第八章常用統計分布

1、 第八章 常用統計分布 第一節(jié) 超幾何分布適用：小群體的兩分變量。假定總體為K個成功類、（N-K）個為失敗類 1.超幾何分布為離散型隨機變量的概率分布，它的數學形式是 2.超幾何分布的數學期望值和方差如果用 ，則有 3.關于超幾何分布的近似設某校有l(wèi)000名大學生，其中有外國留學生10、名，現從該校學生中任抽2人，求抽到外國留學生的概率分布。 解 抽到外國留學生人數X服從N1000、K10、n2的超幾何分布，根據(81)式得 兩種方法計算結果比較一下，僅在小數點后第5位上才出現誤差。當然在01時，如此計算誤差會比較大。另外，二項分布的計算量仍不算小，有時還可以將二項分布近似為泊松分布，這一點我

2、們將在下一節(jié)討論。 第二節(jié) 泊松分布適用：稀有事件的研究。一個事件的平均發(fā)生次數是大量實驗的結果，在這些試驗中，此事件可能發(fā)生，但是發(fā)生的概率非常小。泊松分布亦為離散型隨機變量的概率分布，隨機變量X為樣本內成功事件的次數。若為成功次數的期望值，假定它為已知。而且在某一時空中成功的次數很少，超過5次的成功概率可忽不計，那么X的某一具體取值x（即稀有事件出現的次數）的概率分布為 泊松分布的性質：x的取值為零和一切正整數；圖形是非對稱的，但隨著的增加，圖形變得對稱；泊松分布的數學期望和方差均為。 第三節(jié) 卡方分布卡方分布是一種連續(xù)型隨機變量的概率分布，主要用于列聯表檢驗。 1.數學形式 設隨機變量X

3、1，X2，Xk，相互獨立，且都服從同一的正態(tài)分布N (，2)。那么，我們可以先把它們變?yōu)闃藴收龖B(tài)變量Z1，Z2，Zk，k個獨立標準正態(tài)變量的平方和被定義為卡方分布（ 分布）的隨機變量 （ 讀作卡方），且 我們把隨機變量 的概率分布稱為 分布，其概率密度記作 。其中k為卡方分布的自由度，它表示定義式中獨立變量的個數。 關于卡方分布的分布函數，附表7對不同的自由度k及不同的臨界概率(01)，給出了滿足下面概率式的 的值(參見圖)。注意 寫法的含義：它表示自由度為k的卡方分布，當其分布函數 時，其隨機變量 的臨界值(參見圖)。具體來說，在假設檢驗中，它表示在顯著性水平上卡方分布隨機變量 的臨界值。

4、2. 卡方分布的性質 (1) 恒為正值 。 (2)卡方分布的期望值 E(X2) 是自由度k，方差 D(X2) 為2k。 卡方分布取決于自由度k，每一個可能的自由度對應一個具體的卡方分布?？ǚ椒植贾慌c自由度有關，這就給卡方分布的實際應用帶來很大方便。分布由正態(tài)分布導出，但它之所以與正態(tài)分布的參數和無關，是因為標準正態(tài)變量Z與原來的參數無關。 (3)卡方分布具有可加性 (4)利用卡方分布可以推出樣本方差 S2 的分布 式中：2代表總體方差，自由度為nl。 第四節(jié) F 分布F 分布是連續(xù)性隨機變量的另一種重要的小樣本分布，可用來檢驗兩個總體的方差是否相等，多個總體的均值是否相等。還是方差分析和正交設

5、計的理論基礎。1.數學形式 設X2(K1) 和 X2(K2) 相互獨立，那么隨機變量 服從自由度為(k1，k2)的F分布。其中，分子上的自由度k1叫做第一自由度，分母上的自由度k2叫做第二自由度。3. 樣本方差的抽樣分布 例 由一正態(tài)總體抽出容量為25的一隨機樣本，已知26，求樣本方差S 2在3.3到8.7之間的概率。 解 已知n25，26，由 得 所以，樣本方差S 2落在33和87之間的概率約為90。 我們把隨機變量F的概率分布稱為F分布，其概率密度記作 。本書附表8，對不同自由度(k1，k2)及不同的臨界概率(01)，給出滿足下列概率式的F(k1，k2)的值(參見圖)。 注意 F&(K1,K2) 寫法的含義：它表示自由度為 (k1，k2)的F分布，當其分布函數 時，其隨機變量F的臨界值(參見圖)。具體來說，在假設檢驗中，它表示在顯著性水平上F 分布隨機變量 F 的臨界值。 如果 S12和 S22 是兩個獨立隨機樣本的方差，樣本來源于具有相同方差2的兩個正態(tài)總體，樣本容量分別為n1和n2，那么根據(822)式，隨機變量F 服從于自由度為(n1