平面向量的坐標運算

1、平面向量的坐標運算一、知識精講1平面向量的正交分解把一個向量分解成兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2平面向量的坐標表示(1)向量的坐標表示： 在直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x，y使得axiyj，則把有序數(shù)對(x，y)叫做向量a的坐標記作a(x，y)，此式叫做向量的坐標表示(2)在直角坐標平面中，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)3平面向量的坐標運算向量的加、減法若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)即兩個向量和(差)的坐標分

2、別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和(差)實數(shù)與向量的積若a(x，y)，R，則a(x，y)，即實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標向量的坐標已知向量的起點A(x1，y1)，終點B(x2，y2)，則 (x2x1，y2y1)，即向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點的坐標4兩個向量共線的坐標表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.則ababx1y2x2y10.小問題·大思維1與坐標軸平行的向量的坐標有什么特點？ 提示：與x軸平行的向量的縱坐標為0，即a(x,0)；與y軸平行的向量的橫坐標為0，即b(0，y)2已知向量(1，2)，M點的坐標與的坐標有什

3、么關(guān)系？ 提示：坐標相同但寫法不同；(1，2)，而M(1，2) 3在基底確定的條件下，給定一個向量它的坐標是唯一的一對實數(shù)，給定一對實數(shù)，它表示的向量是否唯一？ 提示：不唯一，以這對實數(shù)為坐標的向量有無窮多個，這些向量都是相等向量4向量可以平移，平移前后它的坐標發(fā)生變化嗎？ 提示：不發(fā)生變化。向量確定以后，它的坐標就被唯一確定，所以向量在平移前后，其坐標不變5已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，若ab，是否有成立？提示：不一定由于的意義與x1y2x2y10的意義不同，前者不允許x2和y2為零，而后者允許，當x1x20，或y1y20或x2y20時，ab但不成立二、典例精析例1、如圖所示，已知

4、ABC，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分別是AB，AC，BC的中點，且MN與AD交于點F，求的坐標變式練習：若向量a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，則c等于 () AabB.ab C.ab Dab答案：B例2、已知點O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及t .(1)t為何值時，點P在x軸上？點P在y軸上？點P在第二象限？(2)四邊形OABP能為平行四邊形嗎？若能，求出t值；若不能，說明理由保持例題條件不變，問t為何值時，B為線段AP的中點？變式練習：已知向量u(x，y)和向量v(y,2yx)的對應(yīng)關(guān)系用vf(u)表示(1)若a(1,1)，b(1,0)，試求向

5、量f(a)及f(b)的坐標(2)求使f(c)(4,5)的向量c的坐標 例3、已知a(1,2)，b(3,2)，當k為何值時，kab與a3b平行？平行時它們是同向還是反向？保持例題條件不變，是否存在實數(shù)k，使akb與3ab平行？變式練習已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，3)判斷與是否共線？如果共線，它們的方向相同還是相反？例4、 (1)已知(3,4)，(7,12)，(9,16)，(1)求證：A，B，C三點共線；(2)設(shè)向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，當k為何值時，A，B，C三點共線？變式練習設(shè)A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，當x為何值時

6、，與共線且方向相同，此時，A，B，C，D能否在同一條直線上？例5、如圖所示，已知點A(4,0)，B(4，4)，C(2,6)，求AC和OB交點P的坐標 變式練習：在AOB中，已知點O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，AD與BC交于點M，求點M的坐標 三、課后檢測一、選擇題1已知向量i(1,0)，j(0,1)，對坐標平面內(nèi)的任一向量a，給出下列四個結(jié)論存在唯一的一對實數(shù)x，y，使得a(x，y)；a(x1，y1)(x2，y2)，則x1x2，且y1y2；若a(x，y)，且a0，則a的始點是原點O；若a0，且a的終點坐標是(x，y)，則a(x，y)其中，正確結(jié)論的個數(shù)是()A0 B1C2 D3解析

7、：由平面向量基本定理可知，正確；不正確例如，a(1,0)(1,3)，但11；因為向量可以平移，所以a(x，y)與a的始點是不是原點無關(guān)，故錯誤；a的坐標與終點坐標是以a的始點是原點為前提的，故錯誤答案：B2已知a(3，1)，b(1,2)，若manb(10,0)(m，nR)，則()Am2，n4 Bm3，n2Cm4，n2 Dm4，n2解析：manbm(3，1)n(1,2)(3mn，m2n)(10,0)，m4，n2.答案：C3設(shè)向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac)，d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量d為()A(2,6) B(2,6)C(2，6) D

8、(2，6)解析：四條有向線段首尾相接構(gòu)成四邊形，則對應(yīng)向量之和為零向量，即4a(4b2c)2(ac)d0，d6a4b4c6(1，3)4(2,4)4(1，2)(2，6)答案：D4若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)滿足(kab)c，則k()A3 B3C. D解析：kab(k1，k1)，由(kab)c，得2(k1)4(k1)0，解得k3.答案：B5已知四邊形ABCD的三個頂點A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且2，則頂點D的坐標為()A. B.C(3,2) D(1,3)解析：令D(x，y)，由已知得解得頂點D的坐標為(2，)答案：A6若A(3，6)，B(5,2)，C(6，y)三點

9、共線，則y()A13 B13C9 D9解析：(8,8)，(3，y6)，8(y6)240.y9.答案：D7已知a(2,1cos )，b(1cos ，)，且ab，則銳角等于()A45° B30°C60° D30°或60°解析：由ab得2×()1cos2sin2，為銳角，sin ，45°.答案：A二、填空題8已知向量a(sin ，cos 2sin )，b(1,2)，且ab，則tan _.解析：ab，2sin cos 2sin .即4sin cos ，tan .答案：9已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，

10、則m_.解析：ab(21，1m)(1，m1)，由(ab)c，得1×2(m1)×(1)0，即m1.答案：110已知點A(1，1)、B(1,3)、C(x,5)，若對于平面上任意一點O，都有(1) ，R，則x_.解析：取點O(0,0)，由 (1) ，得(x,5)(1，1)(1)(1,3)，解得答案：211已知向量a(2,3)，ba，向量b的起點為A(1,2)，終點B在坐標軸上，則點B的坐標為_解析：由ba，可設(shè)ba(2，3)設(shè)點B坐標為(x，y)，則AB(x1，y2)b.由又B點在坐標軸上，則120或320，或，代入式得B點坐標為(0，)或(，0)答案：(0，)或(，0)三、解答題12已知A、B、C三點的坐標為(1,0)、(3，1)、(1,2)，并且，求證：.證明：設(shè)E、F的坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，依題意有(2,2)，(2,3)，(4，1)，(x11，y1)(2,2)點E的坐標為(，)同理點F的坐標為(，0)，(，)又×(1)4×()0，.13平面內(nèi)給定三個向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)，回答下列問題：(1)求3ab2c；(2)求滿足ambnc的實數(shù)m，n；(3)若(akc)(2ba)，求實數(shù)k.解：