《信號與系統(tǒng)》課程講義5-2

1、5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性一、理想低通濾波器一、理想低通濾波器 理想低通濾波器：將低通濾波網(wǎng)絡的某些特性理想化理想低通濾波器：將低通濾波網(wǎng)絡的某些特性理想化 而定義的濾波網(wǎng)絡而定義的濾波網(wǎng)絡 理想模型理想模型1理想低通濾波器的頻率特性理想低通濾波器的頻率特性信號：沖激函數(shù)、階躍函數(shù)信號：沖激函數(shù)、階躍函數(shù)(信號特性信號特性)系統(tǒng)：理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器系統(tǒng)：理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器(系統(tǒng)特性系統(tǒng)特性)特性：矩形幅度、線性相移特性：矩形幅度、線性相移0() ()()0 j tcjceH jH je 5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理

2、可實現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性0( )t 1()0cccH j()H jcc01( ) 0t0cc與無失真?zhèn)鬏敆l件相比：通帶內滿足無失真?zhèn)鬏敆l件與無失真?zhèn)鬏敆l件相比：通帶內滿足無失真?zhèn)鬏敆l件cc功能：使頻率低于功能：使頻率低于 的分量無失真的通過；的分量無失真的通過； 高于高于 的分量完全衰減為的分量完全衰減為0， 為截止頻率為截止頻率c5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性0111( )()()22ccj tj tj th tH jH jedeedF0()0000sin()1( )Sa()2()()jt tccccccctteh tttj tt

3、tt2.理想低通濾波器的沖激響應理想低通濾波器的沖激響應 時刻加入時刻加入0t ( ) t()H j( )h t( )h t0t 由于由于 在在 時有值，未卜先知，所以物理上不可能實現(xiàn)時有值，未卜先知，所以物理上不可能實現(xiàn) 實際濾波器分析與設計往往需要理想濾波器理論作指導實際濾波器分析與設計往往需要理想濾波器理論作指導5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性3.理想低通濾波器的階躍響應理想低通濾波器的階躍響應( )u t()Hj( )?g t 0 1(), ()( )0 j tccceH jE jj 01()() ()( )j tG jH jE jej 011

4、1( ) ()( )2ccj tj tg tG jeedj F00cos()sin()111222ccccttttddj0()000sin()1111sin22cct tttxddxx 奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)( )g t5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性0sinSi( )yxydxx011( )Si()2cg ttt令令 (正弦積分正弦積分)，則，則y的奇函數(shù)的奇函數(shù)0sa( )2t dt5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性 定義上升時間：輸出由最小值到最大值所需要的時間定義上升時間：輸出由最小值到最大值所需要的時

5、間00max()1111.8514( )Si()1.089522cct tg ttt 212, rfccftBB為折合成頻率的濾波器帶寬為折合成頻率的濾波器帶寬(截止頻率截止頻率)結論：階躍響應的上升時間與系統(tǒng)的截止結論：階躍響應的上升時間與系統(tǒng)的截止頻率頻率(帶寬帶寬)成成反比反比c 越高，上升越快，逼近階躍的上升沿：較多的高頻越高，上升越快，逼近階躍的上升沿：較多的高頻分量通過濾波器，高頻分量主要影響信號的邊沿分量通過濾波器，高頻分量主要影響信號的邊沿 變化時，由于具有不連續(xù)點變化時，由于具有不連續(xù)點(跳變點跳變點)，響應頂部的震，響應頂部的震蕩不會消失，第一個峰起為常數(shù)蕩不會消失，第一個

6、峰起為常數(shù)c5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性4.理想低通濾波器對矩形脈沖的響應理想低通濾波器對矩形脈沖的響應100( )( )()1Si() Si()ccr tg tg ttttt2c條件：條件： ，上升時間遠小于矩形脈寬，保證得到大，上升時間遠小于矩形脈寬，保證得到大體上為矩形的響應脈沖；否則響應波形上升沿與下降沿體上為矩形的響應脈沖；否則響應波形上升沿與下降沿連在一起，完全丟失激勵信號的脈沖形象連在一起，完全丟失激勵信號的脈沖形象1( )( )()e tu tu t5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性maxma

7、xmaxmax( )( )11.8514( )1.08959%2( )r te tr te t5.吉布斯振蕩吉布斯振蕩 吉布斯現(xiàn)象：吉布斯現(xiàn)象：理想低通對矩形脈沖的響應出現(xiàn)該現(xiàn)象理想低通對矩形脈沖的響應出現(xiàn)該現(xiàn)象具有不連續(xù)點具有不連續(xù)點(跳變點跳變點)的波形，取級數(shù)項越多，近似波的波形，取級數(shù)項越多，近似波形的方均誤差可減小，但在跳變點的峰起（上沖）不能形的方均誤差可減小，但在跳變點的峰起（上沖）不能減小，該峰起隨級數(shù)項增多向跳變點靠近，而峰起值趨減小，該峰起隨級數(shù)項增多向跳變點靠近，而峰起值趨于跳變值的于跳變值的 9%5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性

8、窗函數(shù)窗函數(shù)(理想濾波器階躍響應有關結論理想濾波器階躍響應有關結論)利用利用矩形矩形頻率特性為信號頻譜開窗，只能看到頻率特性為信號頻譜開窗，只能看到信號頻譜的一部分，在時域的不連續(xù)點要上沖信號頻譜的一部分，在時域的不連續(xù)點要上沖選用其它窗函數(shù)，例如選用其它窗函數(shù)，例如升余弦升余弦窗函數(shù)，有可能窗函數(shù)，有可能消除上沖消除上沖5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性sin()( )ctdh tdtt()H j例例2已知已知 ，求，求解：解：21()20H j()Sa()2E j( )r t，

9、例例1已知已知 ，求，求解：解：5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性1理想低通濾波器物理不可實現(xiàn)，但可設計出理想低通濾波器物理不可實現(xiàn)，但可設計出 接近接近理想低通的電路理想低通的電路二、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性、佩利二、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性、佩利維納準則維納準則LRC()H j例例3. 已知已知 ，求，求L+1( )v tCR2( )v t221()11()()11RVjj RCH jRLVjj LLCjj RCR()21()()1()jccH jH jej 22 221(), ( )1 ()1 () ()ccccH jarctg 解：解：1cLC令令 ，并注意

10、到，并注意到 ，則，則LRCL+1( )v tCR2( )v tHj0cc1( ) 0cc/2/222322()33()()22ccccH jj223( )sin()23( )ctcch tet u t( )h tt0與理想低通濾波器區(qū)別：與理想低通濾波器區(qū)別：沖激響應從沖激響應從 t = 0 開始；衰減特性不太迅速；開始；衰減特性不太迅速；()0H j5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性2 系統(tǒng)物理可實現(xiàn)之系統(tǒng)物理可實現(xiàn)之時域特性：時域特性： ( (充要條件充要條件) )( )( ) ( )h th t u t 的出現(xiàn)是有起因的，不能在沖激作用之前就產(chǎn)生

11、的出現(xiàn)是有起因的，不能在沖激作用之前就產(chǎn)生( )h t3系統(tǒng)物理可實現(xiàn)之系統(tǒng)物理可實現(xiàn)之頻域特性頻域特性( (幅度幅度) )：佩利：佩利維納準則維納準則 （必要條件）（必要條件） 22()ln()1H jdH jd 如果滿足如果滿足必要條件必要條件 在某段頻帶內在某段頻帶內 ，則系統(tǒng)一定非因果，則系統(tǒng)一定非因果，即只允許即只允許 在不連續(xù)的有限點上為零在不連續(xù)的有限點上為零()0H j()H j 有理多項式函數(shù)總能滿足上述條件有理多項式函數(shù)總能滿足上述條件 高斯函數(shù)幅度特性無法實現(xiàn)，即高斯函數(shù)幅度特性無法實現(xiàn)，即 的衰減特性不能的衰減特性不能 太迅速太迅速()H j22()ln()1H jdH

12、 jd 如果滿足如果滿足必要條件必要條件解釋：解釋： 因果，因果， 滿足關系，滿足關系， 在在 t 0 出現(xiàn)。出現(xiàn)。 將將 向左平移，進入向左平移，進入 t 0 時間范圍，則為非因果系統(tǒng)。時間范圍，則為非因果系統(tǒng)。 幅度特性相同，相位特性不同，幅度特性相同，相位特性不同，必要條件，非充分條件必要條件，非充分條件()H j()H j( )h t( )h t()H j 應用：如果應用：如果 滿足準則，尋找合適的相位函數(shù)滿足準則，尋找合適的相位函數(shù) ，共同構成物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，共同構成物理可實現(xiàn)系統(tǒng)( ) 幅度特性幅度特性+相位特性相位特性 因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性理想

13、低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性2()H je例例4證明證明 物理不可實現(xiàn)物理不可實現(xiàn)t ( )h t證明：證明：(1) 鐘形信號的傅氏變換為鐘形信號，而且鐘形信號從鐘形信號的傅氏變換為鐘形信號，而且鐘形信號從開始，故開始，故不是因果信號，系統(tǒng)非因果不是因果信號，系統(tǒng)非因果2()H jd (2) 能夠滿足能夠滿足 222222lnln()1111(1)1eH jddddlim 2()2(lim)2BBBarctgBB lim()BBarctgB5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性( )

14、( ) ( )1 ( ) ( ) ( )()()()2h th t u th th tu tH jR jjX jFFF11()() ()() ( )2R jjX jR jjX jj 三、利用希爾伯特變換研究系統(tǒng)函數(shù)的約束特性三、利用希爾伯特變換研究系統(tǒng)函數(shù)的約束特性()H j()R j()X j2因果系統(tǒng)因果系統(tǒng) 的實部的實部 和虛部和虛部 的關系的關系 111 ()( )()()( )()22jR jX jX jR j ()1( )()1( )2222R jXX jRdjd( )( ) ( )h th t u t1系統(tǒng)可實現(xiàn)性的實質是因果性：系統(tǒng)可實現(xiàn)性的實質是因果性：5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性()1( )1( )()()22()1( )1( )()()22R jXXR jdR jdX jRRX jdX jd希爾伯特變換對希爾伯特變換對由于因果性的限制，系統(tǒng)函數(shù)的實部和虛部間具有某由于因果性的限制，系統(tǒng)函數(shù)的實部和虛部間具有某種相互制約的關系，以種相互制約的關系，以希爾伯特變換形式表示出來希爾伯特變換形式表示出來ln()H j( ) 3 與與 也滿足一定的變換關系也滿足一定的變換關系5.2理想低通濾