第八章點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)

1、第八章點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)§8-1 點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng) 相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)將一種復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)看成由兩種簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)的組合圖8-1例：由南岸向北岸劃船，如圖8l。由于水流的影響，小船偏向下游。如相對(duì)坐標(biāo)系oxy（順?biāo)鳎?，小船朝北方向行駛則，相對(duì)于地面(坐標(biāo)系0xy)，則朝北偏東方向航行。即：小船相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)，可以由小船相對(duì)于水流的運(yùn)動(dòng)和隨同水流的運(yùn)動(dòng)組合而成?？梢詺w結(jié)為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)對(duì)于兩個(gè)不同的坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)的問題。動(dòng)點(diǎn)：所要研究的點(diǎn)（即研究對(duì)象），依問題選??； 動(dòng)系：和某一運(yùn)動(dòng)剛體固連的坐標(biāo)系；定系：一般和地球（或機(jī)架）固連的坐標(biāo)系（也稱靜系）； 牽連點(diǎn)： 某瞬時(shí)在動(dòng)坐標(biāo)系上與動(dòng)點(diǎn)相重合的點(diǎn)，稱為該瞬時(shí)動(dòng)

2、點(diǎn)的牽連點(diǎn)。注意：(1)牽連點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)是不同剛體上的兩個(gè)點(diǎn)；(2)牽連點(diǎn)在不斷變化著。（因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)，不同瞬時(shí)有不同的牽連點(diǎn)例1 汽車內(nèi)行走的人。汽車以速度V向前運(yùn)動(dòng)，人以速度U相對(duì)汽車向前運(yùn)動(dòng)，研究人的運(yùn)動(dòng)。從車廂觀察，人的速度為U，從地面觀察，人的速度為VU （圖8-2（a）。圖8-2（a）圖8-2（b）分析這一問題，需注意：一點(diǎn)（動(dòng)點(diǎn)），二系（動(dòng)、靜系），三運(yùn)動(dòng)(絕對(duì)、相對(duì)、牽連)（牽連點(diǎn)；座位）（圖8-2（b）具體表示三種運(yùn)動(dòng)的量: 絕對(duì)軌跡、絕對(duì)位移、絕對(duì)速度、絕對(duì)加速度相對(duì)軌跡、相對(duì)位移、相對(duì)速度、相對(duì)加速度牽連軌跡、牽連位移、牽連速度、牽連加速度三種運(yùn)動(dòng)的“關(guān)系”： 絕對(duì)運(yùn)動(dòng) 牽

3、連運(yùn)動(dòng) 相對(duì)運(yùn)動(dòng) 運(yùn)動(dòng)合成與分解§8-2點(diǎn)的速度合成定理圖8-3設(shè)動(dòng)點(diǎn)：M，靜坐標(biāo)系oxy（如圖83）某瞬時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M與曲線c上的l點(diǎn)重合，一段時(shí)間，曲線c隨同動(dòng)坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)到M相對(duì)運(yùn)動(dòng)：在動(dòng)坐標(biāo)系中沿曲線c運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)：曲線c隨動(dòng)坐標(biāo)系在靜系中運(yùn)動(dòng)，絕對(duì)位移：MM牽連位移：MM1，相對(duì)位移：M1M由矢量三角形MM1M可見： MM=MM1+M1M將上式各項(xiàng)同除以t，并取極限，得即： （1）速度合成定理。該式表明：動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度等于同一瞬時(shí)它的牽連速度與相對(duì)速度的矢量和。公式中包含有絕對(duì)速度va、牽連速度ve、和相對(duì)速度vr的大小和方向共六個(gè)未知量，如果知道其中任意四個(gè)未知量則另兩個(gè)量可

4、求。注意：速度合成定理適用于任何形式的牽連運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用時(shí)一定要先做速度平行四邊形，并注意三個(gè)速度之間的關(guān)系！va一定是平行四邊形對(duì)角線！復(fù)雜運(yùn)動(dòng)=簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)+簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)絕對(duì)運(yùn)動(dòng)=牽連運(yùn)動(dòng)+相對(duì)運(yùn)動(dòng)圖84例1 圖84所示機(jī)構(gòu)中，曲柄0A長(zhǎng)12cm，當(dāng)0A繞軸O以勻角速度7rads轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，滑套A帶動(dòng)桿OlB“繞軸O1轉(zhuǎn)動(dòng)，已知00l20cm，求：O1OA900時(shí)，桿01B的角速度。分析：絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：滑套A繞軸0的運(yùn)動(dòng)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)：在動(dòng)坐標(biāo)系中滑套A相對(duì)于曲柄的運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)：桿OlB繞軸Ol的轉(zhuǎn)動(dòng)。解：動(dòng)點(diǎn)：A（滑套上） ，動(dòng)系：在曲柄oA上，靜系：在機(jī)構(gòu)的基座上。 根據(jù)速度合成定理可知：va=ve+vr大

5、小？方向垂直于0A垂直于桿OlB沿O1B作如圖8-4所示矢量平行四邊形，可得牽連速度： 再取O1B桿為研究對(duì)象，定袖轉(zhuǎn)動(dòng)的O1B桿與點(diǎn)A相重合的點(diǎn)的速度求出后，即可求出O1B桿角速度為： 圖85例2凸輪機(jī)構(gòu)如圖85所示，凸輪的半徑為r，偏心距OCe。凸輪以角速度繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，頂桿沿鉛直滑槽運(yùn)動(dòng)，O軸位于AB的延長(zhǎng)線上。求：OCOA時(shí)，頂桿AB的速度。分析：頂扦AB作平動(dòng)，桿上A點(diǎn)的速度就是頂桿AB作平動(dòng)的速度。絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)A沿滑槽的直線運(yùn)動(dòng)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)：沿凸輪的輪廓曲線的圓周運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)：凸輪繞固定軸o的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。解：動(dòng)點(diǎn)：A（頂桿上），靜系：在機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)上動(dòng)系：在凸輪上，（相對(duì)軌跡為凸輪

6、的輪廓曲線）根據(jù)速度合成定理可知：va=ve+vr大小？方向沿鉛直方向垂直轉(zhuǎn)動(dòng)半徑沿凸輪的輪廓曲線的切線方向畫出速度矢量圖（8-5），即可求出絕對(duì)速度（頂桿AB的速度）的大小：注：速度圖總為平行四邊形，故一般借助幾何關(guān)系求解（幾何法）。解題步驟：（一）選動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系（及靜系可默認(rèn)為地面）；（二）分析動(dòng)點(diǎn)的各種運(yùn)動(dòng)，畫運(yùn)動(dòng)圖（速度、加速度圖）；（三）求解。§8-3 牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)的加速度合成定理速度合成定理在前面已經(jīng)得到，這里再系統(tǒng)推一下。圖86動(dòng)點(diǎn)：M，靜系：Oxyz，動(dòng)系：O'x'y'z'。靜系中：動(dòng)系中 ： （i、j、k與i、j、k均為單

7、位矢量）當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)，則：由于動(dòng)坐標(biāo)系作平動(dòng)，單位矢量方向不變，是常矢量，對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為零，于是：而牽連平動(dòng)時(shí)： ，各式聯(lián)立可得： 由此可見；當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)，在任一瞬時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度等于動(dòng)點(diǎn)的牽連加速度與相對(duì)加速度的矢量和。這就是牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)的加速度合成定理。在矢量表達(dá)式中，如有一項(xiàng)可以按切線和法線方向分解，則上式可根據(jù)不同的情況寫成如下形式：或：兩式的區(qū)別在于究竟是相對(duì)運(yùn)動(dòng)還是絕對(duì)運(yùn)動(dòng)的軌跡是曲線。 在以上兩個(gè)式子的四個(gè)分量中，矢量的大小和方向共八個(gè)量，只要不超過兩個(gè)未知數(shù)，都能利用解析的方法求出。例3（求速度）圖示機(jī)構(gòu)，半圓凸輪半徑為R，速度為v，已知。求AB桿的角速度。

8、圖87分析：機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)情況：凸輪平動(dòng)，桿轉(zhuǎn)動(dòng)。動(dòng)點(diǎn)選凸輪圓心O，動(dòng)系選桿可解牽連速度，AB角速度即知。絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：沿水平直線運(yùn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)：與AB 平行的直線運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)：轉(zhuǎn)動(dòng)。動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系有幾種選法？為什么不選其它的？解：動(dòng)點(diǎn)：凸輪圓心O，動(dòng)系：AB桿，靜系：地面根據(jù)速度合成定理可畫速度圖（8-7）。且：由速度圖可知：而：圖88例4（求加速度）平行四連桿機(jī)構(gòu)（雙曲柄機(jī)構(gòu)）。AB = CD = r，BC = AD = l，。均已知，求：小環(huán)M的加速度。解： 動(dòng)點(diǎn)：M，動(dòng)系：BC桿，靜系：地面可畫加速度圖（圖88）。牽連加速度與B點(diǎn)相同：由加速度合成定理：在y軸上投影： 注意：投影時(shí)，方程兩邊應(yīng)分別

9、投影，不能任意移項(xiàng)。§8-4 牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的加速度合成定理動(dòng)點(diǎn)M，靜系Oxyz，動(dòng)系Oxyz（圖89）。設(shè)動(dòng)系繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度、角加速度 則動(dòng)點(diǎn)M的牽連速度及牽連加速度可按公式表示為：而：與上一節(jié)不同的是，現(xiàn)在動(dòng)坐標(biāo)系作轉(zhuǎn)動(dòng)，單位矢量i、j、k的方向是隨時(shí)間而變的，不再是常矢量。根據(jù)速度合成定理，動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)速度為： 分別研究這兩項(xiàng)：式中：代回前式得：式右邊的前三項(xiàng)之和就是相對(duì)加速度，而后三項(xiàng)需要加以說明。 可看成是矢徑k的一點(diǎn)即k的端點(diǎn)的速度，由隨同動(dòng)坐標(biāo)系繞z軸作轉(zhuǎn)動(dòng)，因此k的端點(diǎn)的速度可表示為同理：于是：則：因此：上式中的2×vr，是牽連運(yùn)動(dòng)與相對(duì)運(yùn)動(dòng)

10、相互影響而附加的加速度，稱為科氏加速度。設(shè)以表示科氏加速度，則有：即：科氏加速度等于牽連運(yùn)動(dòng)的角速度與動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)速度的乘積的兩倍。所以，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度的表達(dá)式為：牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的加速度合成定理。這式表明：當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在任一瞬時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度等于動(dòng)點(diǎn)的牽連加速度、相對(duì)加速度與科氏加速度三者的矢量和。下面來(lái)確定科氏加速度的大小和方向(圖8-10（a）)：空間問題 方向：（右手法則）平面問題方向：沿轉(zhuǎn)90°兩個(gè)特殊情況：(1)如果vr，即vr在垂直于z軸的平面內(nèi)，則vrnvr。此時(shí)且三者互相垂直，如圖8-10（b）所示。(2)如果vr即vr與z軸平行，則vyn0 此時(shí)。例5

11、滑塊M在圓盤內(nèi)沿直槽AB運(yùn)動(dòng)，圓盤繞垂直于盤面的軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。當(dāng)M在AB中點(diǎn)時(shí)，其沿直槽運(yùn)動(dòng)的速度和加速度分別為vr和，而圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度分別為和，求該瞬時(shí)M對(duì)地面的加速度。分析：絕對(duì)運(yùn)動(dòng)M對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)：M在沿直槽的運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)：圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)（圖8-11）。解： 動(dòng)點(diǎn)：滑塊M，動(dòng)系：圓盤，靜系：地面。（牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)） 牽連加速度有切向和法向兩個(gè)分量。大小為：方向分別如圖所示。相對(duì)加速度已知，如圖所示。科氏加速度方向如圖，大小為：根據(jù)加速度合成定理全加速度大小、方向?yàn)椋?例6（求加速度）凸輪頂桿機(jī)構(gòu)。已知凸輪偏心距OC = e，半徑勻角速度。當(dāng)OC與CA垂直時(shí)，求AB的加速度。解：動(dòng)點(diǎn)：A點(diǎn)（AB上），動(dòng)系：凸輪，靜系：地面。（牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)）易知=30°，對(duì)速度畫加速度圖（8-10）兩個(gè)代數(shù)未知量，可解。根據(jù)加速度合成定理，在x逆方向投影：而： 由(1)式，得注