拉格朗日插值法理論及誤差分析

1、淺析拉格朗日插值法目錄：一、 引言二、 插值及多項式插值的介紹三、 拉格朗日插值的理論及實驗四、 拉格朗日插值多項式的截斷誤差及實用估計式五、 參考文獻一、引言插值在數(shù)學(xué)發(fā)展史上是個古老問題。插值是和拉格朗日（Lagrange）、牛頓（Newton）、高斯（Gauss）等著名數(shù)學(xué)家的名字連在一起的。在科學(xué)研究和日常生活中，常常會遇到計算函數(shù)值等一類問題。插值法有很豐富的歷史淵源，它最初來源人們對天體研究有若干觀測點（我們稱為節(jié)點）計算任意時刻星球的位置（插值點和插值）。現(xiàn)在，人們在諸如機械加工等工程技術(shù)和數(shù)據(jù)處理等科研都有很好的應(yīng)用，最常見的應(yīng)用就是氣象預(yù)報。插值理論和方法能解決在實際中當(dāng)許多

2、函數(shù)表達式未知或形式復(fù)雜，如何去構(gòu)造近似表達式及求得在其他節(jié)點處的值的問題。二、插值及多項式插值1、 插值問題的描述設(shè)已知某函數(shù)關(guān)系在某些離散點上的函數(shù)值：插值問題：根據(jù)這些已知數(shù)據(jù)來構(gòu)造函數(shù)的一種簡單的近似表達式，以便于計算點的函數(shù)值，或計算函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)值。2、插值的幾何意義插值的幾何意義如圖1所示： 圖13、多項式插值3.1 基本概念假設(shè)是定義在區(qū)間上的未知或復(fù)雜函數(shù)，但一直該函數(shù)在點處的函數(shù)值。找一個簡單的函數(shù)，例如函數(shù)，使之滿足條件 （3.1）通常把上述 稱為插值節(jié)點，把稱為的插值多項式，條件（3.1）稱為插值條件，并把求的過程稱為插值法。 3.2 插值多項式的存在性和唯一性

3、如果插值函數(shù)是如下m次的多項式：那么插值函數(shù)的構(gòu)造就是要確定表達式中的m+1個系數(shù)。由于插值條件包含n+1獨立式，只要m=n就可證明插值函數(shù)多項式是唯一存在。 實際上，由n+1個插值條件可得 這是一個關(guān)于的n+1階線性方程組，且其系數(shù)矩陣對應(yīng)的行列式是線性代數(shù)中著名的范德蒙（Vandemonde）行列式。該行列式得值為 因為時，所以。從而證明了上述線性方程組的階是唯一存在的。既滿足插值條件的多項式唯一存在。三、 拉格朗日插值的理論及實驗1、拉格朗日插值的理論拉格朗日（Lagrange）插值公式的基本思想是把的構(gòu)造問題轉(zhuǎn)化為n+1個插值基函數(shù)。首先我們利用節(jié)點直接構(gòu)造如下多項式：其中 ， 容易驗

4、證該多項式具有性質(zhì) 因此，n次多項式 一定具有性質(zhì) 既滿足插值條件。我們稱為拉格朗日插值多項式，稱為拉格朗日插值及函數(shù)。一次拉格朗日插值多項式又叫做線性插值多項式。二次拉格朗日插值多項式又叫做拋物線插值多項式。2、拉格朗日插值實驗經(jīng)過學(xué)習(xí)掌握拉格朗日插值的理論，學(xué)以致用，使學(xué)到的知識運用到現(xiàn)實生活中，并運用計算機來解決我們在學(xué)習(xí)中遇到的一些問題。以下為運用MATLAB軟件平臺上計行拉格朗日插值問題：x0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30y0.00 0.45 0.75 1.52 2.12 3.40 3 .72 4.17 5.12 5.45 5.67

5、 6.74 7.31 7.85 8 .45 8.97例：已知在0,30內(nèi)對應(yīng)的節(jié)點x以及函數(shù)值y如表所示，利用拉格朗日插值多項式求在區(qū)間x=2.035,x=9.771,x=17.815,x=26.907所對應(yīng)的函數(shù)值。在已知數(shù)表函數(shù)的條件下，拉格朗日插值多項式可用來計算復(fù)雜函數(shù)或未知函數(shù)的函數(shù)值，為此我們首先編寫如下利用拉格朗日插值多項式方法計算函數(shù)值的程序：function y=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j=k p=p*(z-

6、x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end上述三重循環(huán)給出了拉格朗日插值計算多項式計算任何點x處的函數(shù)值的過程，我們把它標(biāo)記為lagrange.m文件，接下來我們在MATLAB平臺上進行上述例子中的數(shù)值試驗。在Command Window中輸入的命令及結(jié)果如下所示：>> x=0:2:30;>> y=0.0 0.45 0.75 1.52 2.12 3.40 3.72 4.17 5.12 5.45 5.67 6.74 7.31 7.85 8.45 8.97;>> lagrange(x,y,2.035

7、)ans = 0.3290>> lagrange(x,y,9.771)ans = 3.2975>> lagrange(x,y,17.815)ans = 5.4483>> lagrange(x,y,26.907)ans =8.6519最后，我們根據(jù)拉格朗日插值結(jié)果，利用plot命令畫出未知函數(shù)的圖像，命令程序如下：>> x0=0:2:30;>> y0=lagrange(x,y,x0);>> plot(x0,y0)得到的未知函數(shù)圖像為：四、 拉格朗日插值多項式的截斷誤差及實用估計式1、截斷誤差在a,b區(qū)間上用近似未知或復(fù)雜函數(shù)

8、，其截斷誤差是指 （4.1）通常稱為拉格朗日插值余額。注意到利用公式（4.1）估計截斷誤差實際上非常困難。一是因為它要計算函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，當(dāng)很復(fù)雜時，計算量很大，而當(dāng)沒有可用來計算的表達式時，導(dǎo)數(shù)無法準(zhǔn)確計算；二是因為即使能得到高階導(dǎo)數(shù)的解析式，但由于的具體位置不知道，所以要估計高階導(dǎo)數(shù)在插值區(qū)間上的界一般是非常困難的事情。因此，公式（4.1）并不實用。2、截斷誤差的實用估計式既然公式（4.1）估計誤差時不實用，那么實際中如何估計截斷誤差呢？假設(shè)插值條件中包含n+2組數(shù)據(jù) 那么利用n+1組數(shù)據(jù)我們可以構(gòu)造一個n次拉格朗日插值多項式，利用后n+1組數(shù)據(jù)我們可以構(gòu)造另一個n次拉格朗日插值多項式。利用公式（4.1）知，他們各自的插值余項為兩式相減得 并可寫成 （4.2）注意到上式中利用該條件在很多情況下是成立的。 利用式（4.2）可得 （4.2）式（4.3）給出了用或作近似計算時的實用誤差估計式，它不需要計算高階導(dǎo)數(shù)，也不用估計插值區(qū)間上高階導(dǎo)數(shù)的界。 總之，拉格朗日插值法的公式結(jié)構(gòu)緊湊，在理論分析中十分方便，然而在計算中，但插值點增加或減少時，所對應(yīng)的基本多項式就得重新計算而且圖像發(fā)生很大變化。像逐次線性插值法、牛頓插值法等都是在拉格朗日插值多項式的基礎(chǔ)上延伸出來的。我們根據(jù)實際中的具體問題，為減少插值誤差來選取相應(yīng)的插值法來快速的解決問題。五