平面向量基本定理平面向量的正交分解及坐標表示

1、§2.3.1 平面向量基本定理§2.3.2 平面向量的正交分解及坐標表示學習目標：理解向量數(shù)乘的意義，掌握向量的數(shù)乘與這個向量的模和方向之間的關系掌握實數(shù)與向量數(shù)量積的運算律，并會用它們進行計算理解兩個向量共線的條件，會根據(jù)條件判定兩個向量共線教學重點：平面向量基本定理、平面向量的坐標表示教學難點：平面向量基本定理教學方法：講授、討論式教具準備：用幾何畫板演示平面向量基本定理、向量的正交分解教學過程：（）新課引入：師：上節(jié)課，我們一起學習了向量的數(shù)乘運算，掌握了平面向量數(shù)乘的定義及運算律以及兩向量共線的條件根據(jù)上述知識，給定平面內任意兩個向量e1，e2，我們可以作出形如3e

2、1+2e2、e1-2e2的向量那么，平面內的任一向量是否都可以用形如e1+e2的向量表示呢？為了解決上面的問題，我們今天學習平面向量基本定理及其應用（）講授新課：平面向量基本定理師：如圖，設e1、e2是同一平面內兩個不共線的向量，a是這一平面內的任一向量在平面內任取一點O，作e1，e2，a過點C作直線OB的平行線，交直線OA于點M；過點C作直線OA的平行線，交直線OB于點N由向量線性運算的性質可知，存在實數(shù)、，使得e1，e2由于，所以ae1+e2也就是說，任一向量a都可以表示成e1+e2的形式另一方面，對于同一平面內兩個不共線的向量e1、e2，如果有ae1+e2且ae1+e2，那么e1+e2e

3、1+e2， (-)e1+(-)e2由向量e1、e2不共線，得-0，=且=由上述過程可以發(fā)現(xiàn)，平面內任一向量都可以由這個平面內兩個不共線的向量e1、e2表示出來；當e1、e2確定后，這種表示形式是唯一的（用幾何畫板演示）我們得到了如下的平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內兩個不共線的向量，那么對這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1、2，使a1e12e2.說明：不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；同一平面可以有不同的基底，關鍵是不共線的向量才可以作為基底；由此定理可將任一向量a對給定的基底e1、e2進行分解，并且這種分解的形式唯一確定向量的夾角師：不共線的向量

4、有不同的方向，怎樣來區(qū)別它們的位置呢？生：我們可以用向量間的夾角來表示它們之間的位置關系師：這就需要我們來規(guī)定出兩個向量夾角的意義：已知兩個非零向量a、b，作a，b，則叫做向量a與b的夾角說明：在兩向量的夾角定義中，兩向量必須是同起點的.當時，a與b同向；當時，a與b反向如果向量a與b的夾角是，我們稱a與b垂直，記ab例1見課本平面向量的正交分解師：如圖，在光滑斜面上的一個木塊受到了那些力的作用？這些力之間有什么關系？生：該木塊受到重力G的作用，產(chǎn)生兩個效果，一是木塊受平行于斜面的力F1的作用沿斜面下滑；一是木塊產(chǎn)生垂直于斜面的壓力F2也就是說，重力G的的效果等價于力F1和F2的合力的效果，即

5、G=F1+F2師：物理學中，G=F1+F2叫做把重力G分解由平面向量基本定理，對平面上的任意向量a均可以分解為不共線的兩個向量e1、e2，使ae1+e2在不共線的兩個向量中，垂直是一種重要情形把一個向量分解為兩個垂直的向量，叫做把向量正交分解如上，重力G沿互相垂直的兩個方向分解就是正交分解正交分解是向量分解中常見的一種情形平面向量的坐標表示師：我們知道，在平面直角坐標系中，每一個點都可以用一對有序實數(shù)（即點的坐標）表示那么，直角坐標平面內的向量如何表示呢？如圖，在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底對于平面內的一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對

6、實數(shù)x、y，使得axiyj這樣，平面內的任一向量a都可以x、y唯一確定，我們把有序數(shù)對叫作向量a的坐標，記作a，其中x叫作a在x軸上的坐標，y叫作a在y軸上的坐標，式子a叫作向量的坐標表示. 根據(jù)向量坐標表示的意義，兩個單位向量i、j以及零向量的坐標表示是怎樣的？生：i，j，0師：如圖，在直角坐標平面中，以原點O為起點作a，則點A的位置由向量a唯一確定設xiyj，則向量的坐標就是終點A的坐標；反過來，終點A的坐標就是向量的坐標因此，在平面直角坐標系內，每一個平面向量都可以用一有序實數(shù)對表示有人說：直角坐標平面內向量a的坐標就是它的終點坐標這句話正確嗎？生：這種說法不正確只有當向量a的始點是坐標

7、原點時，向量的坐標才是它的終點坐標師：這就是說，直角坐標平面內點的集合只是與這平面內從原點出發(fā)的向量的集合之間有一一對應關系例2見課本說明：本題也可以利用各向量間關于坐標軸的對稱關系求解.（）課后練習：課本習題2.3B組 （）課時小結:同一平面內任意向量都可以表示成為兩個不共線向量的線性組合，這樣，如果將平面內向量的起點放在一起，那么，平面內的任意一個點都可以通過兩個不共線的向量得到表示，也就是平面內的點可以由平面內的一個點及兩個不共線的向量表示通過建立直角坐標系，可以將平面內任一向量用一個有序實數(shù)對表示；反過來任一有序實數(shù)對就表示一個向量這就是說，一個平面向量就是一個有序實數(shù)對，從而給出了向量的另一種表示形式坐標表示式向量的線性運算都可以用坐標來進行，使得向量完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密地結合起來向量的坐標與表示該向量的有向線段的起點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關，即一個向量平移到另一位置后，只要大小與方向不改變，則向量的坐標不變（）課后作業(yè)：課本習題2.3B組 預習課本，思考下列問題：已知向量的坐標怎樣進行向量的加法、減法與數(shù)乘運算？怎樣求一個用有向線段表示的向量的坐標？向量的坐標與點的坐