,從而切點(diǎn) 又直線,即 故坐標(biāo)原點(diǎn)到直線距離的比值為 【考點(diǎn)分析】本小題主要考查直線、圓、拋物線等基礎(chǔ)知識,涉及到簡單的面積和點(diǎn)到直線的距離等基本計算問題,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力2(2013全國高考新課標(biāo)卷理科第20題)已知圓,圓,動圓與外切并且與圓內(nèi)切,圓心的軌跡為曲線()求的方程;()是與圓,圓都相切的一條直線,與曲線交于兩點(diǎn),當(dāng)圓的半徑最長時,求 【解析】由已知得圓的圓心為,半徑,圓的圓心為,半徑 設(shè)動圓的圓心為,半徑為()因?yàn)閳A與圓外切且與圓內(nèi)切,所以,
5、且由橢圓的定義可知,曲線是以為左,右焦點(diǎn),長半軸長為,短半軸長為的橢圓(左頂點(diǎn)除外),其方程為 ()對于曲線上任意一點(diǎn),由于,所以 當(dāng)且僅當(dāng)圓的圓心為時, 當(dāng)圓的半徑最長時,其方程為 當(dāng)?shù)膬A斜角為時,與軸重合,可得 當(dāng)?shù)膬A斜角不為時,由知不平行軸設(shè)與軸的交點(diǎn)為, 則,可求得, 設(shè),由與圓相切得,解得 當(dāng)時,將代入 整理得 (*) 設(shè),則是(*)方程的兩根所以, 當(dāng)時,由對稱性知 綜上,或 【考點(diǎn)分析】本小題主要考查直線、圓、橢圓等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力和方程思想3(2014年全國高考新課標(biāo)卷理科第20題)已知點(diǎn),橢圓:的離心率為,是橢圓的焦點(diǎn),直線的斜率為,為坐標(biāo)原點(diǎn)()求的
6、方程;()設(shè)過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn),當(dāng)?shù)拿娣e最大時,求的方程 【解析】()設(shè),由條件知,得 又,所以,故的方程()由題意知直線的斜率存在,設(shè)直線的斜率為,方程為, 聯(lián)立直線與橢圓方程:,化簡得: , 設(shè),則, , 且坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為 因此, 令,則 ,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立, 故當(dāng),即,時的面積最大 此時,直線的方程為 【考點(diǎn)分析】本小題主要考查直線、橢圓、函數(shù)和不等式等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識和方程思想4(2015年全國高考新課標(biāo)卷理科第20題)在直角坐標(biāo)系中,曲線與直線交于兩點(diǎn)() 當(dāng)時,分別求在點(diǎn)和處的切線方程;() 軸上是否存在點(diǎn),使得當(dāng)變動時,總有?
7、說明理由 【解析】()由題設(shè)可得或 又,故在處的導(dǎo)數(shù)值為 在點(diǎn)處的切線方程為,即 處的導(dǎo)數(shù)值為 在點(diǎn)處的切線方程為,即 故所求切線方程為和 ()存在符合題意的點(diǎn)證明如下: 設(shè)為符合題意的點(diǎn),直線的斜率分別為 將代入的方程,消去整理得, 則是該方程的兩根 故 從而 當(dāng)時,有,則直線的傾斜角與直線的傾斜角互補(bǔ), 故 所以點(diǎn)符合題意 【考點(diǎn)分析】本小題主要考查直線、拋物線和導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力和方程思想5(2016年全國高考新課標(biāo)卷理科第20題) (本小題滿分12分)設(shè)圓的圓心為,直線過點(diǎn)且與軸不重合,交圓于兩點(diǎn),過作的平行線交于點(diǎn)(I)證明為定值,并寫出點(diǎn)E的軌
8、跡方程;(II)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線,直線交于兩點(diǎn),過且與垂直的直線與圓交于兩點(diǎn),求四邊形面積的取值范圍【解析】(I)因?yàn)?,故所以,故又圓標(biāo)準(zhǔn)方程為,從而,所以由題設(shè)得,由橢圓的定義可得點(diǎn)的軌跡方程為,();(II)(法一)當(dāng)與x軸不垂直時,設(shè),由得則,所以過點(diǎn)且與垂直的直線,到的距離為, 所以 故四邊形的面積為 當(dāng)與x軸不垂直時,四邊形的面積的取值范圍為 當(dāng)與x軸垂直時,其方程為,四邊形的面積12 綜上,四邊形的面積的取值范圍為 (法二);設(shè), 因?yàn)?,設(shè),聯(lián)立 得; 則; 圓心到距離, 所以, 【考點(diǎn)分析】主要考查直線與圓的位置關(guān)系、橢圓的定義、韋達(dá)定理、弦長公式等解析幾何常用知識,考查推理論證
9、能力、運(yùn)算求解能力和方程思想已知橢圓C:(ab0),四點(diǎn)P1(1,1),P2(0,1),P3(1,),P4(1,)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.(1)求C的方程;(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn)。若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1,證明:l過定點(diǎn).【考點(diǎn)】:圓錐曲線?!舅悸贰浚海?)根據(jù)橢圓的對稱性可以排除P1(1,1)。(2)聯(lián)立方程即可,此時有兩種方法聯(lián)立,第一種,假設(shè)直線AB的方程,第二種假設(shè)直線P2A和P2B?!窘馕觥浚海?)根據(jù)橢圓對稱性可得,P1(1,1)P4(1,)不可能同時在橢圓上,P3(1,),P4(1,)一定同時在橢圓上,因此可得橢圓經(jīng)過P2(0,1),P3(1,),P4(1,),代入橢圓方程可得:,故而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:。(2)由題意可得直線P2A與直線P2B的斜率一定存在,不妨設(shè)直線P2A為:,P2B為:.聯(lián)立,假設(shè),此時可得:,此時可求得直線的斜
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