第3章多自由度線性振動(dòng)

1、多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)第三章 多自由度系統(tǒng)的線性振動(dòng)3.1 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程的建立3.2 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)3.3 多自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)3.1 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程的建立一、力學(xué)模型的簡(jiǎn)化 工程中大多為多構(gòu)件多部件的彈性系統(tǒng)，自由度往往為無(wú)限多，但研究這種情況比較困難，因此要對(duì)其建立近似的數(shù)學(xué)模型。變無(wú)限為有限，將無(wú)限多自由度系統(tǒng)離散為有限多自由度系統(tǒng)。有集中參數(shù)法和有限單元法兩種方法。 機(jī)械系統(tǒng)中有兩類構(gòu)件，一類是有較大的慣性和剛度，我們可以視其為質(zhì)量塊而忽略其彈性；另一類視慣性較小柔度較大，可以視其為無(wú)質(zhì)量的彈簧。 把連續(xù)彈性體的分布質(zhì)量用若干個(gè)集中質(zhì)量代替，得到另

2、一類集中參數(shù)系統(tǒng)。第三章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 如圖給出了彈簧連接的兩個(gè)質(zhì)量塊組成的振動(dòng)系統(tǒng)。系統(tǒng)在x軸向運(yùn)動(dòng)，其質(zhì)量分布為m1、m2，彈簧剛度分別為k1、k2、k3，作用于兩質(zhì)量塊上的激振力為F1（t）和F2（t）。設(shè)立兩個(gè)廣義坐標(biāo)。不考慮阻尼，用牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律可建立運(yùn)動(dòng)方程二、動(dòng)力學(xué)方程的建立 將振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型簡(jiǎn)化后，就要建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。最常用的方法有：根據(jù)牛頓定律建立振動(dòng)方程和用拉格朗日方程來(lái)導(dǎo)出振動(dòng)方程。本章介紹根據(jù)牛頓定律來(lái)建立方程的方法。首先看一個(gè)二自由度的例子。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)1 11 1212122322122()( )()( )m xk xkx

3、xF tm xk xkxxF t 122111122322220( )0( )kkkmxxF tkkkmxxF t（3.1.1）或?qū)懗桑? )MxKxF t（3.1.2）這就是這個(gè)二自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)方程。式中x系統(tǒng)的廣義矩陣12Txxx經(jīng)整理寫成矩陣形式：多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)111212122200mmmMmmmK系統(tǒng)的剛度矩陣12211122232122kkkkkKkkkkkF（t）系統(tǒng)的廣義力矩陣12( )( )( )TF tF tF t當(dāng)F1（t）F2（t）0時(shí)，(3.1.2）式成為0MxKx（3.1.3）(3.1.3）式即為系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程M系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)1 11

4、 1212122322122()( )()( )JkkT tJkkT t 若不考慮阻尼，也可以用牛頓定律建立其振動(dòng)方程。如圖所示為一個(gè)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)。兩圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1、J2，各段軸的扭轉(zhuǎn)剛度分別為k1、k2、k3，在兩個(gè)圓盤上作用有激振力矩T1（t）、T2（t）。設(shè)立1、2兩個(gè)廣義坐標(biāo)。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)122111122322220( )0( )kkkJT tkkkJT t或?qū)憺? )MKT t這就是這個(gè)二自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)的方程。式中 系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)列陣12T（3.1.4）（3.1.5）M系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣111212122200mmJMmmJ經(jīng)整理后寫成矩陣的形式多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)K

5、系統(tǒng)的剛度矩陣12211122232122kkkkkKkkkkkT（t）系統(tǒng)的廣義力列陣12( )( )( )TT tT tT t當(dāng)T1（t）T2（t）0時(shí)，(3.1.5）式成為0MK(3.1.6）式即為系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程（3.1.6）多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)設(shè)車體的質(zhì)量為m，對(duì)其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，前后車輪的剛度分為k1、如圖所示為汽車車體振動(dòng)的簡(jiǎn)化力學(xué)模型。在這里，不考慮零部件的振動(dòng)和車體的左右振動(dòng)，只研究車體在其對(duì)稱平面內(nèi)的振動(dòng)。將車體視為一剛體，將車輪部件（包括輪胎和懸掛彈簧）視為無(wú)質(zhì)量彈簧。車體作上下垂直振動(dòng)和繞其質(zhì)心的前后俯仰振動(dòng)。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 根據(jù)牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)方程式，可寫出自由

6、振動(dòng)方程如下：11221 112 22()()()()mxk xlkxlJk l xlk lxl 經(jīng)整理后寫成矩陣的形式0MUKU（3.1.7）（3.1.8）TUxk2，質(zhì)心與前后車輪的距離分別為l1和l2。以質(zhì)心垂直位移x和車體繞質(zhì)心的角位移為兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)。00mMJ121 12 2221 12 21 12 2kkk lk lKk lk lk lk l式中： U系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)列陣M系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣K系統(tǒng)的剛度矩陣多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 二自由度廣義坐標(biāo)由一個(gè)增加到兩個(gè)，其振動(dòng)方程寫成矩陣形式后與單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)方程在形式上相類似，只是廣義坐標(biāo)和廣義力由一維擴(kuò)展到多維，用質(zhì)量矩陣和剛度矩陣代替了單

7、自由度方程中的質(zhì)量和剛度系數(shù)。 但是，也有一個(gè)重要區(qū)別：二自由度系統(tǒng)的振動(dòng)方程是一個(gè)微分方程組，它由兩個(gè)微分方程組成。一般情況下，在第一個(gè)方程中也含有第二個(gè)廣義坐標(biāo)，在第二個(gè)方程中也含有第一個(gè)廣義坐標(biāo)。這種情況我們稱之為方程耦合。方程的耦合使我們無(wú)法利用單自由度系統(tǒng)的公式直接地來(lái)求解多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)方程組中的每一個(gè)方程。三、多自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程的特點(diǎn) 用牛頓定律建立二自由度振動(dòng)系統(tǒng)微分方程的上述方法完全可以推廣到多自由度系統(tǒng)。其中的廣義坐標(biāo)列陣和廣義力列陣均為n維列陣，質(zhì)量矩陣和剛度矩陣均為nn矩陣。對(duì)于具有微小位移的線性彈性系統(tǒng)，剛度矩陣和質(zhì)量矩陣總是對(duì)稱的。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)例例1：用牛

8、頓第二定理建立下圖所示的系統(tǒng)的振動(dòng)方程：用牛頓第二定理建立下圖所示的系統(tǒng)的振動(dòng)方程解：針對(duì)每一個(gè)集中質(zhì)量，依據(jù)牛頓第二定理，可建立其平衡方程為：解：針對(duì)每一個(gè)集中質(zhì)量，依據(jù)牛頓第二定理，可建立其平衡方程為：111111()()()()( )iiiiiiiiiiiiiiim xk xxkxxc xxcxxF t 寫成矩陣形式為：寫成矩陣形式為：( )MxCxKxF t多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)例例2：用拉格朗日方程建立下圖所示的熱力發(fā)動(dòng)機(jī)組的振動(dòng)方程：用拉格朗日方程建立下圖所示的熱力發(fā)動(dòng)機(jī)組的振動(dòng)方程多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)0MXKX（3.2.1）式中 X廣義坐標(biāo)列陣12T

9、nXxxxM、K系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，均為對(duì)稱矩陣，質(zhì)量矩 陣為正定矩陣，剛度矩陣為正定矩陣或半正定矩陣。3.2 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)一、固有頻率和主振型 上節(jié)得到了二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程式（3.1.3）、式（3.1.6）。實(shí)際上，對(duì)于具有微小位移的n自由度線性彈性系統(tǒng)，其自由振動(dòng)方程都具有這一形式多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)sin()XAt（a）式中A為振幅列陣，將式（a）對(duì)時(shí)間求兩次導(dǎo)數(shù)，得到廣義加速度列陣2sin()XAt （b）將式（a）、（b）代人式(3.2.1），得到20KM A（3.2.2） 這里導(dǎo)出的式(3.2.2）是一個(gè)以振幅列陣A為未知數(shù)的齊次線性代數(shù)方程組，它在振動(dòng)理論中

10、有著重要的意義。其中矩陣K、M均為已知矩陣。根據(jù)線性代數(shù)理論，方程(3.2.2）有非零解的條件是系統(tǒng)矩陣的行列式等于零，即2det0KM（3.2.3）設(shè)方程(3.3.1）具有如下形式的解多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 式（式（3.2.33.2.3）稱為特征方程或頻率方程。將其展開，）稱為特征方程或頻率方程。將其展開，得到一個(gè)關(guān)于得到一個(gè)關(guān)于 2 2的的n n次代數(shù)方程，它的根稱為特征值。次代數(shù)方程，它的根稱為特征值。 特征值開平方即得到特征值開平方即得到 系統(tǒng)的固有頻率。在質(zhì)系統(tǒng)的固有頻率。在質(zhì)量矩陣為正定矩陣，剛度矩陣為正定矩陣或半正定矩陣量矩陣為正定矩陣，剛度矩陣為正定矩陣或半正定矩陣的情況下，的情況

11、下，n n個(gè)特征值均為非負(fù)實(shí)數(shù)個(gè)特征值均為非負(fù)實(shí)數(shù)。在大多數(shù)情況下，在大多數(shù)情況下，這這n n個(gè)特征值互不相等，將其按大小排列起來(lái)個(gè)特征值互不相等，將其按大小排列起來(lái)12n稱為一階固有頻率、二階固有頒率稱為一階固有頻率、二階固有頒率n n階固有頻率。將階固有頻率。將 i i（i i1 1，2 2，。），。）代回式（代回式（3.2.23.2.2）就得到）就得到A A的非零解，記的非零解，記之為之為A A(i)(i)，A A(i)(i)就是與就是與 i i對(duì)應(yīng)的特征矢量，它是一組振幅的相對(duì)應(yīng)的特征矢量，它是一組振幅的相對(duì)值，稱為第對(duì)值，稱為第i階固有振型，也稱為第階固有振型，也稱為第i i階主振型

12、。階主振型。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)（2 2）求固有頻率）求固有頻率設(shè)方程的特解：設(shè)方程的特解： 1122( )sin()( )sin()y tYty tYt（1）兩質(zhì)量的振動(dòng)方程兩質(zhì)量的振動(dòng)方程002221212221211111ykykymykykym 例例1 1 在圖示懸臂梁中，有在圖示懸臂梁中，有集中質(zhì)量集中質(zhì)量m m1 1和和m m2 2，不計(jì)梁不計(jì)梁的質(zhì)量，試求系統(tǒng)的固有的質(zhì)量，試求系統(tǒng)的固有頻率與振型。頻率與振型。（3.2.4）（3.2.5）多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)21111122221 12222()0()0km Yk Yk Ykm Y整理得頻率方程 211112221222()0()km

13、kDkkm解頻率方程得 兩個(gè)根： ，規(guī)定212, 1212第一頻率或基本頻率， 第二頻率即兩質(zhì)量作簡(jiǎn)諧振動(dòng)代入振動(dòng)方程（即兩質(zhì)量作簡(jiǎn)諧振動(dòng)代入振動(dòng)方程（3.2.43.2.4）得位移幅值方程）得位移幅值方程 （3.2.6）（3.2.7）多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)（3 3）求振型）求振型 將將 代入式（代入式（3.2.63.2.6），得），得 1211122211111 YkYkm質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) 的振動(dòng)方程為的振動(dòng)方程為 12,m m11112211( )sin()( )sin()y tYty tYt體系按體系按 振動(dòng)有如下特點(diǎn)：振動(dòng)有如下特點(diǎn)： 1兩質(zhì)量同頻同步兩質(zhì)量同頻同步多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)定義：體系上所有

14、質(zhì)量按相同頻率作自由振動(dòng)時(shí)的振動(dòng)定義：體系上所有質(zhì)量按相同頻率作自由振動(dòng)時(shí)的振動(dòng)形狀稱體系的主振型。這形狀稱體系的主振型。這n n個(gè)主振型線性無(wú)關(guān)個(gè)主振型線性無(wú)關(guān)按第一振型自由振動(dòng)的條件按第一振型自由振動(dòng)的條件 111111221212(0)(0),(0)(0)yYyYyYYy振型與頻率一樣是體系本身固有的屬性，與外界因素振型與頻率一樣是體系本身固有的屬性，與外界因素?zé)o關(guān)。無(wú)關(guān)。 同理，將同理，將 代入式得到代入式得到 1212122221121 YkYkm 即第二振型即第二振型 211121)0()0(YYyy多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)圖示兩個(gè)振型圖示兩個(gè)振型 第一主振型第一主振型12第二主振型第二

15、主振型 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 圓盤扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)，假定k1k2k3k，J1J2J，求其固有頻牢和主振型，并解釋其物理意義。解：由上述假定，其自由振動(dòng)方程成為例21122020020JkkJkk 其特征方程為22202kJkkkJ可求出123kkJJ，多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)sin()At將此式和固有頻率代入振動(dòng)方程，即可得到與兩固有頻率相應(yīng)的主振型。將1回代(1)1(1)200kkAkkA (1)(1)12AA于是有或(1)11A 令令1 1、 2 2具有如下形式的解具有如下形式的解多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)(2)1(2)200kkAkkA (2)(2)12AA于是有或(2)11A如圖中給出了主振型的圖解。每個(gè)振型

16、的兩個(gè)元意之比即為兩個(gè)四盤在這一扳型申的振幅比。在第一振型中，兩個(gè)回盤連同中間的軸段一起總是向同一方向運(yùn)動(dòng)，并保持相同的位移。在第二振型中，兩個(gè)圓盤總是向相反方向運(yùn)動(dòng)，并保持相同的位移。二自由度扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)主振型圖解將2回代多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)11220000JkkJkk 220kJkkkJ1220kJ，其特征方程為可求出 這里，出現(xiàn)了一個(gè)零值固有頻率。用與上題相同的方法可求出1 0相對(duì)應(yīng)的主振型： 。即兩個(gè)圓盤連同整個(gè)軸向同一方向運(yùn)動(dòng)，并保持相同的位移。換言之，系統(tǒng)存在零值回有頻率說(shuō)明存在著未被約束的剛體運(yùn)動(dòng)。(1)(1)12AA若軸兩端為自由端，則可認(rèn)定若軸兩端為自由端，則可認(rèn)定k k1 1

17、k k3 30 0，其自由振動(dòng)方程成其自由振動(dòng)方程成為為多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 例3 已知圖示兩層剛架，橫梁為無(wú)限剛性。該質(zhì)量集中在樓層上，分別為m1，m2。層間側(cè)移剛度（層間產(chǎn)生單位相對(duì)側(cè)移時(shí)所需施加得力）分別為k1， k2。 求剛架水平振動(dòng)時(shí)固有頻率和主振型。m1m2k1k2 解：解：（1）系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣 2111kkk21221kkk222kk111222 mmmm多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)（2）求固有頻率由頻率方程 0222221121211mkkkmk當(dāng) 時(shí)，mmmkkk2121,有0)(2(222kmkmk 所以 mk618. 01 mk618. 12 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)（3 3）求

18、主振型）求主振型 兩個(gè)主振型圖： 第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型 第一主振型 618. 1112111122111mkkYY 618. 11)1(Y 第二主振型 618. 012211122212mkkYY 618. 01)2(Y11.61810.618多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 例例4 4 求等截面簡(jiǎn)支梁的自振頻率和主振型求等截面簡(jiǎn)支梁的自振頻率和主振型 解：方法一解：方法一 （1 1）求柔度系數(shù)）求柔度系數(shù) 由由 圖圖21,MM圖圖 1M2Mmm12L/3L/3L/3圖圖 EIl243432211 EIl486732112 利用圖乘法求得利用圖乘法求得 1112L/9211212L/9多

19、自由度系統(tǒng)的振動(dòng)由頻率方程由頻率方程 0112222112211 mmmm31692. 5mlEI 32045.22mlEI 求得求得（2 2）求固有頻率）求固有頻率 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)兩個(gè)主振型圖：兩個(gè)主振型圖：第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型111-11112111122111 mmYY11)1(Y1112211122212 mmYY11)2(Y第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型（3 3）求固有振型）求固有振型 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 例例5 試求如圖所示的兩個(gè)耦合振子的振動(dòng)頻率。試求如圖所示的兩個(gè)耦合振子的振動(dòng)頻率。 解：自由度為解：自由度為2，以位移，以位移21,xx為廣義坐

20、標(biāo)，則為廣義坐標(biāo)，則)(21)(2122212212221xxxxkVxxmT （1） 將（將（1）代入拉格朗日方程得）代入拉格朗日方程得2112kxkxxm （2）2122kxkxxm （3）引進(jìn)兩個(gè)新的坐標(biāo)引進(jìn)兩個(gè)新的坐標(biāo) ,212211xxqxxq 分別將（分別將（2）和（）和（3）相加減，得）相加減，得011 qmkq 0322 qmkq 1q2q由此得由此得和和振動(dòng)模式的頻率分別為振動(dòng)模式的頻率分別為mk /1 mk /32 和和 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 二、多自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)的通解 將第i組特征對(duì)代回原假設(shè)的解的形式（a）式，就得

21、到原方程（3.2.1）的一個(gè)特解。( )( )sin()iiiiXAt(3.2.8)由線性代數(shù)知識(shí)可知原方程的通解( )1( )sin()niiiiX tAt該通解中含有n個(gè)振型A（1）、A（2）、A（n）。方程中有2n個(gè)待定常量由2n個(gè)初始條件來(lái)確定：(3.2.9)1212(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)TnTnXxxxXxxx多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)在某些特殊的初始條件下，系統(tǒng)只按其中的某一個(gè)固有頻率i在自由振動(dòng)，這時(shí)式（3.2.1）通解形式就變?yōu)槿缦绿厥庑问剑? )sin()iiiXAt 這時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形態(tài)稱為第i階主振動(dòng)，在一般情況下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形態(tài)是各階主振動(dòng)的疊加。至于每階

22、主振動(dòng)所占的比重，那要由初始條件來(lái)確定。 三、主振型的正交牲和正則化 振型是多自由度系統(tǒng)振動(dòng)中的一個(gè)非常重要的慨念。在本章第一節(jié)中我們?cè)赋?，多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)可以轉(zhuǎn)化為單自由度系統(tǒng)振動(dòng)的疊加。之所以能這樣處理，其基礎(chǔ)恰在于主振型的性質(zhì)。從式(3.2.2）可得到關(guān)系式 1、主振型的正交性多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)( )( )2( )( )( )( )2( )( )j Tjj Tjij Tij TijAKAAMAAKAAMA（e）（f）兩式相減，有從式（g）和式（e）可得出( )( )( )( )00j Tij TiAMAAKA22( )( )0j TiijAMA（g）（3.2.10）（3.2.11）(

23、 )2( )( )2( )jiiijjKAMAKAMA（c）（d）用A（j）T左乘式（c），用A（i）右乘式（d）的轉(zhuǎn)置，由于K和M是對(duì)稱矩陣，有多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 上兩式表明，不同階的主振型之間存在著對(duì)質(zhì)量矩陣M的正交性，也存在著對(duì)剛度矩陣K的正交性，統(tǒng)稱為主振型的正交性。3.主振型的正則化在ij的情況下，從式（e）或式（f）可得出( )( )2( )( )i Tii TiiAKAAMA（h） 因?yàn)橘|(zhì)量矩陣M是正定矩陣，所以A（i）TMA（i）為是正定二次型。令( )( )0(1,2,3,)i TiiAMAMin（3.2.12）Mi稱為第I階主質(zhì)量。對(duì)于正定系統(tǒng)，剛度矩陣K也是正定矩陣，令(

24、 )( )0(1,2,3, )i TiiAKAKin（3.2.13）多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)( )( )2( )( )(1,2,3,)i Tiiii TiiKAKAinAMAM（3.2.14） 這就是說(shuō)，第i階固有頻率的平方2等于第i階主剛度Ki和第i階主質(zhì)量Mi之比。 引入振型矩陣(1)(2)( )111(1)(2)( )(1)(2)( )222(1)(2)( )nnnnnnnAAAAAAAAAAAAA（3.2.15）根據(jù)（3.2.10）和（3.2.11）有Ki稱為第i價(jià)主剛度。同時(shí)由式（h）可得到如下關(guān)系多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)12000000TPnMMA MAMM（3.2.16）同樣地，式(3.2.

25、12）、式(3.2.14)合并起來(lái)可以寫成12000000TPnKKA KAKK（3.2.17） 因?yàn)檎裥褪噶扛髟亻g可以任意改變比例，所以可將某一階任意選定的主振型矢量除以一個(gè)常數(shù)Ci，將其正則化，即令()()1iiiAC（i）多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)（3.2.18）使得()()1iTiM（i）為正則振型，正則振型是滿足條件(3.2.18）的一組特定的主振型。Ci稱為正則化因子，將式（i）代入式(3.2.18），則可導(dǎo)出1211112(1)( 2 )()22212nnnnnnn()()iTiiCAM A （3.2.19） 對(duì)各階主振型依次進(jìn)行上述處理，可求得n個(gè)正則振型矢量，它們構(gòu)成的矩陣稱為正則

26、振型矩陣記為，即（3.2.20）多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)TMI（3.2.21）將式（3.2.21）代入式（3.2.22），得21, 2 ,iiKin于是（3.2.17）化為2122200TnK （3.2.22）矩陣稱為特征值矩陣。引入正則振型矩陣后，由式（3.2.16）得主質(zhì)量矩陣變成一個(gè)單位矩陣，即多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)四、多自由度振動(dòng)方程的耦合與解耦 由線性代數(shù)知識(shí)可知，n個(gè)n維的線性無(wú)關(guān)矢量構(gòu)戚n維線性空間的一組基底，該空間的任意一個(gè)矢量都可以用這組基底的線性組合來(lái)表示：(1)(2)( )12nnX （3.2.23）式中12Tn稱為振型坐標(biāo)矢量，1 ，2 ，n稱為振型坐標(biāo)，而原來(lái)選定的廣義坐標(biāo)x1

27、，x2，xn稱為物理坐標(biāo)。從式(3.2.23）可得X利用正則振型矩陣，可以把質(zhì)量矩陣演化成單位矩陣，把剛度矩陣演化成對(duì)角形的特征值矩陣。這是解決多自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程耦合問(wèn)題的理論基礎(chǔ)。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)0TTMK根據(jù)正則振型矩陣的正交性質(zhì)，即式（3.2.21）、（3.2.22），上式可化為0 （3.2.24）因?yàn)槭菍?duì)角形的特征值矩陣，所以式（3.2.24）是n個(gè)互不耦合的獨(dú)立方程，其展開形式力：211122222000nnn （3.2.25）將上式和式（3.2.23）代入系統(tǒng)的振動(dòng)方程（3.2.1），并前乘T，得到多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 方程組（3.2.25）可以看成是n個(gè)單自由度的振動(dòng)方程。這樣

28、，實(shí)現(xiàn)了原方程（3.2.1）的解耦，將n個(gè)自由度的振動(dòng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為n個(gè)單自由度的振動(dòng)問(wèn)題，即以各階固有頻率為振動(dòng)頻率，以各階主振型為振幅比的振動(dòng)。反過(guò)來(lái)說(shuō)，原來(lái)用物理坐標(biāo)描述的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以認(rèn)為是各階主振動(dòng)的疊加。這種方法就是所謂振型疊加法。 五、振型截?cái)喾?從理論上說(shuō)，各個(gè)振型對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)都有貢獻(xiàn)。但是，各價(jià)振型的貢獻(xiàn)并不相同。在實(shí)際工程問(wèn)題中，常常是固有頻率較低的幾個(gè)振型的貢獻(xiàn)占了壓倒地位，尤其是在激振力中高頻成分較少，或系統(tǒng)自由度數(shù)甚高的情況下更是這樣。因而，在實(shí)際計(jì)算中，常取前r（rn）階主振動(dòng)之和作為系統(tǒng)響應(yīng)的近似值，也能滿足精度要求，這就是振型截?cái)喾?。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)( )1( )(

29、 )riiiX tt （3.2.26）引入截?cái)嗾齽t振型矩陣，它由前r（rn）個(gè)主振型構(gòu)成：(1)(2)( )111(1)(2)( )(1)(2)( )222(1)(2)( )rrrrnnn（3.2.27）由截?cái)嗾齽t振型矩陣 求得的截?cái)嗾齽t質(zhì)量矩陣是rr階的單位矩陣，即Tr rMI（3.2.28）這時(shí)，式（3.2.23）成為多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2122200TrK截?cái)嗾齽t剛度矩陣為（3.2.29）同時(shí)，式(3.2.26）可以寫為X（3.2.30）式中12Tn（3.2.31）把式（3.2.30）代人系統(tǒng)振動(dòng)方程（3.2.1），前乘 ，并注意到T多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)式（3.2.28）和式（3.2.29）

30、，則原方程變成了r個(gè)獨(dú)立的單自由度振動(dòng)方程：211122222000rrr （3.2.32）多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 一、阻尼假定 各種彈性結(jié)構(gòu)在振動(dòng)時(shí)總要受到各種阻尼的作用。但是可以根據(jù)對(duì)系統(tǒng)不同的影響來(lái)決定是否計(jì)入阻尼。阻尼對(duì)系統(tǒng)的影響的大小與激振力的性質(zhì)有關(guān)。一般來(lái)說(shuō)，加于系統(tǒng)的激振力可能很復(fù)雜，所以阻尼的影響效應(yīng)是事先不知道的，故在計(jì)算結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)，必須考慮阻尼。 產(chǎn)生阻尼的原因是多方面的。這些阻尼的機(jī)理比較復(fù)雜，通常將各種阻尼都簡(jiǎn)化為與速度成正比的粘性阻尼。對(duì)于一個(gè)考慮粘性阻尼的多自由度系統(tǒng)，在激振力的作用下，其運(yùn)動(dòng)方程為MXCXKXF（3.3.1）3.3 多自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng)

31、多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)X將其代入式（3.3.1）并前乘 ，于是式（3.3.1）化為TCN （3.3.2）式中TTCCNF（3.3.3）（3.3.4）N稱為正則振型激振力列陣。 在大多數(shù)情況下，阻尼的機(jī)制是不能確切地知道的，從而阻尼矩陣C的形式也是不知道的。所以常對(duì)阻力矩陣的形式作某種假設(shè)。常用的阻尼假定有兩種：振型阻厄和比例阻尼。下面主要介紹振型阻尼。在振型阻尼假定中，認(rèn)為阻尼矩陣能使正則振型矩陣對(duì)其為加權(quán)正交，即式中C為阻尼矩陣，引入線性變換多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)211222220202TnnCC （3.3.5）作出這種振型阻尼的假設(shè)考慮有三：1）假設(shè)C為對(duì)角矩陣可使方程成為非耦合的，此時(shí)（3.3.

32、2）成為下列展開式1211112N 矩陣C稱為正則振型阻尼矩陣。其中i（il，2，n）稱為正則阻尼比。（3.3.6）nnnnnnN212 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 2）如前所述，阻尼矩陣C中諸元素很難確定，但式（3.3.5）中的各階振型阻尼比i則可以用實(shí)測(cè)或假設(shè)的方法確定。 3）在阻尼比較小的情況下（0 i 02），來(lái)用振型阻尼假設(shè)對(duì)于分析不會(huì)引起很大誤差。 還有一種比例阻尼假定，即認(rèn)為阻尼矩陣可以表示為質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的加權(quán)和。CMK（3.3.7）式中和為正常數(shù)。不難證明這種形式的阻尼矩陣也能使正則振型矩陣對(duì)其為加權(quán)正交。式(3.3.6）相當(dāng)于n個(gè)有阻尼的單自由度振動(dòng)方程。這樣作大大簡(jiǎn)化了有阻尼

33、的多自由度系統(tǒng)振動(dòng)的分析計(jì)算工作。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 通過(guò)引入線性變換和振型阻尼假設(shè)，已將具有粘性阻尼的多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)微分分方程（3.3.l）轉(zhuǎn)化為以振型坐標(biāo)為基本未知量的非耦合的微分方程組（3.3.6）。二、用振型疊加法求系統(tǒng)的自由響應(yīng)（3.3.8）2111120 2120nnnnn 00(0),(0)XXXX首先利用線性變換的逆變換將其轉(zhuǎn)換到振型坐標(biāo)上去110000,XX若初始條件是按物理坐標(biāo)給出的多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)002( )cossin1itiiidiididiitett （3.3.9）式中221 arctan1idiiiii 根據(jù)式（3.2.23）和式（3.3.8）中的每個(gè)方

34、程的解可以寫為式（3.39）就是振型坐標(biāo)對(duì)初始條件的響應(yīng)。原來(lái)選定的物理坐標(biāo)的響應(yīng)即可求得( )1( )( )niiiX tt（3.3.10）多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)1 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程 tFyKyMP 2PF (t)F (t)P1AB1mm2AB2mm11mm2BAB1mm2A12y12yY2111YY1222Yy21y2PF (t)F (t)P1AB1mm2AB2mm11mm2BAB1mm2A12y12yY2111YY1222Yy21y對(duì)于兩個(gè)自由度體系對(duì)于兩個(gè)自由度體系, 即即 P111111122212222P200FtyymkkmkkyyFt2 解耦解耦設(shè)設(shè) 1、 2為兩個(gè)新的坐標(biāo)，并為兩

35、個(gè)新的坐標(biāo)，并使新舊坐標(biāo)之間有如下關(guān)系：使新舊坐標(biāo)之間有如下關(guān)系： 212221121121YYYYyy三、用振型疊加法求系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)寫成矩陣形式為寫成矩陣形式為 Yy 式中式中 y是物理坐標(biāo)，實(shí)際位移；是物理坐標(biāo)，實(shí)際位移； 是是正則坐標(biāo)正則坐標(biāo)，把，把y按按Y分解時(shí)的組合系數(shù)；分解時(shí)的組合系數(shù)；Y是主振型矩陣，新舊坐標(biāo)之是主振型矩陣，新舊坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換矩陣。間的轉(zhuǎn)換矩陣。Y是非奇異矩是非奇異矩陣，因而能保證新舊坐標(biāo)間存陣，因而能保證新舊坐標(biāo)間存在確定的單值關(guān)系。在確定的單值關(guān)系。2PF (t)F (t)P1AB1mm2AB2mm11mm2BAB1mm2A12y12

36、yY2111YY1222Yy21y2PF (t)F (t)P1AB1mm2AB2mm11mm2BAB1mm2A12y12yY2111YY1222Yy21y第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型 任一瞬時(shí)的動(dòng)位移任一瞬時(shí)的動(dòng)位移 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)3 主振型矩陣分塊主振型矩陣分塊主振型矩陣可表達(dá)為主振型矩陣可表達(dá)為 2122211211YYYYYYY 2211YYy這是將各振型分量沿動(dòng)位移這是將各振型分量沿動(dòng)位移1、2方向加以疊加，從而得出質(zhì)點(diǎn)的方向加以疊加，從而得出質(zhì)點(diǎn)的總位移。因此，總位移。因此，hi就是把實(shí)際位移就是把實(shí)際位移y按主振型分解時(shí)的組合系數(shù)。按主振型分解時(shí)的組合系數(shù)。 也可以

37、寫成展開式也可以寫成展開式2PF (t)F (t)P1AB1mm2AB2mm11mm2BAB1mm2A12y12yY2111YY1222Yy21y第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型 任一瞬時(shí)的動(dòng)位移任一瞬時(shí)的動(dòng)位移 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)4 廣義質(zhì)量、廣義剛度和廣義荷載廣義質(zhì)量、廣義剛度和廣義荷載將將 及及 代入方程代入方程 ，進(jìn)行正則坐標(biāo)變換：，進(jìn)行正則坐標(biāo)變換： y y tFyKyMP YyYy,利用主振型的正交性，簡(jiǎn)化式利用主振型的正交性，簡(jiǎn)化式(b)的計(jì)算：的計(jì)算： )(PtFYKYM (b)將式將式(b)前乘以前乘以 ，則，則 21111YYYT )(P111tFYYKYYMYTT

38、T 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)于是有于是有 tFTKTMTtFYYKYYMY111P1111111此方程只含一個(gè)變量此方程只含一個(gè)變量 1及其對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。及其對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。同理，第二項(xiàng)同理，第二項(xiàng) 11212111212TTTYKYYYKYYKY第二正交條件為第二正交條件為0其中，第一項(xiàng)其中，第一項(xiàng) 20211112211121211 第一正交條件為YMYYMYYYMYYYMYTTTT )(P111tFYYKYYMYTTT 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)同樣，將式同樣，將式 前乘以前乘以 ，則，則 )(PtFYKYM 22122YYYT tFKM22222 對(duì)應(yīng)于第二主振型。對(duì)應(yīng)于第二主振型。 11111111

39、PTTTMYMYKYKYF tYFt廣義質(zhì)量廣義質(zhì)量廣義剛度廣義剛度廣義荷載廣義荷載則則 tFKM11111 對(duì)應(yīng)于第一主振型。這里，把聯(lián)立方程變成了獨(dú)立方程。對(duì)應(yīng)于第一主振型。這里，把聯(lián)立方程變成了獨(dú)立方程。引入符號(hào)引入符號(hào)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)注意：由注意：由Mi組成的廣義質(zhì)量矩陣以及由組成的廣義質(zhì)量矩陣以及由Ki組成的廣義組成的廣義剛度矩陣都是對(duì)角矩陣，即剛度矩陣都是對(duì)角矩陣，即nMMMM21nKKKK21 iiiiiMtFtt2 ni, 2 , 15 解耦后運(yùn)動(dòng)方程的一般形式解耦后運(yùn)動(dòng)方程的一般形式 tFtKtMiiiii ni, 2 , 1上式兩邊同時(shí)除以上式兩邊同時(shí)除以Mi，再考慮自振

40、頻率的平方再考慮自振頻率的平方 則得則得iiiMK2關(guān)于正則坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)于關(guān)于正則坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)于n個(gè)自由度體系，這是彼此個(gè)自由度體系，這是彼此獨(dú)立的獨(dú)立的n個(gè)一元方程。個(gè)一元方程。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)寫為寫為 tiiiiitFMt0dsin16 運(yùn)動(dòng)方程的解運(yùn)動(dòng)方程的解可參照可參照杜哈梅積分杜哈梅積分 iiiiiMtFtt2 ni, 2 , 1多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 杜哈梅積分tttiiiiiisin0cos0 iTiiiTiiMyMYMyMY0000式中式中即即 22iiiiMtFt若考慮不為零的初始條件，則若考慮不為零的初始條件，則7 特例：對(duì)于簡(jiǎn)諧干擾力特例：對(duì)于簡(jiǎn)諧干擾力 st2

41、221sin1iiiiiiF ttytM多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)故故 111111ttMtyMYMtyMYTT 111 MyMYT即即【補(bǔ)證】【補(bǔ)證】對(duì)式對(duì)式 兩邊前乘以，則可得兩邊前乘以，則可得 Yy 2021111221112121111 第一正交條件為YMYYMYYYMYYYMYYMYyMYTTTTTT11M多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)8 原運(yùn)動(dòng)方程的解原運(yùn)動(dòng)方程的解 Yy 必須指出：此法必須指出：此法基于疊加原理基于疊加原理，不能用于分析非線性，不能用于分析非線性振動(dòng)體系。振動(dòng)體系。故對(duì)于第故對(duì)于第i個(gè)振型，若個(gè)振型，若t=0時(shí)有初位移時(shí)有初位移 和初速度和初速度 ，則有，則有 0y 0y iTiii

42、TiiMyMYMyMY0000證畢。證畢。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)例例1 1. . 用振型分解法計(jì)算一般力的強(qiáng)迫響應(yīng)用振型分解法計(jì)算一般力的強(qiáng)迫響應(yīng)例：求圖示結(jié)構(gòu)在突加荷載例：求圖示結(jié)構(gòu)在突加荷載 作用下的位移作用下的位移)(tFp已知：已知：0, 00,)(11ttFtFpp1.1.確定體系的自振頻率和主振型；確定體系的自振頻率和主振型； 3.3.求廣義質(zhì)量，廣義荷載；求廣義質(zhì)量，廣義荷載； 3.3.求廣義坐標(biāo)；求廣義坐標(biāo)； 4.4.求質(zhì)點(diǎn)位移。求質(zhì)點(diǎn)位移。 L/ 3y( t )1L/ 3L/ 3m =m112m =my( t )2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)解解可求得可求得 12335.69222.045

43、EIEImlml（1 1）確定自振頻率和主振型）確定自振頻率和主振型主振型主振型 (1)(2)11 11YY （2 2）求廣義質(zhì)量、廣義荷載）求廣義質(zhì)量、廣義荷載 (1)(1)1(2)(2)2 2 2TTMYMYmMYMYm多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)（3 3）求廣義坐標(biāo)）求廣義坐標(biāo) 111111111120111222221112220222( )1( )( )sin()(1 cos)2( )1( )( )sin()(1 cos)2tpptppMkF tFtFtdtMmMkF tFtFtdtMm(1)11(2)21( ) ( )( )( ) ( )( )TppTppF tYF tFtF tYF tFt(t)FKM11111(t)FKM22222多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)（4 4）求質(zhì)點(diǎn)位移）求質(zhì)點(diǎn)位移 由坐標(biāo)變換由坐標(biāo)變換 yY1112122112121221( )( )(