導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

1、導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算 重點(diǎn)難點(diǎn)分析： 1導(dǎo)數(shù)的定義、意義與性質(zhì)： （1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：對(duì)于函數(shù)f(x)，當(dāng)自變量x在x0處有增量x，則函數(shù)y相應(yīng)地有改變量y=f(x0+x)-f(x0)，這兩個(gè)增量的比叫做函數(shù)y=f(x)在x0到x0+x之間的平均變化率，即。如果當(dāng)x0時(shí)，有極限，我們說(shuō)函數(shù)在x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)（或變化率）。記作f'(x0)或，即。 （2）導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)處可導(dǎo)，這時(shí)，對(duì)于開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一個(gè)值x0，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f'(x0)，這樣就在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們把這一新函數(shù)

2、叫做f(x)在區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，記作f'(x)或y'，即。 （3）可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，那么函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。 （4）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：過(guò)曲線y=f(x)上任意一點(diǎn)(x,y)的切線的斜率就是f(x)在x處的導(dǎo)數(shù)，即。也就是說(shuō)，曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線的斜率是f'(x0)，切線方程為y-y0=f'(x0)(x-x0)。 2求導(dǎo)數(shù)的方法：（1）求函數(shù)y=f(x)在x0處導(dǎo)數(shù)的步驟： 求函數(shù)的增量y=f(x0+x)-f(x0) 求平均變化率 取極限，得導(dǎo)數(shù)。 （2）幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： C'

3、=0(C為常數(shù))； (xn)'=nxn-1 (nQ)； (sinx)'=cosx； (cosx)'=-sinx； (ex)'=ex； (ax)'=axlna ； （3）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則： (u±v)'=u'±v' (uv)'=u'v+uv' （4）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。 說(shuō)明： 1函數(shù)的導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)是一個(gè)極限問(wèn)題，不應(yīng)理解為平均變化率，而是平均變化率的極限。 2求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要熟練掌握求導(dǎo)公式，特別是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要

4、學(xué)會(huì)合理地分析 3搞清導(dǎo)數(shù)的幾何意義，為解決實(shí)際問(wèn)題，如切線，加速度等問(wèn)題打下理論基礎(chǔ)。 典型例題： 例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) y=(2x-3)5y=sin32x 解析： 設(shè)u=2x-3，則y=(2x-3)5分解為y=u5，u=2x-3 由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則得： y'=f'(u)u'(x)=(u5)'(2x-3)'=5u4·2=10u410(2x-3)4 設(shè)u=3-x，則可分解為，。 y'=3(sin2x)2·(sin2x)'=3sin22xcos2x(2x)'=6·sin22x·cos2x 例

5、2已知曲線，問(wèn)曲線上哪一點(diǎn)處切線與直線y=-2x+3垂直，并寫(xiě)出這一點(diǎn)切線方程。 解析：，令，即，得x=4，代入，得y=5，曲線在點(diǎn)(4,5)處的切線與直線y=-2x+3垂直，切線方程為，即x-2y+6=0。例3已知曲線C：y=3x4-2x3-9x2+4。 求曲線C上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)的切線方程； 第小題中切線與曲線C是否還有其它公共點(diǎn)。 解析：把x=1代入C的方程，求得y=-4， 切點(diǎn)為(1,-4)，y'=12x3-6x2-18x 切線斜率為k=12-6-18=-12， 切線方程為y=-12x+8。 由 得3x4-2x3-9x2+12x-4=0，即(x-1)2(x+2)(3x-2)=0，

6、。公共點(diǎn)為(1,-4)（切點(diǎn)），除切點(diǎn)外，還有兩個(gè)交點(diǎn)。 評(píng)析：舉例說(shuō)明曲線與直線相切并不說(shuō)明只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)曲線是二次曲線時(shí)，我們知道直線與曲線相切，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，這種觀點(diǎn)對(duì)一般曲線不一定正確。 *例4設(shè)，求f'(x)。 解析：當(dāng)x>0時(shí)，當(dāng)x<0時(shí)，由于x=0是該函數(shù)的分界點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)定義知 由于f'+(0)=f'-(0)=1，故有f'(0)=1于是：，即：。 例5已知使函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的x值也使y值為0，求常數(shù)a。 解析：y'=3x2+2ax，令y'=0，得x=0或，由題設(shè)x=0時(shí)，y'=y=0，此時(shí)，a=0；當(dāng)時(shí)也

7、解出a=0。訓(xùn)練題： 1已知函數(shù)，且f'(1)=2，則a的值為_(kāi)。 2設(shè)f(x)=xlnx，則f'(2)=_。 3給出下列命題： ；(tanx)'=sec2x 函數(shù)y=|x-1|在x=1處可導(dǎo)；函數(shù)y=|x-1|在x=1處連續(xù)。其中正確的命題有：_。 4函數(shù)y=cosx在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)。 5已知函數(shù)f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e為偶函數(shù)，它的圖象過(guò)點(diǎn)A(0,-1)，且在x=1處的切線方程為2x+y-2=0，求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式。 參考答案： 1. 22. 3. ，4. 5解： f(x)是偶函數(shù)，f(-x)=f(x)， b=d=0，f(x)=ax4+

8、cx2+e，又 圖象過(guò)點(diǎn)A(0，-1)， e=-1， f(x)=ax4+cx2-1，f'(x)=4ax3+2cx，當(dāng)x=1時(shí)，f'(1)=4a+2c=-2. 對(duì)于2x+y-2=0，當(dāng)x=1時(shí)，y=0。 點(diǎn)(1,0)在f(x)圖象上，a+c-1=0. 由，解出a=-2，c=3，因此f(x)=-2x4+3x2-1。在線測(cè)試窗體頂端選擇題1設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，則等于（ ）。 A、f'(x0)B、f'(-x0)C、-f'(x0)D、-f(-x0) 窗體底端窗體頂端2設(shè)f(x)在x0處可導(dǎo)，下列式子中與f'(x0)相等的是（ ）。 （1）（2） （

9、3）（4） A、(1)(2)B、(1)(3)C、(2)(3)D、(1)(2)(3)(4) 窗體底端窗體頂端3曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程是（ ）。 A、 B、 C、x-2y+1=0 D、x+2y+1=0 窗體底端窗體頂端4y=x3在點(diǎn)P（2，8）處的切線方程是（ ）。 A、12x+y-16=0B、12x-y-16=0C、12x-y+16=0D、12x+y+16=0 窗體底端窗體頂端5y=sinx(cosx+1)的導(dǎo)數(shù)是（ ）。 A、cos2x-cosxB、cos2x+sinxC、cos2x+cosxD、 窗體底端窗體頂端6曲線y=x3-3x上切線平行于x軸的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）。 A、(-1，2

10、)B、(1，-2)C、(1，2 )D、(-1，2) 或(1，-2) 窗體底端窗體頂端7的導(dǎo)數(shù)是（ ）。 A、 B、 C、D、 窗體底端窗體頂端8已知函數(shù)且f'(1)= ，則正實(shí)數(shù)a的值為（ ）。 A、a=4B、a=2C、D、a>0 窗體底端窗體頂端9設(shè)f(x)=esinx，則f'()為 （ ） A、1B、-1C、2D、-2 窗體底端窗體頂端10設(shè)y=f(e-x)可導(dǎo)，則y'等于（ ）。 A、f'(e-x)B、e-xf'(e-x)C、-e-xf'(e-x)D、-f'(e-x) 答案與解析 答案：1. C 2. B 3. C 4. B

11、5. C 6. D 7. C 8. A 9. B 10. C 解析： 3.提示：函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)）處的切線的斜率。也就是說(shuō)，曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)）處的切線的斜率是f(x0)。相應(yīng)地，切線方程為 。解：y= = = ， ，所以點(diǎn)（1，1）處的切線的斜率是 ；切線方程是 ，即 。4.解： ，所以，在點(diǎn)P處的切線的斜率是12；切線方程是 ，即 。5.解： 6.解： ，又因?yàn)榍芯€平行于x軸，所以 ，x=±1，當(dāng)x=1時(shí)，y=-2；當(dāng)x=-1時(shí)，y=2.7.解： 設(shè)： 8.解： 設(shè)： ，兩邊平方得： ，

12、整理得 ，解得 。9.解： 設(shè)： 。例談導(dǎo)數(shù)在解高考試題中的應(yīng)用 導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)中強(qiáng)有力的工具，特別在研究函數(shù)的單調(diào)性、最值方面有著獨(dú)特的作用。本文將依托近幾年的高考試題，例談導(dǎo)數(shù)在解高考試題中的應(yīng)用。 一、導(dǎo)數(shù)在解高考選擇題中的應(yīng)用 例1（1993理第14題）如果圓柱軸截面的周長(zhǎng)l為定值，那么體積的最大值為（ ）。 A、B、C、D、 解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，體積為V，則4r+2h=l, ， V'=lr-6r2, 令V'=0，得r=0或，而r>0, 是其唯一的極值點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，V取得最大值，最大值為。 應(yīng)選A。 例2（1995年理第11題）已知函數(shù)y=loga(

13、2-ax)在0，1上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍為（ ）。 A、（0，1）B、（1，2）C、（0，2）D、2，+） 解：，由題意可知：y'<0在x0,1上恒成立， ，在x0,1上恒成立。 又a>0， ，即，或在0，1上恒成立。 當(dāng)時(shí)，由logae>0得a>1. 由2-ax>0得：在0，1上恒成立，而在0，1上的最小值為2，所以只需a<2。由上討論可知1<a<2。 注：作為選擇題即可選出答案B，可以用同樣的方法得出另外一種情況不成立。 例3（1996年理第14題）母線長(zhǎng)為1的圓錐體積最大時(shí)，其側(cè)面展開(kāi)圖圓心角等于（）。 A、B、C、D、 解

14、：設(shè)母線與底面夾角為，則底面半徑r=cos，h=sin，, , , 令V'=0, 得，而， ，而它是唯一的極值點(diǎn)。 當(dāng)時(shí)，V取得最大值，此時(shí)，此時(shí)側(cè)面展開(kāi)圖圓心角，應(yīng)選D。 評(píng)：上述幾個(gè)選擇題是當(dāng)年高考中難度最大，得分率最低的選擇題，但用導(dǎo)數(shù)求解，可以大大降低試題的難度。 二、導(dǎo)數(shù)在解高考解答題中的應(yīng)用 例1（1991年理第24題）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明：f(x)=-x3+1在（-，+）上為減函數(shù)。 分析：如果去掉證明的要求，本題就成為一個(gè)“口答題”即f'(x)=-3x20, f(x)=-x3+1在（-，+）上為減函數(shù)。 例2（1997年理22題）甲，乙兩地相距S千米，汽車

15、從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過(guò)c千米/小時(shí)，已知：汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v(千米/小時(shí))的平方成正比，比例系數(shù)為b，固定部分為a。 （I）把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（千米/小時(shí)）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域； （II）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大的速度行駛？ 解：（I）（略解） 。 （II），令y'=0，得。 當(dāng)時(shí)，是該函數(shù)唯一的極值點(diǎn)。 當(dāng)時(shí)，y取得最小值，即全程的運(yùn)輸成本最小。 當(dāng)時(shí)，而v(0,c，所以，此時(shí)y'<0， 在v(0,c為減函數(shù)， 當(dāng)v=c時(shí)全程運(yùn)輸成本最低。 綜上所述，當(dāng)時(shí)，全程的

16、運(yùn)輸成本最?。划?dāng)時(shí)，v=c全程運(yùn)輸成本最低。 例3（2002年理第19題）設(shè)，求a的值使得f(x)為單調(diào)函數(shù)。 解：，要使f(x)在R上為單調(diào)函數(shù)，需使f'(x)>0或f'(x)<0在R上恒成立。 （1）當(dāng)f'(x)>0時(shí)，即在R上恒成立， 而當(dāng)x時(shí)，所以這樣的a不存在。 （2）當(dāng)f'(x)<0時(shí)，即在R上恒成立，而，所以只需a1即可。 當(dāng)a1時(shí)，f(x)為減函數(shù)。 由上討論可知，當(dāng)a>1時(shí)f(x)為單調(diào)函數(shù)。 例4（2001年理第20題）設(shè)計(jì)一幅宣傳畫(huà)，要求畫(huà)面的面積為4840cm2，畫(huà)面的寬與高的比為(<1)，畫(huà)面上下各留8cm空白，左右各留5cm空白，怎樣確定畫(huà)面的高與寬的尺寸，能使宣傳畫(huà)所用的紙張面積最小？如果要求，那么為何值時(shí)，能使宣傳畫(huà)所用的紙張最小？ 解：設(shè)畫(huà)面的高為xcm, 寬為xcm，則。所以紙張的面積為S=(x+16)(x+10)=x2+(16+10)x+160。將代入上式得：。 ，令y'=0得，它是唯一的極值點(diǎn)。 當(dāng)時(shí)，S取得最小值，即當(dāng)高為88cm，寬為時(shí)，能使