帶電粒子在電磁場中運動的MATLAB仿真

1、目 錄第1章 概述1第2章MATLAB的基礎(chǔ)知識22.1 MATLAB使用介紹22.2 MATLAB的基本知識22.3利用MATLAB作圖5第3章 實驗原理及仿真結(jié)果分析73.1 帶電粒子在電磁場中運動的原理73.2 質(zhì)量較大的帶電微粒在復(fù)合場中的運動73.3 帶電粒子垂直射入E和B正交的疊加場的運動分析83.4 實驗內(nèi)容8第4章 MATLAB仿真的應(yīng)用114.1 用MATLAB仿真帶電粒子在磁場中運動的優(yōu)點114.2 用MATLAB仿真在物理實驗中的應(yīng)用11第5章 總結(jié)12參考文獻13附 錄14第1章 概述計算機數(shù)值模擬的研究方法已成為繼實驗研究和理論分析之外的第三種研究手段，在基礎(chǔ)物理學(xué)習(xí)

2、中適當引入計算機數(shù)值方法，有助于將一些高深的物理知識深入淺出、生動形象地學(xué)習(xí)。隨著計算機的普及，MATLAB在基礎(chǔ)物理中的應(yīng)用日益廣泛。MATLAB是當今最優(yōu)秀的科技應(yīng)用軟件之一，它以強大的科學(xué)計算與可視化功能、簡單易用、開放式可擴展環(huán)境，特別是所附帶的30 多種面向不同領(lǐng)域的工具箱支持，使得它在許多科學(xué)領(lǐng)域中成為計算機輔助設(shè)計和分析、算法研究和應(yīng)用開發(fā)的基本工具和首選平臺。MATLAB具有其他高級語言難以比擬的一些優(yōu)點，如編寫簡單、編程效率高、易學(xué)易懂等，因此MATLAB 語言也被通俗地稱為演算紙式科學(xué)算法語言。在控制、通信、信號處理及科學(xué)計算等領(lǐng)域中，MATLAB 都被廣泛地應(yīng)用，已經(jīng)被認

3、為能夠有效提高工作效率、改善設(shè)計手段的工具軟件，掌握了MATLAB 好比掌握了開啟這些專業(yè)領(lǐng)域大門的鑰匙1。帶電體在復(fù)合場中運動的基本分析:這里所講的復(fù)合場指電場、磁場和重力場并存, 或其中某兩場并存, 或分區(qū)域存在, 帶電體連續(xù)運動時, 一般須同時考慮電場力、洛侖茲力和重力的作用。在不計粒子所受的重力的情況下，帶電粒子只受電場和洛侖茲力的作用，粒子所受的合外力就是這兩種力的合力，其運動加速度遵從牛頓第二定律。在相互垂直的勻強電場與勻強磁場構(gòu)成的復(fù)合場中，如果粒子所受的電場力與洛侖茲力平衡，粒子將做勻速直線運動；如果所受的電場力與洛侖茲力不平衡，粒子將做一般曲線運動，而不可能做勻速圓周運動，也

4、不可能做與拋體運動類似的運動。在相互垂直的點電荷產(chǎn)生的平面電場與勻強磁場垂直的復(fù)合場中，帶電粒子有可能繞場電荷做勻速圓周運動。第2章MATLAB的基礎(chǔ)知識2.1 MATLAB使用介紹在Windows窗口中用鼠標雙擊Matlab圖標即可進入Matlab的工作窗口（Command Window），如圖2-11所示。沒有圖標可利用Matlabbin目錄下的Matlab.exe文件在桌面上建立一個快捷方式。退出Matlab的方法有三種：單擊工作窗口右上角的關(guān)閉按鈕；用菜單FileExit Matlab命令；或者直接在工作窗口中輸入quit后回車。工作窗口是標準的Windows窗口形式，用戶在命令窗口中

5、輸入各種指令，進行運算；在左側(cè)的變量窗口中監(jiān)控當前所創(chuàng)立的所有變量2。圖2-1 Matlab工作窗口變量窗口命令窗口當前工作路徑2.2 MATLAB的基本知識 MATLAB基本命令MATLAB基本命令如下表所示表2-1 MATLAB基本命令主題詞含義主題詞含義format設(shè)置數(shù)據(jù)顯示格式feval函數(shù)求值who顯示變量名input提示輸入whos顯示變量信息disp輸出clear清除內(nèi)存變量tic啟動秒表save保存工作變量到文件toc時間讀數(shù)（秒）load從文件裝載變量help幫助linspace區(qū)間等分lookfor查找length獲取數(shù)組長度type列程序清單size矩陣大小which查

6、找文件目錄max最大值double雙精度min最小值str2num字符串轉(zhuǎn)化為數(shù)值sum求和num2str數(shù)值轉(zhuǎn)化為字符串 數(shù)據(jù)和變量1.表達式在命令窗口作一些簡單的計算，就如同使用一個功能強大的計算器，使用變量無須預(yù)先定義類型。幾個表達式可以寫在一行，用分號（；）或逗號（，）分割，用分號（；）使該表達式運算結(jié)果不顯示，而逗號（，）則顯示結(jié)果。也可以將一個長表達式分在幾行上寫，用三點（）續(xù)行。若需要修改已執(zhí)行過的命令行，可以在命令歷史中找到該命令行復(fù)制，再粘貼至命令窗口修改。也可以直接使用鍵盤調(diào)出已執(zhí)行過的命令行修改。2.數(shù)據(jù)顯示格式MATLAB默認的數(shù)據(jù)顯示格式為短格式（short）：當結(jié)果

7、為整數(shù)，就作為整數(shù)顯示；當結(jié)果是實數(shù)，以小數(shù)點后四位的長度顯示。若結(jié)果的有效數(shù)字超出一定范圍，以科學(xué)計數(shù)法顯示（如3.2000e-006表示）。數(shù)據(jù)顯示格式可使用命令Format改變。 3.預(yù)定義變量MATLAB有一些預(yù)定義變量（表2-2），啟動時就已賦值，可以直接使用，如前我們使用的圓周率pi和虛數(shù)單位i。表2-2 常用預(yù)定義變量變量名說 明i或j虛數(shù)單位pi圓周率3.14159eps浮點數(shù)識別精度2(-52)=realmin最小正實數(shù)realmax最大正實數(shù)inf無窮大NaN沒有意義的數(shù)4.用戶變量MATLAB變量名總以字母開頭，以字母、數(shù)字或下劃線組成，區(qū)分大小寫，有效字符長度為63個。

8、如A，a，a1，a_b都是合法的，且a與A表示不同變量。在Command Window中使用的變量一旦被賦值，就會攜帶這個值存在于工作空間，直到被清除或被賦予新的值。數(shù)組和矩陣運算MATLAB基本數(shù)據(jù)單元是無需指定維數(shù)的數(shù)組。數(shù)組運算是MATLAB最鮮明的特點，一方面可以使得計算程序簡明易讀，另一方面可以提高計算速度。1.數(shù)組的輸入最常用的數(shù)組是雙精度數(shù)值數(shù)組（double array）。一維數(shù)組相當于向量，二維數(shù)組相當于矩陣，一維數(shù)組可以視為二維數(shù)組的特例。二維數(shù)組的第一維稱為“行”，第二維稱為“列”。MATLAB數(shù)組無需預(yù)先定義維數(shù)。直接輸入數(shù)組的元素，用中括號（）表示一個數(shù)組，同行元素間

9、用空格或逗號分隔，不同行間用分號或回車分隔。2.數(shù)組運算數(shù)組運算是指數(shù)組對應(yīng)元素之間的運算，也稱點運算。矩陣的乘法、乘方和除法有特殊的數(shù)學(xué)含義，并不是數(shù)組對應(yīng)元素的運算，所數(shù)組乘法、乘方和除法的運算符前特別加了一個點。特別要區(qū)分數(shù)組運算在乘法、乘方和除法上的意義和表示上與矩陣運算的不同3。表2-3 數(shù)組運算符運算符號說明數(shù)組加與減A+B與A-B對應(yīng)元素之間加減數(shù)乘數(shù)組k*A或A*kk乘A的每個元素數(shù)與數(shù)組加減k+A或k-Ak加（減）A的每個元素數(shù)組乘數(shù)組A.*B點運算只有點乘、點乘方、點除三個，表示對應(yīng)元素之間的運算；（.*）是一個整體，點(.)不能漏掉，（.）和（*）之間也不能有空格數(shù)組乘方

10、A.k,k.A數(shù)除以數(shù)組k./A數(shù)組除法左除A.B,右除B./A3.數(shù)學(xué)函數(shù)數(shù)組的數(shù)學(xué)函數(shù)也是按每個元素的運算，使用通常的函數(shù)符號，常用數(shù)學(xué)函數(shù)見表2-4。表2-4 數(shù)學(xué)函數(shù)函數(shù)意義函數(shù)意義sin正弦fix向0取整cos余弦mod模余tan正切rem除法余數(shù)cot余切abs絕對值（模）asin反正弦exp指數(shù)函數(shù)acos反余弦log自然對數(shù)sqrt開方log10以10為底的對數(shù)2.3利用MATLAB作圖1.常用作圖命令和函數(shù)（表2-5）。表2-5 常用作圖命令和函數(shù)主題詞含 義主題詞含 義plot基本二維圖形clabel等高線高度標志fplot一元函數(shù)圖像grid格柵ezplot畫二維曲線的符

11、號命令hold圖形保持plot3空間曲線axis定制坐標軸meshgrid網(wǎng)格數(shù)據(jù)生成view改變視點mesh網(wǎng)面圖subplot子圖surf 曲面圖figure新圖形窗口contour等高線圖clf清除圖形contour3三維等高線圖close關(guān)閉圖形窗口title標題ylabely軸說明xlabelx軸說明zlabelz軸說明2.曲線圖plot(x,y) 作出以數(shù)據(jù)(x(i),y(i)為節(jié)點的折線圖，其中x,y為同長度的向量fplot('fun',a,b) 作出函數(shù)fun在區(qū)間a,b上的函數(shù)圖，fun可以是M函數(shù)主名，也可是字符串ezplot(fun,lims) 繪制字符串

12、fun（可是顯函數(shù)、隱函數(shù)或參數(shù)方程）指定的函數(shù)plot3(x,y,z) 空間曲線圖，其中x，y，z為同長度向量圖形顯示在圖形窗口。在圖形窗口可以使用File菜單保存(Save)為M文件，導(dǎo)出(Export)為圖形文件。也可利用圖形窗口Edit菜單Copy figure作為圖片復(fù)制到剪貼板，從而進一步粘貼到Word或其他應(yīng)用程序中。圖形的線型、標記、顏色均可根據(jù)要求設(shè)定。常用的見表2-6。表2-6 圖形元素設(shè)定顏色線型標記b藍（默認）-實線（默認）無標記（默認）g綠：虛線.點r紅-.點劃線o圈m洋紅-劃線x叉y青+十字k黑*星3.曲面圖x,y=meshgrid(xa,ya) 當xa,ya分別為

13、m維和n維行向量，得到x和y均為n行m列矩陣。meshgrid常用于生成X-Y平面上的網(wǎng)格數(shù)據(jù)mesh(x,y,z) 繪制網(wǎng)面圖，是最基本的曲面圖形命令，其中x,y,z是同階矩陣，表示曲面三維數(shù)據(jù)surf(x,y,z) 繪制曲面圖，與mesh用法類似contour(x,y,z) 繪制等高線圖，與mesh用法類似contour3(x,y,z) 繪制三維等高線圖，與mesh用法類似4.圖形說明和定制title('字符串') 圖形標題說明xlabel,ylabel,zlabel 用法類似于title，分別說明坐標軸x,y,zgrid on/off 顯示/不顯示格柵box on/off

14、 使用/不使用坐標框axis(a,b,c,d) 定制二維坐標軸范圍 a<x<b,c<y<daxis(a,b,c,d,e,f) 定制三維坐標軸范圍 a<x<b,c<y<d,e<z<ffigure 開一個新圖形窗口close 關(guān)閉現(xiàn)有圖形窗口legend(str1,str2,) 圖例，字符串str1,str2,依次為各圖形對象說明第3章 實驗原理及仿真結(jié)果分析3.1 帶電粒子在電磁場中運動的原理 帶電粒子在磁場中運動時會受到洛倫茲力的作用，且隨著初始運動方向和磁場分布的不同，其運動軌跡會發(fā)生不同的變化。由洛倫茲力的推導(dǎo)公式可知，它垂直于粒

15、子的運動速度，不對運動粒子作功，只改變其運動方向，其大小為： (31)因此，綜合牛頓運動定律就可以精確確定帶電粒子在磁場中的運動軌跡。3.2 質(zhì)量較大的帶電微粒在復(fù)合場中的運動這里我們只研究垂直射入磁場的帶電微粒在垂直磁場的平面內(nèi)的運動，并分幾種情況進行討論。（1）只受重力和洛侖茲力：此種情況下，要使微粒在垂直磁場的平面內(nèi)運動，磁場方向必須是水平的。微粒所受的合外力就是重力與洛侖茲力的合力。在此合力作用下，微粒不可能再做勻速圓周運動，也不可能做與拋體運動類似的運動。在合外力不等于零的情況下微粒將做一般曲線運動，其運動加速度遵從牛頓第二定律；在合外力等于零的情況下，微粒將做勻速直線運動。無論微粒

16、在垂直勻強磁場的平面內(nèi)如何運動，由于洛侖茲力不做功，只有重力做功，因此微粒的機械能守恒，即： （32）（2）微粒受有重力、電場力和洛侖茲力：此種情況下。要使微粒在垂直磁場的平面內(nèi)運動，勻強磁場若沿水平方向，則所加的勻強電場必須與磁場方向垂直。在上述復(fù)合場中，帶電微粒受重力、電場力和洛侖茲力。這三種力的矢量和即是微粒所受的合外力，其運動加速度遵從牛頓第二定律。如果微粒所受的重力與電場力相抵消，微粒相當于只受洛侖茲力，微粒將以洛侖茲力為向心力，以射入時的速率做勻速圓周運動。若重力與電場力不相抵，微粒不可能再做勻速圓周運動，也不可能做與拋體運動類似的運動，而只能做一般曲線運動。如果微粒所受的合外力為

17、零，即所受的三種力平衡，微粒將做勻速直線運動。無論微粒在復(fù)合場中如何運動，洛侖茲力對微粒不做功。若只有重力對微粒做功，則微粒的機械能守恒；若只有電場力對微粒做功，則微粒的電勢能和動能的總和守恒；若重力和電場力都對微粒做功，則微粒的電勢能與機械能的總和守恒，用公式表示為： （33）3.3 帶電粒子垂直射入E和B正交的疊加場的運動分析帶電粒子垂直射入E和B正交的疊加場常見的模型就是速度旋轉(zhuǎn)器。如圖3-1（a）所示，粒子受力特點電場力F與洛侖茲力f方向相反。粒子勻速通過速度選擇器的條件帶電粒子從小孔S1水平射入，勻速通過疊加場，并從小孔S2水平射出，從不同角度看有三種等效條件：從力的角度電場力與洛侖

18、茲力平衡，即：；從速度角度v0的大小等于E與B的比值，即：；從功的角度電場力對粒子不做功，即：；兩個重要的功能關(guān)系當粒子進入速度選擇器時速度，粒子將因側(cè)移而不能通過選擇器。如圖3-1（b），設(shè)在電場方向側(cè)移后粒子速度為v，當時：粒子向f方向側(cè)移，F(xiàn)做負功粒子動能減少電勢能增加，有：；當時，粒子向F方向側(cè)移，F(xiàn)做正功粒子動能增加，電勢能減少，有： (a) （b）圖3-1 速度選擇器原理圖3.4 實驗內(nèi)容1、1用Matlab 數(shù)值模擬的方法模擬帶電粒子在恒定磁場中的螺旋運動，即帶電粒子進入磁場的方向與磁場方向的角度（0 << 90°）。（1）帶電粒子質(zhì)量為m, 電量為q( q

19、>0)的帶電粒子在均勻穩(wěn)定的電磁場中的運動微分方程為： （3-4）以電磁場中某點為原點，以E為Oy方向，B為Oz方向建立坐標系O-xyz。由于，則上式的投影方程為： （3-5）將其轉(zhuǎn)換為一階微分線性方程組，以便用差分替代微分作數(shù)值計算，令，則上式化簡為： （3-6）下面使用MATLAB R2009b 編寫程序，分三種情況考慮: 電場強度和磁場強度都不為零； 電場強度為零, 磁場強度不為零； 電場強度不為零, 磁場強度為零。程序見附錄1。運行程序得到該帶電粒子在均勻穩(wěn)定的電磁場中的運動軌跡如圖3-2所示：圖 3-2 帶電粒子在均勻穩(wěn)定的電磁場中的運動軌跡（2）當v與B有一定夾角時，可將v分

20、解為：，（即，）。若只有分量，帶電粒子將在垂直的平面內(nèi)作勻速圓周運動，若只有分量，粒子將沿磁場B方向作勻速直線運動，當兩分量同時存在時，帶電粒子的運動軌跡將是一條螺旋線。用MATLAB R2009b編寫程序，源程序見附錄2. 運行程序，得到帶電粒子的運動軌跡如圖3-3所示：圖 3-3 帶電粒子的運動軌跡（螺旋線）第4章 MATLAB仿真的應(yīng)用4.1 用MATLAB仿真帶電粒子在磁場中運動的優(yōu)點由于電磁場看不見，摸不著，它不像普通的“三態(tài)”物質(zhì)那樣由原子、分子構(gòu)成，也沒有可見的形態(tài)，但其具有可以被檢測的運動速度、能量和動量，占有空間，是一種真實的客觀存在。實驗中通過MATLAB 數(shù)值模擬模擬帶電

21、粒子在恒定磁場中的螺旋運動和磁聚焦現(xiàn)象，讓我們對帶電粒子在磁場中的運動有了更深的感性認識，用MATLAB 畫出的立體圖也更有利于對此的理解，對于對應(yīng)知識的理解和吸收有很大的幫助。運用數(shù)值模擬方法作出的螺旋線運動和磁聚焦現(xiàn)象的軌跡不僅生動形象,而且結(jié)果是建立在定量計算的基礎(chǔ)上的, 不是簡單的定性的模擬, 因此更具有科學(xué)性與說服力。4.2 用MATLAB仿真在物理實驗中的應(yīng)用MATLAB現(xiàn)已成為集數(shù)值分析、符號運算、圖形處理、系統(tǒng)仿真等功能于一體的科學(xué)與工程計算軟件平臺。MATLAB的最大特點在于功能強大而界面友好,其豐富的庫函數(shù)和各種專用工具箱,將使用者從繁瑣的底層編程中解放出來,使他們有更多的

22、時間和精力去探究科學(xué)問題本身；它對科學(xué)計算結(jié)果迅捷而準確的可視化能力,有助于使用者化抽象思維為形象思維,從而更好地洞察含義、理解概念、發(fā)現(xiàn)規(guī)律。目前,MATLAB已成為工程界最流行的軟件工具,在大學(xué)理工實驗課程教學(xué)中的應(yīng)用亦漸成熱點4。在構(gòu)建物理模型的前提下,利用MATLAB的計算、聲音、圖像、動畫等功能來模擬物理現(xiàn)象,詮釋物理規(guī)律,演示運動過程,并由此構(gòu)建學(xué)生自主探索問題和解決問題的平臺。利用它開展大學(xué)物理計算機模擬實驗,一方面使抽象的問題形象化,加深學(xué)生對物理現(xiàn)象和規(guī)律的理解,提高教學(xué)效率,另一方面則有利于激發(fā)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣,發(fā)展學(xué)生的想象力,開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力5。在物理實驗教學(xué)過程中,教師可

23、利用MATLAB 繪圖和動畫功能,選擇其中合適的部分用在自己的講解和演示文稿及多媒體課件中,以便說明講解的結(jié)構(gòu),形象地演示物理教學(xué)中某些難以理解的內(nèi)容;或用模擬的圖表、動畫等展示動態(tài)的變化過程和理論模型等,幫助學(xué)生了解和理解所學(xué)的知識。形象而生動,非常便于學(xué)生接受。在信息技術(shù)、計算機輔助教學(xué)迅速發(fā)展的時代,上述工作顯示了比較大的發(fā)展空間和潛力,已經(jīng)廣泛地引起了學(xué)生的各方面興趣,正在成為學(xué)生自我學(xué)習(xí)的平臺,已顯示出在提高學(xué)生素質(zhì)、提高學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量以及在教學(xué)方法和教學(xué)內(nèi)容改革等方面所具有的優(yōu)勢。第5章 總結(jié)基于MATLAB計算機物理模擬方法實現(xiàn)的物理圖像和物理過程,教學(xué)意圖明確,操作簡單,人機交互

24、性強,交互參數(shù)調(diào)節(jié)方便,響應(yīng)速度快,具有很高的容錯能力。在物理實驗教學(xué)中,以MATLAB為實驗演示平臺,對物理實驗現(xiàn)象進行模擬,作為演示配合物理理論的講授,能使學(xué)生加深對物理現(xiàn)象和規(guī)律的理解,提高教學(xué)效率。MATLAB繪圖和動畫功能,能將計算結(jié)果或外部文件數(shù)據(jù)以二維、三維圖形呈現(xiàn)而且提供了方便的圖形導(dǎo)出功能,其圖形可以jpg、tif 等多種格式導(dǎo)出,在物理實驗教學(xué)中開發(fā)利用,可作為物理實驗CAI 課件的素材圖6。通過這次試驗，進一步學(xué)習(xí)和掌握了MATLAB的使用，為今后的學(xué)習(xí)和應(yīng)用MATLAB打下了更好的基礎(chǔ)。另外通過這次使用MATLAB仿真帶電粒子在不同條件下在磁場中的運動，深入且形象的認識

25、了帶電粒子在磁場中的運動方式，而不在限于之前的理論認識。同時，在實驗時也遇到了不少的問題。1、還是像上次實驗一樣不能熟練使用MATLAB軟件，導(dǎo)致花費時間較多。2、模擬效果感覺不是很好。希望通過這次的學(xué)習(xí)及今后的進一步學(xué)習(xí)使用MATLAB，能更好的使用MATLAB解決更多的問題。參考文獻1 Steven E. Koonin，秦克誠譯.計算物理學(xué).北京：高等教育出版社，1993.2 馬文淦等。計算物理學(xué).合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1992.3 張志涌。精通MATLAB6.5.北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2003.4 羅志恒,陸建隆.MATLAB 在普通物理教學(xué)中的應(yīng)用J.物理通報,2003

26、.5 梁齊,許曉琳、王明虎.光干涉實驗的計算機模擬J.大學(xué)物理驗,2003.6 張星輝,鐘曉春,張世昌.大學(xué)物理教學(xué)中引用Matlab圖像和動畫的實踐與思考J.貴州大報,2004.附 錄附錄1%用Matlab數(shù)值模擬的方法模擬帶電粒子在恒定磁場中的螺旋運動function lxglobal q m b eq=1.6e-2;m=0.02;b=2;1;0;e=1;0;1;figurestrd1='eneq 0,bneq 0'strd2='e=0,bneq 0'strd3='eneq 0, b=0'for i=1:3t,w=ode23(ddlzfun,0:0.01:20,0,0.01,0,6,0,0.01, ,q,m,b(i),e(i);axes ('unit','no