一、曲線的參數(shù)方程

1、一、曲線的參數(shù)方程一、曲線的參數(shù)方程在過去的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)掌握了一些求曲在過去的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)掌握了一些求曲線方程的方法，在求某些曲線方程時，直線方程的方法，在求某些曲線方程時，直接確定曲線上的點的坐標接確定曲線上的點的坐標x,y的關(guān)系并不容的關(guān)系并不容易，但如果利用某個參數(shù)作為聯(lián)系它們的易，但如果利用某個參數(shù)作為聯(lián)系它們的橋梁，那么就可以方便地得出坐標橋梁，那么就可以方便地得出坐標x,y所要所要適合的條件，即參數(shù)可以幫助我們得出曲適合的條件，即參數(shù)可以幫助我們得出曲線的方程線的方程f(x,y)0。下面我們就來研究求曲。下面我們就來研究求曲線參數(shù)方程的問題。線參數(shù)方程的問題。1、參數(shù)方程的概念

2、、參數(shù)方程的概念1、參數(shù)方程的概念、參數(shù)方程的概念探究：探究：一架救援飛機在離災(zāi)區(qū)地面一架救援飛機在離災(zāi)區(qū)地面500m的高處的高處以以100m/s的速度作水平直線飛行，為使的速度作水平直線飛行，為使投放的救援物資準確落于災(zāi)區(qū)指定的地投放的救援物資準確落于災(zāi)區(qū)指定的地面（不計空氣阻力），飛行員應(yīng)如何確面（不計空氣阻力），飛行員應(yīng)如何確定投放時機呢？定投放時機呢？AM(x,y)xyo 飛機在飛機在A點將物資投出機艙，在經(jīng)過飛行航線（直線）且垂直點將物資投出機艙，在經(jīng)過飛行航線（直線）且垂直與地面的平面上建立平面直角坐標系，其中與地面的平面上建立平面直角坐標系，其中x軸為地平面與這軸為地平面與這個平

3、面的郊交線，個平面的郊交線，y軸經(jīng)過軸經(jīng)過A點。點。 記物資投出機艙時為時刻記物資投出機艙時為時刻0，在時刻，在時刻t時物資的位置為點時物資的位置為點M（x,y）,則則x表示物資的水平位置，表示物資的水平位置，y表示物資距地面的高度。由于水平位移表示物資距地面的高度。由于水平位移量量x與高度與高度y是由兩種不同的運動得到的，因此直接建立是由兩種不同的運動得到的，因此直接建立x,y所要滿足所要滿足的關(guān)系式并不容易。的關(guān)系式并不容易。 換個角度看這個問題。換個角度看這個問題。 由物理知識，物資投出機艙后，它的運動由下列兩種運動合成：由物理知識，物資投出機艙后，它的運動由下列兩種運動合成：（1）沿）

4、沿ox作初速為作初速為100m/x的勻速直線運動；的勻速直線運動；（2）沿）沿oy反方向作自由落體運動。反方向作自由落體運動。txy解：物資出艙后，設(shè)在時刻 ，水平位移為 ， 垂直高度為 ，所以2100 ,)1500.2xtygt2（g=9.8m/s一、方程組有一、方程組有3個變量，其中的個變量，其中的x,y表示點的坐標，表示點的坐標，變量變量t叫做參變量，而且叫做參變量，而且x,y分別是分別是t的函數(shù)。的函數(shù)。二、由物理知識可知，物體的位置由時間二、由物理知識可知，物體的位置由時間t唯一決唯一決定，從數(shù)學(xué)角度看，這就是點定，從數(shù)學(xué)角度看，這就是點M的坐標的坐標x,y由由t唯唯一確定，這樣當一

5、確定，這樣當t在允許值范圍內(nèi)連續(xù)變化時，在允許值范圍內(nèi)連續(xù)變化時，x,y的值也隨之連續(xù)地變化，于是就可以連續(xù)地描的值也隨之連續(xù)地變化，于是就可以連續(xù)地描繪出點的軌跡。繪出點的軌跡。三、平拋物體運動軌跡上的點與滿足方程組的有三、平拋物體運動軌跡上的點與滿足方程組的有序?qū)崝?shù)對（序?qū)崝?shù)對（x,y）之間有一一對應(yīng)關(guān)系。）之間有一一對應(yīng)關(guān)系。一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標任意一點的坐標x,y都是某個變數(shù)都是某個變數(shù)t的函數(shù)的函數(shù)并且對于并且對于t的每一個允許值，由方程組（的每一個允許值，由方程組（2）所確定的點所確定的點M(x,y)都在這條曲線

6、上，那么方都在這條曲線上，那么方程程(2)就叫做這條曲線的就叫做這條曲線的參數(shù)方程參數(shù)方程，聯(lián)系變，聯(lián)系變數(shù)數(shù)x,y的變數(shù)的變數(shù)t叫做叫做參變數(shù)參變數(shù)，簡稱，簡稱參數(shù)參數(shù)，相對，相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關(guān)系于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關(guān)系的方程叫做的方程叫做普通方程普通方程。)2.(.)()(tgytfx的值。上，求在曲線、已知點的位置關(guān)系與曲線、判斷點為參數(shù)的參數(shù)方程、已知曲線例aCaMCMMttytxC), 6()2()4 , 5(),1 , 0() 1 ()(12313212上。不在曲線點這個方程組無解，所以代入方程組，得到把點上。在曲線所以代入方程組，解得的坐標把點

7、解：CMttMCMtM2221112435)4 , 5(0) 1 , 0() 1 (99, 21236), 6()2(23aattatCaM所以，解得上，所以在曲線、因為點 請用自己的語言來比較一下請用自己的語言來比較一下參數(shù)方程與普通方程的異同點參數(shù)方程與普通方程的異同點2、圓的參數(shù)方程、圓的參數(shù)方程xo0MyM(x,y)0M圓周運動是生產(chǎn)生活中常見圓周運動是生產(chǎn)生活中常見的。當物體繞定軸做勻速轉(zhuǎn)的。當物體繞定軸做勻速轉(zhuǎn)動時，物體中各個點都做勻動時，物體中各個點都做勻速圓周運動，那么怎樣刻畫速圓周運動，那么怎樣刻畫運動中點的位置呢？運動中點的位置呢？ 設(shè)圓設(shè)圓O的半徑為的半徑為r，點，點M從

8、從初始位置初始位置 出發(fā)，按逆時出發(fā)，按逆時針方向在圓針方向在圓O上做勻速圓周上做勻速圓周運動，點運動，點M繞點繞點O轉(zhuǎn)動的角轉(zhuǎn)動的角速度為速度為。以圓心。以圓心O為原點，為原點， 所在直線為所在直線為x軸，建立直角軸，建立直角坐標系。顯然，點坐標系。顯然，點M的位置的位置由時刻由時刻t 惟一確定，因此可惟一確定，因此可取取t為參數(shù)。為參數(shù)。r0OM)()(sincossin,cos),(速圓周運動的時刻質(zhì)點作勻有明確的物理意義程。其中參數(shù)的圓的參數(shù)方，半徑為這就是圓心在原點為參數(shù)即角函數(shù)的定義有：，那么由三，設(shè)，那么，坐標是轉(zhuǎn)過的角度是，點如果在時刻trOttrytrxrytrxtrOMty

9、xMMt轉(zhuǎn)過的角度。的位置時，到逆時針旋轉(zhuǎn)繞點的幾何意義是其中參數(shù)的圓的參數(shù)方程，半徑為這也是圓心在原點為參數(shù)為參數(shù)，于是有，也可以取考慮到00)(sincosOMOMOOMrOryrxt圓的參數(shù)方程的一般形式圓的參數(shù)方程的一般形式么樣的呢？的圓的參數(shù)方程又是怎半徑為那么，圓心在點普通方程是的參數(shù)方程，它對應(yīng)的以上是圓心在原點的圓ryxoryx),(,002222220000cos()s()()inxxyxxryyyrr對應(yīng)的普通方程為為參數(shù) 由于選取的參數(shù)不同，圓有不同由于選取的參數(shù)不同，圓有不同的參數(shù)方程，一般地，同一條曲線，的參數(shù)方程，一般地，同一條曲線，可以選取不同的變數(shù)為參數(shù)，因此得

10、可以選取不同的變數(shù)為參數(shù)，因此得到的參數(shù)方程也可以有不同的形式，到的參數(shù)方程也可以有不同的形式，形式不同的參數(shù)方程，它們表示形式不同的參數(shù)方程，它們表示 的曲的曲線可以是相同的，另外，在建立曲線線可以是相同的，另外，在建立曲線的參數(shù)參數(shù)時，要注明參數(shù)及參數(shù)的的參數(shù)參數(shù)時，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。取值范圍。練習(xí)練習(xí) 1 1 已知圓方程已知圓方程x x2 2+y+y2 2 +2x-6y+9=0 +2x-6y+9=0，將它化，將它化為參數(shù)方程。為參數(shù)方程。解：解： x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化為標準方程，化為標準方程， （x+1x+1）2 2+ +（y-3

11、y-3）2 2=1=1，參數(shù)方程為參數(shù)方程為sin3cos1yx(為參數(shù)為參數(shù))例例2 如圖，圓如圖，圓O的半徑為的半徑為2，P是圓上的動點，是圓上的動點，Q(6,0)是是x軸上的定點，軸上的定點，M是是PQ的中點，當點的中點，當點P繞繞O作勻速作勻速圓周運動時，求點圓周運動時，求點M的軌跡的參數(shù)方程。的軌跡的參數(shù)方程。yoxPMQ(6,0)oxPMQ(6,0)(sin3cossin2sin2, 3cos26cos2),sin2 ,cos2(,),(為參數(shù)的軌跡的參數(shù)方程是所以，點由中點坐標公式得：的坐標是則點，的坐標是解：設(shè)點yxMyxPxOPyxM分析分析：?。喝?為為 參數(shù)，則圓參數(shù)，則

12、圓O的參數(shù)方程是的參數(shù)方程是 （為參數(shù)），當為參數(shù)），當變化是，動點變化是，動點P在定圓在定圓O上運動，線段上運動，線段PQ也隨之變動，從而使點也隨之變動，從而使點M遠動，因此點遠動，因此點M的運動可以看成是的運動可以看成是由角由角 決定的。于是，選決定的。于是，選 為參數(shù)是適合的為參數(shù)是適合的。xOPsin2cos2yx思考思考：這里定點：這里定點Q在圓在圓O上外，你能判斷這個軌跡表示上外，你能判斷這個軌跡表示什么曲線呢？如果定點什么曲線呢？如果定點Q在圓在圓O上，軌跡是什么？如果定點上，軌跡是什么？如果定點Q在圓在圓O內(nèi)，軌跡又是什么？內(nèi)，軌跡又是什么？徑，并化為普通方程。表示圓的圓心坐標

13、、半所為參數(shù)、指出參數(shù)方程)(sin235cos22yx4)3()5(22yx練習(xí)練習(xí)_4)0(sin2cos3，則圓心坐標是是的直徑為參數(shù)，、圓rrryrrx（2，1）3、參數(shù)方程和普通方程、參數(shù)方程和普通方程 的互化的互化cos3,()sinxMy由參數(shù)方程為參數(shù) 直接判斷點的軌跡的曲線類型并不容易，但如果將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為熟悉的普通方程，則比較簡單。2222cos3,sincos(3)1sinxxyyM 由參數(shù)方程得：所以點 的軌跡是圓心在（3，0），半徑為1的圓。將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，有利將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，有利于識別曲線的類型。于識別曲線的類型。 曲線的參數(shù)方程和普通

14、方程是曲線曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式。一般地，可以通過消方程的不同形式。一般地，可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程。如去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程。如果知道變數(shù)果知道變數(shù)x,y中的一個與參數(shù)中的一個與參數(shù)t的關(guān)系，的關(guān)系，例如例如 ，把它代入普通方程，求，把它代入普通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系那么那么 就是曲線的參數(shù)方程。就是曲線的參數(shù)方程。 tfx tgy tgytfx參數(shù)方程和普通方程的互化：參數(shù)方程和普通方程的互化：（1 1）普通方程化為參數(shù)方程需要引入?yún)?shù)）普通方程化為參數(shù)方程需要引入?yún)?shù)如：如：直線直線L 的普通方程是的普通方程

15、是2x-y+2=0，可以化為參數(shù)方程.22,tytx（t為參數(shù)）為參數(shù)）在普通方程在普通方程xy=1中，令中，令x = tan ,可以化為參數(shù)方程可以化為參數(shù)方程 .cot,tanyx （為參數(shù)）（2 2）參數(shù)方程通過）參數(shù)方程通過代入消元代入消元或或加減消元加減消元消去參數(shù)消去參數(shù)化為普通方程化為普通方程如：如：參數(shù)方程參數(shù)方程.sin,cosrbyrax消去參數(shù) 可得圓的普通方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2.42,tytx參數(shù)方程（t為參數(shù)）可得普通方程：y=2x-4y=2x-4通過代入消元法消去參數(shù)t ,（x0）注意：注意： 在參數(shù)方程與普通方程

16、的互化中，必須使在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x x，y y的取值范圍保的取值范圍保持一致。持一致。 否則，互化就是不等價的否則，互化就是不等價的. . 例例3 3、把下列參數(shù)方程化為普通方程，把下列參數(shù)方程化為普通方程， 并說明它們各表示什么曲線？并說明它們各表示什么曲線？1()12tytx=t(1)為參數(shù)sincos().1 sin2y x=(2)為參數(shù)（2）把 平方后減去得到因為所以因此，與參數(shù)方程等價的普通方程是這是拋物線的一部分。(1)1 1231)11xtyx 解解： 因因為為所所以以普普通通方方程程是是（x x這這是是以以（， ）為為端端點點的的一一條條射射線線（包包括括端

17、端點點）1 xt?所以代入ty21?cossinxsin21yyx 24sin2cossinx2,2x2,2xyx 2練習(xí)、練習(xí)、1.將下列參數(shù)方程化為普通方程：將下列參數(shù)方程化為普通方程：sin3cos32yx(1)2cossinyx(2)(3)x=t+1/tx=t+1/ty=ty=t2 2+1/t+1/t2 2（1）（）（x-2）2+y2=9（2）y=1- 2x2（- 1x1）（3）x2- y=2（X2或或x- 2）步驟：步驟：（1）消參；）消參； （2）求定義域。）求定義域。2.求參數(shù)方程求參數(shù)方程)20()sin1 (21|,2sin2cos|yx表示表示 （ ）（A）雙曲線的一支，這

18、支過點（）雙曲線的一支，這支過點（1，21）：）：（B）拋物線的一部分，這部分過（）拋物線的一部分，這部分過（211， ）；）；（C）雙曲線的一支，這支過點（）雙曲線的一支，這支過點（1，21）；）；（D）拋物線的一部分，這部分過（）拋物線的一部分，這部分過（1，21）分析 一般思路是：化參數(shù)方程為普通方程求出范圍、判斷。解解x2=2)2sin2(cos=1+sin=2y， 普通方程是x2=2y，為拋物線。 )42sin(2|2sin2cos|x，又02，0 x2，故應(yīng)選（B）說明說明這里切不可輕易去絕對值討論，平方法是最好的方法。例例4 4 (1)設(shè)x=3cos ， 為參數(shù)；2.tt(2)設(shè)y=，