課時(shí)分層作業(yè)25 二面角及其度量

1、.課時(shí)分層作業(yè)二十五二面角及其度量建議用時(shí)：45分鐘根底達(dá)標(biāo)練1平面內(nèi)有一個(gè)以AB為直徑的圓，PA，點(diǎn)C在圓周上異于點(diǎn)A，B，點(diǎn)D，E分別是點(diǎn)A在PC，PB上的射影，那么AADE是二面角A­PC­B的平面角BAED是二面角A­PB­C的平面角CDAE是二面角B­PA­C的平面角DACB是二面角A­PC­B的平面角B由二面角的定義及三垂線(xiàn)定理，知選B.2ABC和BCD均為邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，且ADa，那么二面角A­BC­D的大小為【導(dǎo)學(xué)號(hào)：33242311】A30° B45°

2、C60° D90°C如圖取BC的中點(diǎn)為E，連接AE、DE，由題意得AEBC，DEBC，且AEDEa，又ADa，AED60°，即二面角A­BC­D的大小為60°.3如圖3­2­38所示，在正四棱錐P­ABCD中，假設(shè)PAC的面積與正四棱錐的側(cè)面面積之和的比為8，那么側(cè)面與底面所成的二面角為圖3­2­38A.BC.DD設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)面與底面所成的二面角為，高為h，斜高為h，那么，sin ，即.4二面角­l­中，平面的一個(gè)法向量為n1，平面的一個(gè)法向量為n2

3、，那么二面角­l­的大小為【導(dǎo)學(xué)號(hào)：33242312】A120°B150°C30°或150°D60°或120°C設(shè)所求二面角的大小為，那么|cos |，所以30°或150°.5如圖3­2­39所示，P是二面角­AB­棱上的一點(diǎn)，分別在，平面內(nèi)引射線(xiàn)PM，PN，假如BPMBPN45°，MPN60°，那么二面角­AB­的大小為圖3­2­39A60° B70° C80° D

4、90°D不妨設(shè)PMa，PNb，作MEAB交AB于點(diǎn)E，NFAB交AB于點(diǎn)F圖略，因?yàn)镋PMFPN45°，故PE，PF，于是······abcos 60°a·cos 45°·bcos 45°·0.因?yàn)镋M，F(xiàn)N分別是，內(nèi)的兩條與棱AB垂直的線(xiàn)段，所以EM與FN之間的夾角就是所求二面角的大小，所以二面角­AB­的大小為90°.6假設(shè)二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的間隔 分別為5和8，兩垂足間的間隔 為7，那么這個(gè)二面角的大小是_60

5、6;或120°設(shè)二面角大小為，由題意可知cos ，所以60°或120°.7假設(shè)P是ABC所在平面外一點(diǎn)，且PBC和ABC都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，PA，那么二面角P­BC­A的大小為_(kāi)90°取BC的中點(diǎn)O，連接PO，AO圖略，那么POA就是二面角P­BC­A的平面角又POAO，PA，所以POA90°.8在空間四面體O­ABC中，OBOC，AOBAOC，那么cos，的值為_(kāi)【導(dǎo)學(xué)號(hào)：33242313】0····|·|cos|·|·

6、cos|0.cos·0.9如圖3­2­40所示，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1平面ABCD，平面ABCD是一個(gè)直角梯形，ABAD，AB，CD為梯形的兩腰，且ABADAA1a.圖3­2­401假設(shè)截面ACD1的面積為S，求點(diǎn)D到平面ACD1的間隔 ；2當(dāng)為何值時(shí)，平面AB1C平面AB1D1?解1由VV，過(guò)C作CEAD，垂足為E.AA1平面ABCD，平面ABCD平面AA1D1D，CE平面AA1D1D，CEa是C到平面ADD1的間隔 ，設(shè)點(diǎn)D到平面ACD1的間隔 為h，由Sh×a2×a，得h.2分別以A1B

7、1，A1D1，A1A所在直線(xiàn)為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖那么A10,0,0，A0,0，a，B1a,0,0，設(shè)Ca，b，a，且n1x，y，z是平面AB1C的法向量，a,0，a，a，b,0那么n1·0，n1·0，即axaz0，axby0，得zx，yx，取x1，那么y，z1，那么n1為平面AB1C的一個(gè)法向量同理可得平面AB1D1的一個(gè)法向量為n21,1,1假設(shè)平面AB1C平面AB1D1，那么n1·n20，2，即當(dāng)2時(shí)，平面AB1C平面AB1D1.10如圖3­2­41所示，四棱錐P­ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面

8、ABCD，ABBCAD，BADABC90°，E是PD的中點(diǎn)圖3­2­411證明：直線(xiàn)CE平面PAB；2點(diǎn)M在棱PC上，且直線(xiàn)BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M­AB­D的余弦值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：33242314】解1證明：取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF.因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以EFAD，EFAD.由BADABC90°得BCAD.又BCAD，所以EFBC，四邊形BCEF是平行四邊形，CEBF.又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PAB.2由，得BAAD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，|為單位長(zhǎng)，建立如下圖的

9、空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，那么A0,0,0，B1,0,0，C1,1,0，P0,1，1,0，1,0,0設(shè)Mx，y，z0<x<1，那么 x1，y，z，x，y1，z因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45°，而n0,0,1是底面ABCD的法向量，所以|cos，n|sin 45°，即，即x12y2z20. 又M在棱PC上，設(shè)，那么x，y1，z. 由解得舍去，或所以M，從而.設(shè)mx0，y0，z0是平面ABM的法向量，那么即所以可取m0，2于是cosm，n.因此二面角M­AB­D的余弦值為.才能提升練1如圖3­2­42所示，點(diǎn)P為菱形ABC

10、D外一點(diǎn)，且PA平面ABCD，PAADAC，點(diǎn)F為PC中點(diǎn)，那么二面角C­BF­D的正切值為圖3­2­42A.BC.DD如下圖，連接BD，ACBDO，連接OF.以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OC、OF所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)PAADAC1，那么BD.所以B，F(xiàn)，C，D.結(jié)合圖形可知，且為平面BOF的一個(gè)法向量，由，可求得平面BCF的一個(gè)法向量n1，所以cosn，sinn，所以tann，.2在正方體ABCD­A1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，那么平面A1ED與平面ABCD所成的二面角的余弦值為 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：33242315

11、】ABC.DB建系如圖，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，那么D0,0,0、A11,0,1、E.1,0,1，.設(shè)平面A1ED的一個(gè)法向量為nx，y，z那么.令x1，那么z1，y，n.又平面ABCD的一個(gè)法向量為0,0,1cosn，.又平面A1ED與平面ABCD所成的二面角為銳角，平面A1ED與平面ABCD所成二面角的余弦值為.3正四棱錐的體積為12，底面對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為2，那么側(cè)面與底面所成的二面角等于_底面對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為2，底面邊長(zhǎng)為2，從而利用體積得四棱錐的高為3，所求二面角的正切為.側(cè)面與底面所成的二面角為.4正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，高為3.那么側(cè)面與底面所成的二面角等于_60°如圖，四棱錐P

12、3;ABCD為正四棱錐，連接AC、BD相交于點(diǎn)O，連接PO，那么PO平面ABCD.作OECD，連接PE，那么PEO即為側(cè)面與底面所成二面角的平面角由題意知PO3，OE，tanPEO.PEO60°.5.如圖3­2­43所示，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD及其內(nèi)部以AB邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的，G是的中點(diǎn)圖3­2­431設(shè)P是上的一點(diǎn)，且APBE，求CBP的大小；2當(dāng)AB3，AD2時(shí)，求二面角E­AG­C的大小. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：33242316】解1因?yàn)锳PBE，ABBE，AB，AP平面ABP，ABAPA，所以BE平面ABP.又BP平面ABP，所以BEBP.又EBC120°，所以CBP30°.2法一：如圖，取的中點(diǎn)H，連接EH，GH，CH.因?yàn)镋BC120°，所以四邊形BEHC為菱形，所以AEGEACGC.取AG的中點(diǎn)M，連接EM，CM，EC，那么EMAG，CMAG，所以EMC為所求二面角的平面角又AM1，所以EMCM2.在BEC中，由于EBC120°，由余弦定理得EC222222×2×2×cos 120°12，所以EC2，所以EMC為等邊三角形，故所求的角為60°.法二：以B為坐標(biāo)原