折疊圖形難題

1、折疊圖形國(guó)2010-64【解析】B。為便于講解，我們先給6個(gè)面編號(hào)，如下圖：一般來(lái)說(shuō)，如果平面圖形中幾個(gè)面在一條直線上，相隔的面就是相對(duì)面。比如下圖的1、3、4、6面在直線上，那么1、4和3、6是兩對(duì)相對(duì)面，那么剩下另一對(duì)2、5也是一對(duì)相對(duì)面。但是此題圖形沒(méi)有三個(gè)面在一條直線上，所以相對(duì)面需要通過(guò)我們空間想象或者分析判斷。再如1號(hào)面，經(jīng)過(guò)順時(shí)針或者逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度后，會(huì)變成，跟3號(hào)、6號(hào)面一樣。所以此題較難，一是因?yàn)橄鄬?duì)面比較難找，二是因?yàn)橛兴膫€(gè)面是相似的圖形，旋轉(zhuǎn)后斜線方向會(huì)跟其他面混淆。一、找相對(duì)面，排除選項(xiàng)。首先，我們可以通過(guò)相對(duì)面做出排除。那么哪3對(duì)面是相對(duì)面呢。方法一：空間想象?；氐?/p>

2、題干中的圖形，我們先看1、2、3、4號(hào)面。如果有一定得空間想象力，我們可以看出1號(hào)面是向左后方折，3、4號(hào)面是個(gè)整體向后下方折，然后4號(hào)面再向下折。也就是如下圖所示：4號(hào)面向下折特別說(shuō)明的是，有人在課堂上提出往哪個(gè)方向折，會(huì)不會(huì)往外折。這顯然是不可能的，最終折出后六個(gè)面的圖形要跟平面匹配，如果往外折，一個(gè)面都看不到，所以這里不用糾結(jié)，一定是往里折的。如果完全折起應(yīng)該是兩條藍(lán)色的線a、b重合，兩條綠色的線c、d重合。那么我們可以看出，1、4號(hào)面是相對(duì)面。同理我們可以得到3、6號(hào)面是相對(duì)面，那么只剩下2、5號(hào)面，它們也構(gòu)成一對(duì)相對(duì)面。2、5號(hào)面相對(duì)，我們可以很快地排除掉CD選項(xiàng)。方法二：分析判斷。

3、我們知道，正六面體有6個(gè)面，12條線，8個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成。每1個(gè)面有4條線、4個(gè)頂點(diǎn)，每1條線與2個(gè)面相鄰，連接2個(gè)頂點(diǎn)，每1個(gè)頂點(diǎn)會(huì)發(fā)出3條線，3個(gè)面。如下圖所示，紅色點(diǎn)為1個(gè)頂點(diǎn)，從這個(gè)點(diǎn)發(fā)出a、b、c共3條線，這個(gè)頂點(diǎn)還同時(shí)與1、2、3號(hào)面相連。通過(guò)以上我們可以推斷，如果一個(gè)平面圖上有一個(gè)點(diǎn)連著3個(gè)面，那這3個(gè)面的關(guān)系肯定也如上圖1、2、3號(hào)面一樣，兩兩相鄰。如果一個(gè)點(diǎn)連著4條線，那么肯定有2條線折疊后會(huì)重合，因?yàn)?個(gè)點(diǎn)只能發(fā)出3條線。那么哪2條線會(huì)重合呢，剛剛提到過(guò)每1條線與2個(gè)面相鄰，如果1條線在平面圖上只屬于1個(gè)面，那么這條線就是要重合的，我們?cè)俑鶕?jù)公共點(diǎn)找到另一條只屬于1個(gè)面的線。以本

4、題為例，上圖為題干的平面圖形，點(diǎn)C連著1、2、3號(hào)面，那么折疊后這三個(gè)面也應(yīng)該是兩兩相鄰。同樣C點(diǎn)連著CB、CD、CL、CN四條線，肯定有2條線折疊后會(huì)重合，根據(jù)上一段提到的，CB、CD這種在平面圖上只屬于1個(gè)面的兩條線將重合。同樣我們也可以推斷出點(diǎn)E、J、L三個(gè)點(diǎn)附近的面、線關(guān)系。如果知道以上關(guān)系，我們很快就能看出，LK、LM將重合，2號(hào)面和4號(hào)面將相鄰，且公共邊為L(zhǎng)M，LM與CN平行，與一個(gè)面兩條平行相對(duì)的線相鄰的面一定是一對(duì)相對(duì)面，這樣我們就能知道1、4號(hào)面相對(duì)。同理可得3、6號(hào)面相對(duì)，那么只剩下一對(duì)面2、5號(hào)面，它們也是相對(duì)的。2、5號(hào)面相對(duì)，我們可以很快地排除掉CD選項(xiàng)。二、確定參照

5、面，分析相鄰面是否正確。我們已經(jīng)排除了CD選項(xiàng)，AB選項(xiàng)無(wú)法排除，需要我們觀察是否正確。觀察折疊圖形是否正確，需要我們先確定一個(gè)面為參照，然后再找第二個(gè)面是否能符合，如果兩個(gè)面確定了，再看第三個(gè)面的位置是否正確。我們?cè)谶x擇第一個(gè)面時(shí)，應(yīng)注意選擇出現(xiàn)次數(shù)盡量少的面，比如AB選項(xiàng) 正面的圖形我們可以確定分別是5號(hào)面和2號(hào)面，但是頂面和側(cè)面的圖形，1、3、4、6號(hào)面都可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)得到或者，這一點(diǎn)我們上面已經(jīng)講過(guò)。在AB兩個(gè)選項(xiàng)中，我們應(yīng)該首先選擇A選項(xiàng)進(jìn)行觀察，因?yàn)锳選項(xiàng)5號(hào)面有兩種翻轉(zhuǎn)可能，一種是如平面圖所示，另一種是將整個(gè)圖旋轉(zhuǎn)180度，5號(hào)面圖形保持不變。而2號(hào)面旋轉(zhuǎn)90度后還是一樣的圖形，要

6、觀察4次。所以先選擇A選項(xiàng)來(lái)觀察。首先我們發(fā)現(xiàn)A選項(xiàng)的正面和側(cè)面與5、6號(hào)面相對(duì)應(yīng)，那我們要看頂面是不是如A選項(xiàng)所示。那么頂面應(yīng)該是哪一面呢，通過(guò)空間想象，你能想的出來(lái)嗎？即使我告訴你頂面應(yīng)該是1號(hào)面翻上去，你知道翻上去后是還是嗎？顯然對(duì)于空間想象力要求過(guò)高。我們可以接著上面講的第二種找相對(duì)面的方法往下分析。我們剛剛講過(guò)，一個(gè)點(diǎn)如果已經(jīng)射出四條線，那么兩個(gè)只屬于一個(gè)面的線將重合。以C點(diǎn)為例，CB、CD兩條線將重合，那么點(diǎn)B、點(diǎn)D會(huì)重合，ED、EF兩條線將重合，那么點(diǎn)D、點(diǎn)F會(huì)重合，所以B、D、F三點(diǎn)會(huì)重合，重合后的點(diǎn)就連著1、3、5號(hào)面，所以1、3、5號(hào)面也會(huì)兩兩相鄰。如果通過(guò)空間想象，是很難

7、很快看出1、3、5號(hào)面的關(guān)系的。5號(hào)面已經(jīng)與3、4、6號(hào)面相鄰，且3號(hào)面在左側(cè)，6號(hào)面在右側(cè)，4號(hào)面為底面。1、3、5號(hào)面兩兩相鄰，那么1號(hào)面肯定會(huì)翻到5號(hào)面的頂面。B點(diǎn)和F點(diǎn)重合，在1號(hào)面內(nèi)部B點(diǎn)會(huì)向?qū)巧涑鲆粭l直線，一個(gè)平面內(nèi)圖形的相對(duì)關(guān)系是不會(huì)經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)后改變的。所以1號(hào)面翻到上面后，也一定會(huì)從B點(diǎn)向?qū)巧涑鲆粭l直線，B點(diǎn)和F點(diǎn)重合，那么這條直線就是從F點(diǎn)射出的，也就是應(yīng)該這樣：，顯然A選項(xiàng)的斜線方向反了。但是此時(shí)我們還不能排除A選項(xiàng)，因?yàn)檫€有一種情況，就是將整個(gè)圖旋轉(zhuǎn)180度后再觀察。旋轉(zhuǎn)180度后得到如下圖所示：將數(shù)字、字母方向調(diào)整后為：我們發(fā)現(xiàn)A選項(xiàng)的正面和頂面與5、4號(hào)面相對(duì)

8、應(yīng)，我們要判斷5號(hào)面右側(cè)面是否正確。在平面圖上我們可以知道，5號(hào)面右側(cè)面應(yīng)該是3號(hào)面，因?yàn)镋F和ED會(huì)重合，EF在5號(hào)面右邊，跟EF相鄰的面就是5號(hào)面的右側(cè)面。而右側(cè)面的斜線應(yīng)該是從E點(diǎn)射出的，也就是：。但是A選項(xiàng)中卻是從公共邊的底部射向?qū)牵@然A選項(xiàng)就是錯(cuò)誤選項(xiàng)。排除了ACD，我們可得這題正確選項(xiàng)應(yīng)該是B?！拘〗Y(jié)】上面講到的分析判斷方法，是將平面圖形分解為點(diǎn)、線、面，根據(jù)基本的立體圖形的特征，分析點(diǎn)、線、面折疊后之間的關(guān)系，找到公共點(diǎn)、公共邊后，再根據(jù)一個(gè)平面內(nèi)圖形的相對(duì)關(guān)系是不會(huì)經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)后改變的，找到與公共點(diǎn)、公共邊相鄰的面的圖形與公共點(diǎn)、公共邊之間的位置關(guān)系來(lái)匹配。這種分析方法，

9、避免了空間想象需要經(jīng)過(guò)多次翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)后的混亂。雖然此題已經(jīng)講解了5頁(yè)多，但是我們?nèi)绻悸肥炀?，我們做此題的步驟如下。1.根據(jù)“一個(gè)點(diǎn)如果已經(jīng)射出四條線，那么兩個(gè)只屬于一個(gè)面的線將重合”和“與一個(gè)面兩條平行相對(duì)的線相鄰的面一定是一對(duì)相對(duì)面”這兩個(gè)規(guī)律找到相對(duì)面，排除CD選項(xiàng)。2.分析A選項(xiàng)，同樣根據(jù)“一個(gè)點(diǎn)如果已經(jīng)射出四條線，那么兩個(gè)只屬于一個(gè)面的線將重合”，線重合點(diǎn)就重合，可知BDF三點(diǎn)重合。3.根據(jù)“如果一個(gè)點(diǎn)連著3個(gè)面，那這3個(gè)面肯定兩兩相鄰”可知1、5號(hào)面相鄰，5號(hào)面與其他3個(gè)相鄰面的位置關(guān)系已確定，可知1號(hào)面為頂面。4.根據(jù)“一個(gè)平面內(nèi)圖形的相對(duì)關(guān)系是不會(huì)經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)后改變的”，判斷

10、出頂面斜線應(yīng)該從F點(diǎn)射出，推斷出這種情況是錯(cuò)誤的。5.將平面圖旋轉(zhuǎn)180度（考試中可以直接將試卷旋轉(zhuǎn)，因?yàn)樵嚲硇D(zhuǎn)后選項(xiàng)也旋轉(zhuǎn)了，我們可以把正確圖形在草稿紙上畫(huà)出，再用稿紙上的圖形與選項(xiàng)比較。）確定正面和頂面正確后，再根據(jù)公共點(diǎn)E射出一條斜線可知A選項(xiàng)錯(cuò)誤。6.排除ACD，得到正確選項(xiàng)B。國(guó)2011-82【解析】D。為便于講解，我們先給6個(gè)面編號(hào)，如下圖：先找相對(duì)面，此題相對(duì)面比較容易找，2和4、3和5、1和6是三組相對(duì)面。但是我們發(fā)現(xiàn)1和4、5和6是相似圖形，通過(guò)旋轉(zhuǎn)都可能得到彼此的圖形，它們又不是相對(duì)面，所以通過(guò)相對(duì)面不能排除選項(xiàng)。接下來(lái)我們需要通過(guò)逐個(gè)分析選項(xiàng)。首先我們要選擇一個(gè)面為我們

11、的基準(zhǔn)面，這個(gè)面的選擇遵循以下兩點(diǎn)原則：1、只出現(xiàn)一次；2、位置可確定。根據(jù)第一點(diǎn)，1和4、5和6這兩組圖形不能作為基準(zhǔn)參照面，2號(hào)空白面，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后還是空白面，不符合原則第二點(diǎn)。但是3號(hào)面，分別經(jīng)過(guò)90度旋轉(zhuǎn)后為 ，顯然這四個(gè)圖形是不一樣的，所以我們可以根據(jù)選項(xiàng)中的這個(gè)面的方位確定平面圖形中相應(yīng)的位置。A選項(xiàng)中，我們以側(cè)面為參照，那藍(lán)色的那條線就應(yīng)該對(duì)應(yīng)平面圖中DK，綠色那條線對(duì)應(yīng)CD。顯然在平面圖中跟DK相鄰的面是有一條對(duì)角線的面，而不是如A中頂面斜線一點(diǎn)在角上，一點(diǎn)在線上的面。所以排除A。B選項(xiàng)中，我們以頂面為參照，那藍(lán)色的那條線就應(yīng)該對(duì)應(yīng)平面圖中CL，綠色那條線對(duì)應(yīng)LK。在平面圖中與CL相鄰的是空白面，跟選項(xiàng)一致，跟LK相鄰的是哪個(gè)面呢？如果有一定空間想象力，我們可以知道5號(hào)面會(huì)翻到3號(hào)面的相對(duì)面，6號(hào)面折疊后IH與LK重合。這樣想象會(huì)比較亂，我們沿用上題的分析方法。J點(diǎn)連著4、5、6三個(gè)面，J點(diǎn)連著JK、JE、JG、JI四條線，JK、JI會(huì)重合，重合后K點(diǎn)和I點(diǎn)重合，K點(diǎn)本來(lái)連著3、4號(hào)面，I點(diǎn)本來(lái)連著6號(hào)面，重合后的點(diǎn)就會(huì)連著3、4、6號(hào)面，那么K點(diǎn)（I點(diǎn)）引出的KL、IH也會(huì)重合，也就是如上圖兩條綠色的線。顯然6號(hào)面那條斜線是從I點(diǎn)射出的，重合后就是應(yīng)該從K點(diǎn)射出，而B(niǎo)選項(xiàng)中實(shí)際是從L點(diǎn)射出，所以B也是錯(cuò)誤的。C選項(xiàng)中，我們將正面