2018年高考理科數(shù)學第一輪復習教案35-一元二次不等式及其解法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第二節(jié)一元二次不等式及其解法不等式的解法(1)會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型(2)通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系(3)會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設計求解的程序框圖知識點一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集二次函數(shù)yax2bxc的圖象、一元二次方程ax2bxc0的根與一元二次不等式ax2bxc>0與ax2bxc<0的解集的關系，可歸納為：判別式b24ac000二次函數(shù)yax2bxc (a0)的圖象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有兩相異實根xx1或xx2有兩相同實根xx1x2無實根一

2、元二次不等式的解集ax2bxc0(a0)x|xx1或xx2x|xx1 ax2bxRax2bxc0(a0)x|x1xx2若a0時，可以先將二次項系數(shù)化為正數(shù)，對照上表求解易誤提醒1對于不等式ax2bxc>0，求解時不要忘記討論a0時的情形2當<0時，ax2bxc>0(a0)的解集為R還是，要注意區(qū)別3不同參數(shù)范圍的解集切莫取并集，應分類表述自測練習1不等式組的解集是()A(2,3)B.(2,3)C.(3，) D(，1)(2，)解析：x24x3<0，1<x<3.又2x27x6>0，(x2)(2x3)>0，x<或x>2，原不等式組的解集為(

3、2,3)答案：B2設二次不等式ax2bx1>0的解集為，則ab的值為()A6 B5C6 D5解析：由題意知，方程ax2bx10的兩根為1，則有解得ab6，故選C.答案：C3若(m1)x2(m1)x3(m1)<0對任何實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A(1，)B(，1)C.D.(1，)解析：m1時，不等式為2x6<0，即x<3，不合題意m1時，解得m<.答案：C考點一一元二次不等式的解法|1不等式x23x4>0的解集為_(用區(qū)間表示)解析：x23x4>0(x4)(x1)<04<x<1.答案：(4,1)2設函數(shù)f(x)則不等式f(x

4、)>f(1)的解集是()A(3,1)(3，)B(3,1)(2，)C(1,1)(3，) D(，3)(1,3)解析：由題意知f(1)3，故原不等式可化為或解得3<x<1或x>3，所以原不等式的解集為(3,1)(3，)，故選A.答案：A3(2016·西安模擬)若不等式ax2bxc>0的解集為x|1<x<2，那么不等式a(x21)b(x1)c>2ax的解集為()Ax|2<x<1 Bx|x<2或x>1Cx|0<x<3 Dx|x<0或x>3解析：由題意a(x21)b(x1)c>2ax，整理得ax

5、2(b2a)x(acb)>0，又不等式ax2bxc>0的解集為x|1<x<2，則a<0，且1,2分別為方程ax2bxc0的兩根，由根與系數(shù)的關系得即，將兩邊同除以a得x2x<0，將代入得x23x<0，解得0<x<3，故選C.答案：C解一元二次不等式的四個步驟(1)化：把不等式變形為二次項系數(shù)大于零的標準形式(2)判：計算對應方程的判別式(3)求：求出對應的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程有沒有實根(4)寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集考點二一元二次不等式恒成立問題|一元二次不等式與其對應的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)

6、系在解決具體的數(shù)學問題時，要注意三者之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換對于一元二次不等式恒成立問題，常根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況確定判別式的符號，進而求出參數(shù)的取值范圍歸納起來常見的命題探究角度有：1形如f(x)0(xR)確定參數(shù)的范圍2形如f(x)0(xa，b)確定參數(shù)范圍探究一形如f(x)0(xR)確定參數(shù)的范圍1(2016·武漢調(diào)研)若一元二次不等式2kx2kx<0對一切實數(shù)x都成立，則k的取值范圍為()A(3,0)B3,0C3,0) D(3,0解析：本題考查一元二次不等式的解法結(jié)合二次函數(shù)圖象求解由題意可得解得3<k<0，故選A.答案：A2(201

7、6·洛陽期末)若關于x的不等式ax2|x|2a<0的解集為空集，則實數(shù)a的取值范圍為_解析：當a0時，不等式為|x|<0，解集不為空集當a0時，由題意知a>0，令t|x|，則原不等式等價于at2t2a<0(t0)，所以a<(t0)，根據(jù)題意知amax(t0)而，所以a.答案：探究二形如f(x)0，xa，b確定參數(shù)范圍3已知當x(0，)時，不等式9xm·3xm1>0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：令3xt，則當x(0，)時，t(1，)，記f(t)t2mtm1(t(1，)，則由題意得f(t)t2mtm1(t(1，)的圖象恒在x軸的上方，可

8、得(m)24(m1)<0或解得m<22.答案：(，22)恒成立問題的兩個求解策略(1)解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù)一般地，知道誰的范圍，就選誰當主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)(2)對于二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方；恒小于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方考點三一元二次不等式的實際應用|甲廠以x千克/小時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1x10)，每小時可獲得利潤是100元(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3 000元，求x的取值范圍；(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：

9、甲廠應該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤解(1)根據(jù)題意，2003 000，整理得5x140，即5x214x30，又1x10，可解得3x10.即要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3 000元，x的取值范圍是3,10(2)設利潤為y元，則y·1009×1049×104，故x6時，ymax457 500元即甲廠以6千克/小時的生產(chǎn)速度生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，最大利潤為457 500元不等式實際應用問題的求解策略不等式的實際應用，常以函數(shù)模型為載體，解題時要理清題意，準確找出其中的不等關系，引進數(shù)學符號恰當表示，最后用不等式的解回答實際問題某汽車廠上年度生產(chǎn)

10、汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為12萬元/輛，年銷售量為10 000輛本年度為適應市場需求，計劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本若每輛車投入成本增加的比例為x(0<x<1)，則出廠價相應地提高比例為0.75x，同時預計年銷售量增加的比例為0.6x，已知年利潤(出廠價投入成本)×年銷售量(1)寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關系式；(2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應在什么范圍內(nèi)？解：(1)由題意得y12(10.75x)10(1x)×10 000×(10.6x)(0<x<1)，整理得y6 00

11、0x22 000x20 000(0<x<1)(2)要保證本年度的年利潤比上年度有所增加，必須有即解得0<x<，所以投入成本增加的比例應在范圍內(nèi).19.轉(zhuǎn)化與化歸思想在不等式中的應用【典例】(1)已知函數(shù)f(x)x2axb(a，bR)的值域為0，)，若關于x的不等式f(x)<c的解集為(m，m6)，則實數(shù)c的值為_(2)已知函數(shù)f(x)，若對任意x1，)，f(x)>0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_思維點撥(1)考慮“三個二次”間的關系；(2)將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題求解解析(1)由題意知f(x)x2axb2b.f(x)的值域為0，)，b0，即b.f(x)2.

12、又f(x)<c.2<c，即<x<.，得26，c9.(2)x1，)時，f(x)>0恒成立，即x22xa>0恒成立即當x1時，a>(x22x)g(x)恒成立而g(x)(x22x)(x1)21在1，)上單調(diào)遞減，g(x)maxg(1)3，故a>3.實數(shù)a的取值范圍是a|a>3答案(1)9(2)a|a>3方法點評(1)本題充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想：函數(shù)的值域和不等式的解集轉(zhuǎn)化為a，b滿足的條件；不等式恒成立可以分離常數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題(2)注意函數(shù)f(x)的值域為0，)與f(x)0的區(qū)別A組考點能力演練1關于x的不等式x2px2<0

13、的解集是(q,1)，則pq的值為()A2B1C1 D2解析：依題意得q,1是方程x2px20的兩根，q1p，即pq1，選B.答案：B2(2016·鄭州模擬)已知不等式ax25xb>0的解集為x|3<x<2，則不等式bx25xa>0的解集是()A.B.C.D.解析：本題考查一元二次不等式與一元二次方程之間的關系由題意得方程ax25xb0的兩根分別為3,2，于是于是不等式bx25xa>0即為30x25x5>0，即(3x1)(2x1)>0x<或x>.答案：C3已知集合Ax|x22x3>0，Bx|x2axb0，若ABR，AB(3,4

14、，則有()Aa3，b4 Ba3，b4Ca3，b4 Da3，b4解析：由題意得集合Ax|x<1或x>3，又ABR，AB(3,4，所以集合B為x|1x4，由一元二次不等式與一元二次方程的關系，可得a3，b4.易知Ax|x<1或x>3，又AB(3,4，可得4為方程x2axb0的一個根，則有164ab0，經(jīng)驗證可知選項D正確答案：D4(2015·重慶二診)已知不等式ax2bxc>0的解集為，對于系數(shù)a，b，c有如下結(jié)論：a>0；b>0；c>0；abc>0；abc>0，其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A1 B2C3 D4解析：因為不等式ax2

15、bxc>0的解集為，則相對應的二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象開口向下，所以a<0,2和是方程ax2bcc0的兩個根，則有1<0，>0，故b>0，c>0，且f(1)abc>0，f(1)abc<0，故選C.答案：C5(2015·皖南八校聯(lián)考)不等式x22x5a23a對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()A1,4B(，25，)C(，14，)D2,5解析：x22x5(x1)24的最小值為4，所以x22x5a23a對任意實數(shù)x恒成立，只需a23a4，解得1a4.答案：A6(2016·福州質(zhì)檢)已知關于x的不等式<0的解集

16、是(，1)，則a_.解析：由不等式可得a0，且不等式等價于a(x1)<0，由解集特點可得a<0，且，所以a2.答案：27在R上定義運算：abab2ab，則滿足x(x2)<0的實數(shù)x的取值范圍為_解析：根據(jù)定義可知，x(x2)x(x2)2x(x2)x2x2<0，解得2<x<1，所以實數(shù)x的取值范圍為(2,1)答案：(2,1)8對于任意a1,1，f(x)x2(a4)x42a的值恒大于0，那么x取值范圍是_解析：令g(a)x2(a4)x42a(x2)ax24x4，由題意知g(1)>0且g(1)>0，解得x<1或x>3.答案：(，1)(3，)

17、9已知f(x)3x2a(6a)xb.(1)解關于a的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>0的解集為(1,3)，求實數(shù)a，b的值解：(1)f(1)>0，3a(6a)b>0.即a26a3b<0.(6)24(3b)244b.當0，即b6時，原不等式的解集為.當>0，即b>6時，方程a26a3b0有兩根a13，a23，不等式的解集為(3，3)綜上所述：當b6時，原不等式的解集為；當b>6時，原不等式的解集為(3，3)(2)由f(x)>0，得3x2a(6a)xb>0，即3x2a(6a)xb<0.它的解集為(1,3)，1與3是方程3

18、x2a(6a)xb0的兩根解得或10(2015·攀枝花二模)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)(1)證明：函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，)上是減函數(shù)；(2)解關于x的不等式f(12x2)f(x22x4)>0.解：(1)證明：函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，f(0)0，即b0，f(x)(經(jīng)檢驗滿足題意)，f(x).當x(1，)時，f(x)<0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，)上是減函數(shù)(2)由f(12x2)f(x22x4)>0，得f(12x2)>f(x22x4)f(x)是奇函數(shù)，f(12x2)>f(x22x4)又12x2>1，x22x4(x1)23>1，且f(x)在(1，)上為減函數(shù)，12x2<x22x4，即x22x3<0，解得3<x<1.不等式f(12x2)f(x22x4)>0的解集為x|3<x<1B組高考題型專練1(2013·高考大綱全國卷)不等式|x22|<2的解集是()A(1,1) B(2,2)C(1,0)(0,1) D(2,0)(0,2)解析：由|x22|<2得2<x22<2，即0<x2<4，所以2<x<0或0<x<2.答案：D2(2013&#