平行四邊形專題

1、第18章 平行四邊形 專項(xiàng)訓(xùn)練專訓(xùn)1：平行四邊形的性質(zhì)1、(2014寧夏)在平行四邊形ABCD中，將ABC沿AC對(duì)折，使點(diǎn)B落在B處，AB和CD相交于點(diǎn)O求證：OAOC2、(2015南通中考)如圖，在ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，DC上，且EDDB，F(xiàn)BBD. (1)求證：AEDCFB. (2)若A=30，DEB=45，求證：DA=DF.專訓(xùn)1.判定平行四邊形的五種常用方法名師點(diǎn)金：判定平行四邊形的方法通常有五種，即定義和四種判定定理，選擇判定方法時(shí)，一定要結(jié)合題目的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，從而?jiǎn)化解題過程1如圖，在ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC上的點(diǎn)，且BFDE，連接AF，CE，BE，D

2、F，AF與BE相交于M點(diǎn)，DF與CE相交于N點(diǎn)求證：四邊形FMEN為平行四邊形2如圖，已知ABD，BCE，ACF都是等邊三角形求證：四邊形ADEF是平行四邊形3已知：如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，E，F(xiàn)為對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，且AECF，DFBE.求證：四邊形ABCD為平行四邊形4如圖，在ABCD中，BE平分ABC，交AD于點(diǎn)E，DF平分ADC，交BC于點(diǎn)F，那么四邊形BFDE是平行四邊形嗎？請(qǐng)說明理由5如圖，ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，EF過點(diǎn)O，與AD，BC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，GH過點(diǎn)O，與AB，CD分別相交于點(diǎn)G，H，連接EG，F(xiàn)G，F(xiàn)H，EH.(1)求證：四邊形EGFH是平行

3、四邊形；(2)如圖，若EFAB，GHBC，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖中與四邊形AGHD面積相等的所有平行四邊形(四邊形AGHD除外)6、（2015遂寧）如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，且BE=DF，求證： （1）AE=CF； （2）四邊形AECF是平行四邊形 7、如圖，以ABC的三邊為邊在BC的同側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形，即ABD、BCE、ACF，請(qǐng)回答下列問題，并說明理由（1）四邊形ADEF是什么四邊形；（2）當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEF是矩形；（3）當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，以A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形不存在8、如圖，在ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分

4、別是四條邊上的點(diǎn)，且滿足BEDF，CGAH，連接EF，GH求證：EF與GH互相平分專訓(xùn)2.構(gòu)造中位線的方法名師點(diǎn)金：三角形的中位線具有兩方面的性質(zhì)：一是位置上的平行關(guān)系，二是數(shù)量上的倍分關(guān)系因此，當(dāng)題目中給出三角形兩邊的中點(diǎn)時(shí)，可以直接連出中位線；當(dāng)題目中給出一邊的中點(diǎn)時(shí)，往往需要找另一邊的中點(diǎn)，作出三角形的中位線連接兩點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線1、如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點(diǎn)，那么四邊形GEHF是平行四邊形，為什么？2、如圖，四邊形ABCD中，E、F、M、N分別為AB、CD、BD、AC的中點(diǎn)，求證：四邊形EMFN為平行四邊形 3、已知：如圖，四邊形ABC

5、D四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形）（1）四邊形EFGH的形狀是_，證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足_條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形；（3）你學(xué)過的哪種特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形？_4、如圖，點(diǎn)B為AC上一點(diǎn)，分別以AB，BC為邊在AC同側(cè)作等邊三角形ABD和等邊三角形BCE，點(diǎn)P，M，N分別為AC，AD，CE的中點(diǎn)(1)求證：PMPN；(2)求MPN的度數(shù)5、（2015廣州）如圖，四邊形ABCD中，A=90，AB=3，AD=3，點(diǎn)M，N分別為線段BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合）

6、，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點(diǎn)，則EF長(zhǎng)度的最大值為利用角平分線垂直構(gòu)造中位線6如圖，在ABC中，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，AD為ABC的外角平分線，且ADBD，若AB12，AC18，求DM的長(zhǎng)7如圖，在ABC中，已知AB6，AC10，AD平分BAC，BDAD于點(diǎn)D，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，求DE的長(zhǎng)倍長(zhǎng)法構(gòu)造三角形的中位線8如圖，在ABC中，ABC90，BABC，BEF為等腰直角三角形，BEF90，M為AF的中點(diǎn)，求證：MECF已知一邊中點(diǎn)，取另一邊中點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線9.已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長(zhǎng)線交MN于E、F求證：DEN=F10如圖

7、，在四邊形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，若AB10，CD8，求MN長(zhǎng)度的取值范圍11如圖，在ABC中，C90，CACB，E，F(xiàn)分別為CA，CB上一點(diǎn)，CECF，M，N分別為AF，BE的中點(diǎn)，求證：AEMN.已知兩邊中點(diǎn)，取第三邊中點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線12如圖，在ABC中，ABAC，ADBC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)N，求證：ANAC. 答案專訓(xùn)11證明：四邊形ABCD是平行四邊形，DEBF，DE綊BF.四邊形BFDE為平行四邊形BEDF.同理，AFCE.四邊形FMEN為平行四邊形2證明：ABD，BCE，ACF都是等邊三角形，BABD，BCBE，DBAEBC60.E

8、BCEBADBAEBA，ABCDBE.ABCDBE.AFACDE.同理，可證ABCFEC，ADABEF.四邊形ADEF是平行四邊形3證明：ABCD，BAEDCF.BEDF，BEFDFE.AEBCFD.在AEB和CFD中，AEBCFD，ABCD.又ABCD，四邊ABCD是平行四形4解：四邊形BFDE是平行四邊形理由：在ABCD中，ABCCDA，AC.BE平分ABC，DF平分ADC，ABECBEABC，CDFADFADC.ABECBECDFADF.DFBCCDF，BEDABEA，DFBBED.四邊形BFDE是平行四邊形5(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，OAOC，EAOFCO.在O

9、AE與OCF中，OAEOCF，OEOF.同理OGOH，四邊形EGFH是平行四邊形(2)解：與四邊形AGHD面積相等的平行四邊形有GBCH，ABFE，EFCD，EGFH.專訓(xùn)21(1)證明：如圖，連接CD，AE.由三角形中位線定理可得PM綊CD，PN綊AE.ABD和BCE是等邊三角形，ABDB，BEBC，ABDCBE60，ABEDBC.ABEDBC，AEDC.PMPN.(2)解：如圖，設(shè)PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H.由(1)知ABEDBC，BAEBDC.AHDABD60，F(xiàn)HG120.易證四邊形PFHG為平行四邊形，MPN120. 2解：如圖，延長(zhǎng)BD，CA交于N. 在AND和

10、ABD中，ANDABD(ASA)DNDB，ANAB.DMNC(ANAC)(ABAC)15.3解：如圖，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)F，AD平分BAC，BADCAD.BDAD，ADBADF，又ADAD，ADBADF(ASA)AFAB6，BDFD.AC10，CFACAF1064.E為BC的中點(diǎn)，DE是BCF的中位線DECF42.4證明：如圖，延長(zhǎng)FE至N，使ENEF，連接BN，AN.易得MEAN.EFEN，BEF90，BE垂直平分FN.BFBN.BNFBFN.BEF為等腰直角三角形，BEF90，BFN45.BNF45，F(xiàn)BN90，即FBAABN90.又FBACBF90，CBFABN.在BCF和BAN中，BCFBAN.CFAN.MEANCF. 5解：如圖，取BD的中點(diǎn)P，連接PM，PN.M是AD的中點(diǎn)，P是BD的中點(diǎn)，PM是ABD的中位線，PMAB5.同理可得PNCD4.在PMN中，PMPNMNPMPN，1MN9.6證明：如圖，取AB的中點(diǎn)H，連接MH，NH，則MHBF，NHAE.CECF，CACB，AEBF.MHNH.點(diǎn)M，H，N分別為AF，AB，BE的中點(diǎn)，MHBF，NHAE.AHMABC，BHNBAC.MHN180(AHMBHN)1