微分中值定理及其應(yīng)用12114

1、目錄摘要3ABSTACT41.引言52.微分中值定理及其推廣形式介紹62.1微分中值定理及其經(jīng)典證明62.1.1（羅爾定理）若函數(shù)滿(mǎn)足下列條件：62.1.2（拉格朗日中值定理的）72.1.3（柯西中值定理）72.2微分中值定理的推廣形式及其證明92.2.1：推廣192.2.2：推廣292.2.3 推廣392.2.4 推廣492.2.5（導(dǎo)數(shù)極限定理）102.2.6 ( 導(dǎo)函數(shù)的介值性 ):103微分中值定理的應(yīng)用113.1一元函數(shù)微分中值定理113.1.1 一階函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系：113.1.2 可微極值點(diǎn)的必要條件:113.1.3 極值點(diǎn)的充分條件:113.1.4 利用單調(diào)性證明不等式:12

2、3.1.5 凸性的定義及判定：133.1.6 利用二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線(xiàn)的凸向:133.1.7 曲線(xiàn)的拐點(diǎn):143.1.8 函數(shù)的最值:153.2微分中值定理在n個(gè)函數(shù)情形下的應(yīng)用推廣153.2.1：推廣153.2.2我們?cè)囍讶齻€(gè)函數(shù)推廣到四個(gè)函數(shù)163.2.3我們還可以把這個(gè)推論推廣到個(gè)函數(shù)的情形：174.結(jié)論18參考文獻(xiàn)19致 謝20摘要微分中值定理是高等數(shù)學(xué)微分學(xué)的核心內(nèi)容，在給出三個(gè)微分中值定理的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探究每個(gè)中值定理的推廣延伸形式。在給出微分中值定理的經(jīng)典證明的基礎(chǔ)上，討論他們之間的聯(lián)系。將其推廣延伸形式的證明依次給出，并討論這些證明中所運(yùn)用的思想，從而進(jìn)一步證明運(yùn)用微分中值定理

3、得出的分段函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)、討論導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的存在性、研究函數(shù)性態(tài)、證明不等式和求極限。最后給出微分中值定理在多元函數(shù)中的推廣應(yīng)用。關(guān)鍵詞：微分中值定理，推廣，應(yīng)用，多元函數(shù)AbstactDifferential mean value theorem of higher mathematics is the core content of differential calculus, in the three differential mean value theorem are given on the basis of further study, each extending form t

4、he generalization of the mean value theorem.The differential mean value theorem proof based on the classic, discuss the connection between them.Its extension forms of evidence are presented, and discussed these proved in the use of thought, thereby further demonstrate that the application of the dif

5、ferential mean value theorem that piecewise function, discuss the properties of derivative function zero of derivative existence, of studying function, the proof of inequality and limit.Finally, the differential mean value theorem in multivariate function applicationKey words: differential mean valu

6、e theorem, promotion, application, multiple functions微分中值定理及其應(yīng)用1.引言 人們對(duì)微分中值定理的研究，大約經(jīng)歷了200多年的時(shí)間，它從費(fèi)嗎定理開(kāi)始，經(jīng)歷了從特殊到一般、從直觀(guān)到抽象，從強(qiáng)條件到弱條件的發(fā)展階段。人們正是在這一發(fā)展階段中，逐漸認(rèn)識(shí)到它們額內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)。微分中值定理就是濃縮型的普遍化，而這種普遍化如同美國(guó)數(shù)學(xué)家克拉默所說(shuō)在對(duì)數(shù)學(xué)史上任一時(shí)期中人們對(duì)數(shù)學(xué)做出貢獻(xiàn)進(jìn)行評(píng)價(jià)的，那些能把過(guò)去統(tǒng)一起來(lái)而同時(shí)又為未來(lái)拓廣開(kāi)辟了道路的概念，應(yīng)當(dāng)算作最為深刻的概念。從廣義上講，微分中值定理就是這樣年過(guò)的概念。微分中值定理是微分學(xué)的基本定

7、理，在數(shù)學(xué)分析中占有重要地位，是研究函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的整體性性質(zhì)的強(qiáng)有力的工具。它包括羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。其中拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣，柯西中值定理是羅爾中值定理的推廣；反之，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的特例。要更深入的研究中值定理，還必須了解他們的推廣形式以及通過(guò)中值定理來(lái)解決函數(shù)的一些問(wèn)題。文獻(xiàn)1講了微分中值定理的表述及其經(jīng)典證明，并拓展出它的推廣形式；文獻(xiàn)2利用微分中值定理得到了分段函數(shù)在分段點(diǎn)可導(dǎo)性的一個(gè)判別方法，進(jìn)而得到分段函數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)，并給出了分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用舉例；文獻(xiàn)3表述了三個(gè)微分中值定理

8、性質(zhì)之間的聯(lián)系，利用幾何意義進(jìn)行解題應(yīng)用、討論函數(shù)零點(diǎn)的存在性及個(gè)數(shù)估計(jì)、給出了證明函數(shù)恒為常數(shù)的幾種方法；文獻(xiàn)4利用微分中值定理證明了反函數(shù)指數(shù)導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則，在指數(shù)導(dǎo)數(shù)意義下建立了著名的羅爾定理，拉格朗日中指定理和柯西中值定理；文獻(xiàn)5闡述了微分中值定理的證明是通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)，在羅爾中值定理的基礎(chǔ)上證明的，受到啟發(fā)，本文給出了構(gòu)造另類(lèi)輔助函數(shù)，應(yīng)用羅爾中值定理證明微分中值定理的新方法，并介紹了微分中值定理在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用；文獻(xiàn)6通過(guò)弱化微分中值定理的條件，得到一個(gè)減弱了的結(jié)果，即中值定理的不等式形式，它在許多方面有一般中值定理的功效，且使用起來(lái)還減弱了部分條件；文獻(xiàn)7闡述了羅爾定理逆命

9、題的不成立性、拉格朗日定理結(jié)論中的點(diǎn)非任意性并給出完備性的補(bǔ)充，分析討論了微分中值定理的應(yīng)用；文獻(xiàn)8結(jié)合實(shí)例分析了微分中值定理證明中的原函數(shù)法、積分法、K值法等多種方法；文獻(xiàn)9同文獻(xiàn)8類(lèi)似討論了副主函數(shù)的一系列方法并增添了利用函數(shù)增量構(gòu)造輔助函數(shù)的方法；文獻(xiàn)10利用了實(shí)函數(shù)的微分中值定理證明了向量函數(shù)對(duì)微分中值定理的不成立性，并給出了一種簡(jiǎn)單的對(duì)微分中值定理成立的向量函數(shù)的形式；文獻(xiàn)11重點(diǎn)闡述了微分中值定理的應(yīng)用，包括解方程的根、證明不等式、證明等式，還給出了函數(shù)在特定條件下問(wèn)題思路分析；文獻(xiàn)12利用微分中值定理歸納出一些正題的技巧?；谏鲜鑫墨I(xiàn)我們將要探究對(duì)于多元函數(shù)而言的微分中值定理。2

10、.微分中值定理及其推廣形式介紹2.1微分中值定理及其經(jīng)典證明2.1.1（羅爾定理）若函數(shù)滿(mǎn)足下列條件： 在閉區(qū)間a,b內(nèi)連續(xù)； 在開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)； ;則在（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使證明：因?yàn)樵赼,b上連續(xù)，所以有最大值與最小值，分別用M與m表示，現(xiàn)分兩種情況討論：(i)若M = m , 則 在a,b上必為常數(shù)，從而結(jié)論顯然成立。(ii)若m M，則因 (a)=(b)，使得最大值M與最小值m至少有一個(gè)在(a,b)內(nèi)某點(diǎn)c處取得，從而c是的極值點(diǎn)，由條件(ii) 在點(diǎn)c處可導(dǎo)，故由費(fèi)馬定理推知=0.2.1.2（拉格朗日中值定理的）若函數(shù)滿(mǎn)足下列條件：在閉區(qū)間a,b內(nèi)連續(xù)；在開(kāi)區(qū)間（a,

11、b）內(nèi)可導(dǎo)；則至少存在一點(diǎn)c，使；證法一 根據(jù)“發(fā)現(xiàn)”法可證：設(shè)，則，即.造函數(shù)滿(mǎn)足條件，于是滿(mǎn)足羅爾定理的全部條件.而有：，即，故證法二 設(shè)因在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)，所以在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)，且，故由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)，使得所以2.1.3（柯西中值定理）若函數(shù)、滿(mǎn)足下列條件：在閉區(qū)間a,b內(nèi)連續(xù)；在開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)；且，有；則在（a,b）內(nèi)定存在一點(diǎn)c，使;證法一 由推論1和推論2 直接可得到柯西中值定理.證法二 (2)1預(yù)備定理:設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),若這導(dǎo)數(shù)則當(dāng)取右方充分接近于的數(shù)值時(shí),就有.而當(dāng)取左方接近于的數(shù)值時(shí),就有2達(dá)布定理:若函數(shù)在閉區(qū)間上可導(dǎo),且，為介于及之間的任一實(shí)數(shù)，則

12、至少存在一點(diǎn)，使得證明柯西中值定理: 設(shè)由于在閉區(qū)間上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，可知在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)，且容易得出. 下證：一定有，使得，因若不然，假定在內(nèi)，則依達(dá)布定理,在內(nèi)不能異號(hào)，因此或，而由預(yù)備定理，在兩種情況下都有這與相矛盾，因此必有，使得，即 （1）如果，則由，推出，這與假設(shè)不同時(shí)為零相矛盾，因此.（1）式兩端同除以，則得：2.2微分中值定理的推廣形式及其證明2.2.1：推廣1且證：假設(shè)，根據(jù)羅爾定理，這與條件在內(nèi)，矛盾，故2.2.2：推廣2若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，其中為常數(shù)，則在內(nèi)存在一點(diǎn)，使證 由于，故 構(gòu)造函數(shù)滿(mǎn)足條件，于是滿(mǎn)足羅爾定理的全部條件，因而.又因推論

13、(1)中內(nèi)的條件,知:.所以 即 2.2.3 推廣3 函數(shù)在區(qū)間I上可導(dǎo)且為I上的常值函數(shù). 證明： 任取兩點(diǎn) （設(shè)），在區(qū)間 上應(yīng)用拉格朗日中值定理，存在 （）I，使得 推廣4 函數(shù)和在區(qū)間I上可導(dǎo)且2.2.5（導(dǎo)數(shù)極限定理）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域U（）內(nèi)連續(xù)，在U°（）內(nèi)可導(dǎo)，且極限存在，則在點(diǎn)可導(dǎo)，且證明：分別按左右導(dǎo)數(shù)來(lái)證明上式成立（1） 任取，在上滿(mǎn)足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，則存在，使得由于，因此當(dāng)時(shí)隨之有，對(duì)上式兩邊取極限，使得 （2）同理可得因?yàn)?存在，所以=，從而即注1°由推論3可知：在區(qū)間I上的導(dǎo)函數(shù)在I上的每一點(diǎn)，要么是連續(xù)點(diǎn)，要么是第二類(lèi)間斷點(diǎn)，不可能出現(xiàn)第

14、一類(lèi)間斷點(diǎn)。注2°導(dǎo)數(shù)極限定理適合于用來(lái)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。2.2.6 ( 導(dǎo)函數(shù)的介值性 ):若函數(shù)在閉區(qū)間上可導(dǎo), 且 ( 證 ) .3微分中值定理的應(yīng)用3.1一元函數(shù)微分中值定理3.1.1 一階函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系：(1) 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo). 則在內(nèi)(或) 在內(nèi) ( 或 ).證 ) ) 證.(2) 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo). 則在內(nèi)( 或) > 對(duì) 有 ( 或; > 在內(nèi)任子區(qū)間上3.1.2 可微極值點(diǎn)的必要條件: Fermat定理：函數(shù)的駐點(diǎn)和(連續(xù)但)不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為可疑點(diǎn), 可疑點(diǎn)的求法.3.1.3 極值點(diǎn)的充分條件: 對(duì)每個(gè)可疑點(diǎn), 用以下充分條件進(jìn)一步鑒別是否為極值

15、點(diǎn).(充分條件) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù), 在鄰域和內(nèi)可導(dǎo). 則 > 在內(nèi) 在內(nèi)時(shí), 為的一個(gè)極小值點(diǎn); > 在內(nèi) 在內(nèi)時(shí), 為的一個(gè)極大值點(diǎn);> 若在上述兩個(gè)區(qū)間內(nèi)同號(hào), 則不是極值點(diǎn). (充分條件) 設(shè)點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)且存在.則 > 當(dāng)時(shí), 為的一個(gè)極大值點(diǎn); > 當(dāng)時(shí), 為的一個(gè)極小值點(diǎn).證法一 當(dāng)時(shí), 在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)與異號(hào),證法二 用Taylor公式展開(kāi)到二階, 帶Peano型余項(xiàng).(充分條件 ) 設(shè),而.則 > 為奇數(shù)時(shí), 不是極值點(diǎn); > 為偶數(shù)時(shí), 是極值點(diǎn). 且對(duì)應(yīng)極小; 對(duì)應(yīng)極大.3.1.4 利用單調(diào)性證明不等式: 原理1: 若, 則對(duì),

16、有不等式. 證明: 對(duì)任意實(shí)數(shù)和, 成立不等式 證 取在內(nèi).于是, 由 , 就有 , 即 .不等式原理: 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且; 又 則 時(shí), (不等式原理的其他形式.)3.1.5 凸性的定義及判定：（1）凸性的定義：由直觀(guān)引入. 強(qiáng)調(diào)曲線(xiàn)彎曲方向與上升方向的區(qū)別.定義 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù). 若對(duì), 恒有 , 或. 則稱(chēng)曲線(xiàn)在區(qū)間上是凹(或凸)的. 若在上式中, 當(dāng)時(shí), 有嚴(yán)格不等號(hào)成立, 則稱(chēng)曲線(xiàn)在區(qū)間上是嚴(yán)格凹(或嚴(yán)格凸)的. 凹和凸也分別稱(chēng)為上凸和下凸.(2) 凸性的幾何意義: 倘有切線(xiàn), 與切線(xiàn)的位置關(guān)系; 與弦的位置關(guān)系; 曲線(xiàn)的彎曲方向.3.1.6 利用二階導(dǎo)數(shù)判斷

17、曲線(xiàn)的凸向: 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù), 則在內(nèi) 在內(nèi)嚴(yán)格上凸; 在內(nèi)嚴(yán)格下凸.該判別法也俗稱(chēng)為“雨水法則”.證法一 ( 用Taylor公式 ) 對(duì) 設(shè), 把在點(diǎn)展開(kāi)成具Lagrange型余項(xiàng)的Taylor公式, 有 .其中和在與之間. 注意到 , 就有 , 于是 若有 上式中, 即嚴(yán)格上凸. 若有 上式中, 即嚴(yán)格下凸.證法二 ( 利用Lagrange中值定理. ) 若 則有, 不妨設(shè),并設(shè) ,分別在區(qū)間和上應(yīng)用Lagrange中值定理, 有,.有 又由 ， <, ， 即 ， 嚴(yán)格下凸。可類(lèi)證的情況.凸區(qū)間的分離: 的正、負(fù)值區(qū)間分別對(duì)應(yīng)函數(shù)的下凸和上凸區(qū)間3.1.7 曲線(xiàn)的拐點(diǎn):

18、拐點(diǎn)的定義、確定函數(shù)的上凸、下凸區(qū)間和拐點(diǎn)。 解 的定義域?yàn)?. 令, 解得 .在區(qū)間內(nèi)的符號(hào)依次為，. 拐點(diǎn)為: 倘若注意到本題中的是奇函數(shù), 可使解答更為簡(jiǎn)捷.3.1.8 函數(shù)的最值: 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)且僅有有限個(gè)可疑點(diǎn). 則=; . 函數(shù)最值的幾個(gè)特例:> 單調(diào)函數(shù)的最值:> 如果函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)且僅有一個(gè)駐點(diǎn), 則當(dāng)為極大值點(diǎn)時(shí), 亦為最大值點(diǎn); 當(dāng)為極小值點(diǎn)時(shí), 亦為最小值點(diǎn).> 若函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)且僅有一個(gè)極大(或小)值點(diǎn), 則該點(diǎn)亦為最大(或小)值點(diǎn).> 對(duì)具有實(shí)際意義的函數(shù), 常用實(shí)際判斷原則確定最大(或小)值點(diǎn).3.2微分中值定理在n個(gè)函數(shù)情形下的應(yīng)用

19、推廣：推廣設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),則在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得： 證 作輔助函數(shù) 則在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)，且，故由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)，使得，即當(dāng)時(shí)，就可得到柯西中值定理；當(dāng)，又可得到拉格朗日中值定理.故定理4可以看作是中值定理的一般形式.假如我們把羅爾中值定理也作為一般定理的特殊情形，定理4又可以這樣證明另證：因?yàn)樵谏线B續(xù)，則在上必有最大最小值.因?yàn)?，所以最大最小值至少有一個(gè)在內(nèi)的某一點(diǎn)處取得，因?yàn)樵趦?nèi)每一點(diǎn)可導(dǎo)，所以在處可導(dǎo).因?yàn)槭亲畲笾担ㄗ钚≈狄惨粯樱?，所以也是極大值.由于在處可導(dǎo)，由極限存在的必要條件知，即3.2.2我們?cè)囍讶齻€(gè)函數(shù)推廣到四個(gè)函數(shù)則有：設(shè)函數(shù)均在上連續(xù),在

20、內(nèi)二階可導(dǎo),則 ，至少存在一點(diǎn),使得：證:,設(shè)顯然，在上連續(xù),在內(nèi)二階可導(dǎo)，且由羅爾定理知，,使，再由羅爾定理知：，使即3.2.3我們還可以把這個(gè)推論推廣到個(gè)函數(shù)的情形：設(shè)函數(shù)均在上連續(xù),在內(nèi)階可導(dǎo),則對(duì) ，至少存在一點(diǎn),使得證：對(duì)，設(shè)顯然，在上連續(xù),在內(nèi)階可導(dǎo),且，由羅爾定理知, ,使得,再次運(yùn)用羅爾定理, ,使得,即:4.結(jié)論本文系統(tǒng)的闡述了三大微分中值定理，在給出經(jīng)典證明的基礎(chǔ)上，總結(jié)其構(gòu)造輔助函數(shù)的思想，將其運(yùn)用于其他定理證明當(dāng)中，特別是函數(shù)的性態(tài)證明。本文還給出了微分中值定理的推廣延伸形式，并給出證明，然后加以運(yùn)用，系統(tǒng)的闡述了微分中值定理之間的聯(lián)系與區(qū)別。另外本文著重講述了微分中值

21、定理的應(yīng)用，包括函數(shù)多的極值點(diǎn)，零點(diǎn)問(wèn)題、函數(shù)凸凹點(diǎn)拐點(diǎn)問(wèn)題、等式與不等式的證明問(wèn)題，以及微分中值定理在n個(gè)函數(shù)背景下的擴(kuò)展應(yīng)用。微分中值定理是微分學(xué)的核心，是溝通函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)之間的橋梁，我們應(yīng)該加深對(duì)微分中值定理的理解，這樣才能更好的應(yīng)用微分中值定理。參考文獻(xiàn)1 李國(guó)成， 利用微分中值定理解題中輔助函數(shù)的構(gòu)造J，江西教育學(xué)院學(xué)報(bào)， 2009. 12， 22-25. 2張國(guó)林，張麗穎， 利用微分中值定理證明的方法分析 J，貴州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2010.03， 51-52.3黨艷霞，淺談微中值定理及其應(yīng)用 J，廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào)， 2010.02， 28-30.4 項(xiàng)明寅，方輝平，微分中值定理的不定是形式及其應(yīng)用J，新鄉(xiāng)學(xué)院學(xué)報(bào)， 2009.02， 15-17.5 王秀玲，微分中值定理的另類(lèi)證明與應(yīng)用J， 安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)， 2010.