一小波變換的定義

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一小波變換的定義給定一個(gè)基本函數(shù)，令 （1.1）式中均為常數(shù)，且。顯然，是基本函數(shù)先作移位再作伸縮以后得到的。若不斷地變化，我們可得到一族函數(shù)。給定平方可積的信號(hào)，即，則的小波變換（Wavelet Transform，WT）定義為 （1.2）式中和均是連續(xù)變量，因此該式又稱為連續(xù)小波變換（CWT）。如無特別說明，式中及以后各式中的積分都是從到。信號(hào)的小波變換是和的函數(shù)，是時(shí)移，是尺度因子。又稱為基本小波，或母小波。是母小波經(jīng)移位和伸縮所產(chǎn)生的一族函數(shù)，我們稱之為小波基函數(shù)，或簡稱小波基。這樣，（1.2）式的又可解釋為信號(hào)和一族小波基的內(nèi)積。母小波可以是實(shí)函數(shù)，也可以是

2、復(fù)函數(shù)。若是實(shí)信號(hào)，也是實(shí)的，則也是實(shí)的，反之，為復(fù)函數(shù)。在（1.1）式中，的作用是確定對(duì)分析的時(shí)間位置，也即時(shí)間中心。尺度因子的作用是把基本小波作伸縮。我們?cè)?.1節(jié)中已指出，由變成，當(dāng)時(shí)，若越大，則的時(shí)域支撐范圍（即時(shí)域?qū)挾龋┹^之變得越大，反之，當(dāng)時(shí)，越小，則的寬度越窄。這樣，和聯(lián)合越來確定了對(duì)分析的中心位置及分析的時(shí)間寬度。這樣，（1.2）式的WT可理解為用一族分析寬度不斷變化的基函數(shù)對(duì)作分析，由下一節(jié)的討論可知，這一變化正好適應(yīng)了我們對(duì)信號(hào)分析時(shí)在不同頻率范圍所需要不同的分辨率這一基本要求。（1.1）式中的因子是為了保證在不同的尺度時(shí)，始終能和母函數(shù)有著相同的能量，即 令，則，這樣，上

3、式的積分即等于。令的傅里葉變換為，的傅里葉變換為，由傅里葉變換的性質(zhì)，的傅里葉變換為： （1.3）由Parsevals定理，（1.2）式可重新表為： （1.4）此式即為小波變換的頻域表達(dá)式。二小波變換的特點(diǎn)比較（1.2）和（1.4）式對(duì)小波變換的兩個(gè)定義可以看出，如果在時(shí)域是有限支撐的，那么它和作內(nèi)積后將保證在時(shí)域也是有限支撐的，從而實(shí)現(xiàn)我們所希望的時(shí)域定位功能，也即使反映的是在附近的性質(zhì)。同樣，若具有帶通性質(zhì)，即圍繞著中心頻率是有限支撐的，那么和作內(nèi)積后也將反映在中心頻率處的局部性質(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)好的頻率定位性質(zhì)。顯然，這些性能正是我們所希望的。問題是如何找到這樣的母小波，使其在時(shí)域和頻域都是有

4、限支撐的。若的時(shí)間中心是，時(shí)寬是，的頻率中心是，帶寬是，那么的時(shí)間中心仍是，但時(shí)寬變成，的頻譜的頻率中心變?yōu)?，帶寬變成。這樣，的時(shí)寬帶寬積仍是，與無關(guān)。這一方面說明小波變換的時(shí)頻關(guān)系也受到不定原理的制約，但另一方面，也即更主要的是揭示了小波變換的一個(gè)性質(zhì)，也即恒Q性質(zhì)。定義 =帶寬/中心頻率 (1.5)為母小波的品質(zhì)因數(shù)，對(duì)，其 帶寬/中心頻率=因此，不論為何值，始終保持了和具有性同的品質(zhì)因數(shù)。恒Q性質(zhì)是小波變換的一個(gè)重要性質(zhì)，也是區(qū)別于其它類型的變換且被廣泛應(yīng)用的一個(gè)重要原因。圖2.1說明了和的帶寬及中心頻率隨變化的情況。圖2.1 隨變化的說明；(a) ，(b) ，(c) 我們可看到小波變換

5、在對(duì)信號(hào)分析時(shí)有如下特點(diǎn)：當(dāng)變小時(shí)，對(duì)的時(shí)域觀察范圍變窄，但對(duì)在頻率觀察的范圍變寬，且觀察的中心頻率向高頻處移動(dòng)，如圖2.1c所示。反之，當(dāng)變大時(shí)，對(duì)的時(shí)域觀察范圍變寬，頻域的觀察范圍變窄，且分析的中心頻率向低頻處移動(dòng)，如圖2.1b所示。將時(shí)頻關(guān)系結(jié)合在一起，我們可得到在不同尺度下小波變換所分析的時(shí)寬、帶寬、時(shí)間中心和頻率中心的關(guān)系，如圖2.2所示。0圖2.2 a取不同值時(shí)小波變換對(duì)信號(hào)分析的時(shí)頻區(qū)間由于小波變換的恒Q性質(zhì)，因此在不同尺度下，圖2.2中三個(gè)時(shí)、頻分析區(qū)間（即三個(gè)矩形）的面積保持不變。由此我們看到，小波變換為我們提供了一個(gè)在時(shí)、頻平面上可調(diào)的分析窗口。該分析窗口在高頻端（圖中處）

6、的頻率分辨率不好（矩形窗的頻率邊變長），但時(shí)域的分辨率變好（矩形的時(shí)間邊變短）；反之，在低頻端（圖中處），頻率分辨率變好，而時(shí)域分辨率變差。但在不同的值下，圖2.2中分析窗的面積保持不變，也即時(shí)、頻分辨率可以隨分析任務(wù)的需要作出調(diào)整。眾所周知，信號(hào)中的高頻成份往往對(duì)應(yīng)時(shí)域中的快變成份，如陡峭的前沿、后沿、尖脈沖等。對(duì)這一類信號(hào)分析時(shí)則要求時(shí)域分辨率要好以適應(yīng)快變成份間隔短的需要，對(duì)頻域的分辨率則可以放寬，當(dāng)然，時(shí)、頻分析窗也應(yīng)處在高頻端的位置。與此相反，低頻信號(hào)往往是信號(hào)中的慢變成份，對(duì)這類信號(hào)分析時(shí)一般希望頻率的分辨率要好，而時(shí)間的分辨率可以放寬，同時(shí)分析的中心頻率也應(yīng)移到低頻處。顯然，小波

7、變換的特點(diǎn)可以自動(dòng)滿足這些客觀實(shí)際的需要?？偨Y(jié)上述小波變換的特點(diǎn)可知，當(dāng)我們用較小的對(duì)信號(hào)作高頻分析時(shí)，我們實(shí)際上是用高頻小波對(duì)信號(hào)作細(xì)致觀察，當(dāng)我們用較大的對(duì)信號(hào)作低頻分析時(shí)，實(shí)際上是用低頻小波對(duì)信號(hào)作概貌觀察。如上面所述，小波變換的這一特點(diǎn)即既符合對(duì)信號(hào)作實(shí)際分析時(shí)的規(guī)律，也符合人們的視覺特點(diǎn)。我們知道，傅里葉變換的基函數(shù)是復(fù)正弦。這一基函數(shù)在頻域有著最佳的定位功能（頻域的函數(shù)），但在時(shí)域所對(duì)應(yīng)的范圍是，完全不具備定位功能。這是FT的一個(gè)嚴(yán)重的缺點(diǎn)。人們希望用短時(shí)傅里葉變換來彌補(bǔ)FT的不足。重寫（1.1）式，即 (2.6)由于該式中只有窗函數(shù)的位移而無時(shí)間的伸縮，因此，位移量的大小不會(huì)改變

8、復(fù)指數(shù)的頻率。同理，當(dāng)復(fù)指數(shù)由變成（即頻率發(fā)生變化）時(shí)，這一變化也不會(huì)影響窗函數(shù)。這樣，當(dāng)復(fù)指數(shù)的頻率變化時(shí)，STFT的基函數(shù)的包絡(luò)不會(huì)改變，改變的只是該包絡(luò)下的頻率成份。這樣，當(dāng)由變化成時(shí)，對(duì)分析的中心頻率改變，但分析的頻率范圍不變，也即帶寬不變。因此，STFT不具備恒Q性質(zhì)，當(dāng)然也不具備隨著分辨率變化而自動(dòng)調(diào)節(jié)分析帶寬的能力。M通道最大抽取濾波器組是將分成M個(gè)子帶信號(hào)，每一個(gè)子帶信號(hào)需有相同的帶寬，即，其中心頻率依次為, （注：若是DFT濾波器組，則中心頻率在, ），且這M個(gè)子帶信號(hào)有著相同的時(shí)間長度。在小波變換中，我們是通過調(diào)節(jié)參數(shù)來得到不同的分析時(shí)寬和帶寬，但它不需要保證在改變時(shí)使所得

9、到的時(shí)域子信號(hào)有著相同的時(shí)寬或帶寬。這是小波變換和均勻?yàn)V波器組的不同之處?？芍?，離散小波變換是通過“多分辨率分析”來實(shí)現(xiàn)的，而“多分辨率分析”最終是由兩通道濾波器組來實(shí)現(xiàn)的。由（1.1）式，定義 (2.7)為信號(hào)的“尺度圖（scalogram）”。它也是一種能量分布，但它是隨位移和尺度的能量分布，而不是簡單的隨的能量分布，即我們?cè)诘诙轮恋谒恼滤懻摰臅r(shí)頻分布。但由于尺度間接對(duì)應(yīng)頻率（小對(duì)應(yīng)高頻，大對(duì)應(yīng)低頻），因此，尺度圖實(shí)質(zhì)上也是一種時(shí)頻分布。三 連續(xù)小波變換的計(jì)算性質(zhì)1時(shí)移性質(zhì)若的CWT是，那么的CWT是。該結(jié)論極易證明。記，則 （3.1）2 尺度轉(zhuǎn)換性質(zhì)如果的CWT是，令，則 （3.2）

10、證明： ，令，則 該性質(zhì)指出，當(dāng)信號(hào)的時(shí)間軸按作伸縮時(shí)，其小波變換在和兩個(gè)軸上同時(shí)要作相同比例的伸縮，但小波變換的波形不變。這是小波變換優(yōu)點(diǎn)的又一體現(xiàn)。3 微分性質(zhì)如果的CWT是，令，則 （3.3）證明： 由（3.1）式的移位性質(zhì)，有 即 4 兩個(gè)信號(hào)卷積的CWT，令的CWT分別是及，并令，則 （3.4）式中符號(hào)表示對(duì)變量作卷積。證明： 再由（3.1）式的移位性質(zhì)，有 同理， 于是（3.4）式得證。5 兩個(gè)信號(hào)和的CWT令的CWT分別是，且，則 （3.5a）同理，如果，則 （3.5b）（3.5）式說明兩個(gè)信號(hào)和的CWT等于各自CWT的和，也即小波變換滿足疊加原理。看到WT的這一性質(zhì)，估計(jì)讀者馬

11、上會(huì)想到WVD中的交叉項(xiàng)問題。由（3.5）式看來，似乎小波變換不存在交叉項(xiàng)。但實(shí)際上并非如此。（1.2）式所定義的CWT是“線性”變換，即只在式中出現(xiàn)一次，而在（1.2）式的WVD表達(dá)式中出現(xiàn)了兩次，即，所以，我們稱以Wigner分布為代表的一類時(shí)頻分布為“雙線性變換”。正因?yàn)槿绱耍切盘?hào)能量的分布。與之相對(duì)比，小波變換的結(jié)果不是能量分布。但小波變換的幅平方，即（2.7）式的尺度圖則是信號(hào)能量的一種分布。將代入(2.7)式，可得： (3.6)式中分別是和的幅角。證明： 由于后兩項(xiàng)互為共軛，因此必有（3.6）式.（3.6）式表明在尺度圖中同樣也有交叉項(xiàng)存在，但該交叉項(xiàng)的行為和WVD中的交叉項(xiàng)稍有

12、不同。WVD的交叉項(xiàng)位于兩個(gè)自項(xiàng)的中間，即位于處，分別是兩個(gè)自項(xiàng)的時(shí)頻中心。由（9.3.3）式可以得出，尺度圖中的交叉項(xiàng)出現(xiàn)在和同時(shí)不為零的區(qū)域，也即是真正相互交疊的區(qū)域中，這和WVD有著明顯的區(qū)別。可以證明【錢，書】，同一信號(hào)的WVD和其尺度圖有如下關(guān)系： （3.7）式中是母小波的WVD，該式揭示了WVD和WT之間的關(guān)系，這說明cohen類的時(shí)頻分布和小波變換有著非常密切的內(nèi)在聯(lián)系。6 小波變換的內(nèi)積定理定理9.1 設(shè)和，的小波變換分別是和，則 （3.8）式中 （3.9）為的傅里葉變換。證明：由（1.4）式關(guān)于小波變換的頻域定義，（ 3.8）式的左邊有： 假定積分 存在，再由Parseval

13、定理，上述的推導(dǎo)最后為 于是定理得證。（3.8）式實(shí)際上可看作是小波變換的Parseval定理。該式又可寫成更簡單的形式,即 (3.10)進(jìn)一步，如果令，由（9.3.8）式，有 (3.11)該式更清楚地說明，小波變換的幅平方在尺度位移平面上的加權(quán)積分等于信號(hào)在時(shí)域的總能量，因此，小波變換的幅平方可看作是信號(hào)能量時(shí)頻分布的一種表示形式。（3.8）和（3.11）式中對(duì)的積分是從，這是因?yàn)槲覀兗俣倿檎怠＿@兩個(gè)式子中出現(xiàn)的是由于定義小波變換時(shí)在分母中出現(xiàn)了，而式中又要對(duì)作積分所引入的。四 經(jīng)典類小波4.1 Haar小波Haar小波來自于數(shù)學(xué)家Haar于1910年提出的Haar正交函數(shù)集，其定義是：

14、 （4.1）的傅里葉變換是： （4.2） Haar小波有很多好的優(yōu)點(diǎn)，如：（1） Haar小波在時(shí)域是緊支撐的，即其非零區(qū)間為（0，1）；（2） 若取，那么Haar小波不但在其整數(shù)位移處是正交的，即，而且在取不同值時(shí)也是兩兩正交的，即；（3） Haar波是對(duì)稱的。我們知道，離統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)若具有對(duì)稱性，則該系統(tǒng)具有線性相位，這對(duì)于去除相位失真是非常有利的。Haar小波是目前唯一一個(gè)既具有對(duì)稱性又是有限支撐的正交小波；（4）Haar小波僅取1和1，因此計(jì)算簡單。但Haar小波是不連續(xù)小波，由于，因此在處只有一階零點(diǎn)，這就使得Haar小波在實(shí)際的信號(hào)分析與處理中受到了限制。但由于Haar小波有上述的多個(gè)優(yōu)點(diǎn)，因此在教科書與論文中常被用作范例來討論。4.2 Morlet小波Morlet小波定義為 (4.3)其傅里葉變換 （4.4） 它是一個(gè)具有高斯包絡(luò)的單頻率復(fù)正弦函數(shù)?？紤]到待分析的信號(hào)一般是實(shí)信號(hào)，所以在MATLAB中將（4.3）式改造為： （4.5）并取 。該小波不是緊支撐的，理論上講可取。但是當(dāng)，或再取更大的值時(shí)，和在時(shí)域和頻域都具有很好的集中。Morlet小波不是正交的，也不是雙正交的，可用于連續(xù)小波變換。但該小波是對(duì)稱的，是應(yīng)用較為廣泛的一種小波。4.3 Mexican hat小波該小波的中文名字為“墨西哥草帽”小波，又稱Marr小波。它定義為