2009年高考數(shù)學(xué)真題——江蘇卷（教師版含解析）有附加題

1、2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)參考公式：樣本數(shù)據(jù)的方差一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分。請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上.1.若復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實(shí)部為_.【答案】【解析】考查復(fù)數(shù)的減法、乘法運(yùn)算，以及實(shí)部的概念。(z1z2)i(2+20i)i202i,實(shí)部為20.2.已知向量和向量的夾角為，則向量和向量的數(shù)量積_ .【答案】3【解析】a·b|a|b|cos30°2··cos30°3. 3.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為 _ .【答案】【解析】，由得單調(diào)減區(qū)間為。4.函數(shù)為常數(shù)，在閉區(qū)間上的圖象如圖所示，

2、則 _ .【答案】3【解析】，所以，5.現(xiàn)有5根竹竿，它們的長(zhǎng)度（單位：m）分別為2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若從中一次隨機(jī)抽取2根竹竿，則它們的長(zhǎng)度恰好相差0.3m的概率為 _ .【答案】0.2【解析】略6.某校甲、乙兩個(gè)班級(jí)各有5名編號(hào)為1，2，3，4，5的學(xué)生進(jìn)行投籃練習(xí)，每人投10次，投中的次數(shù)如下表：學(xué)生1號(hào)2號(hào)3號(hào)4號(hào)5號(hào)甲班67787乙班67679開始輸出 結(jié)束YN則以上兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個(gè)為 _ .【答案】【解析】略7.右圖是一個(gè)算法的流程圖，最后輸出的 _ .【答案】22【解析】略8.在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為1：2，則它們的面積比為1：4，類似地

3、，在空間，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1：2，則它們的體積比為_ .【答案】1：8【解析】略9.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在曲線上，且在第二象限內(nèi)，已知曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_.【答案】【解析】略10.已知，函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則的大小關(guān)系為 .【答案】【解析】略11.已知集合，若則實(shí)數(shù)的取值范圍是，其中_ .【答案】4【解析】由得，；由知，所以4。12.設(shè)和為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：（1）若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則平行于；（2）若外一條直線與內(nèi)的一條直線平行，則和平行；（3）設(shè)和相交于直線，若內(nèi)有一條直線垂直于，則和垂直；（4）直線與垂直的充分必要

4、條件是與內(nèi)的兩條直線垂直.上面命題中，真命題的序號(hào)_ （寫出所有真命題的序號(hào)）.【答案】（1）（2）【解析】略13如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)T，線段與橢圓的交點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為 _ .【答案】【解析】用表示交點(diǎn)T，得出M坐標(biāo)，代入橢圓方程即可轉(zhuǎn)化解得離心率.14設(shè)是公比為的等比數(shù)列，令若數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，則 _ .【答案】【解析】將各數(shù)按照絕對(duì)值從小到大排列，各數(shù)減1，觀察即可得解.二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明或演算步驟.15（本小題滿分14分） 設(shè)向量（1）

5、若與垂直，求的值；（2）求的最大值;（3）若，求證：.【解析】由與垂直，即，；，最大值為32，所以的最大值為。由得，即，所以. 16（本小題滿分14分）如圖，在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，求證：（1）（2）【解析】證明：（1）因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，又，所以；（2）因?yàn)橹比庵?，所以，又，所以，又，所以?7（本小題滿分14分） 設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（2）試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項(xiàng). 解析：（1）設(shè)公差為，則，由性質(zhì)得，因?yàn)?，所以，即，又由得，解得，所以的通?xiàng)公式為，前項(xiàng)和。（2），令，因?yàn)槭瞧鏀?shù)，所以可取的值為，當(dāng)

6、，時(shí)，是數(shù)列中的項(xiàng)；，時(shí)，數(shù)列中的最小項(xiàng)是，不符合。所以滿足條件的正整數(shù)。18（本小題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓（1）若直線過點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程；（2）設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂的直線，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).【解析】(1) 或，(2)P在以C1C2的中垂線上，且與C1、C2等腰直角三角形，利用幾何關(guān)系計(jì)算可得點(diǎn)P坐標(biāo)為或。 19.(本小題滿分16分)按照某學(xué)者的理論，假設(shè)一個(gè)人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為元，如果他賣出該產(chǎn)品的單價(jià)為元，則他的滿意度為；如果他買進(jìn)該產(chǎn)品的

7、單價(jià)為元，則他的滿意度為.如果一個(gè)人對(duì)兩種交易(賣出或買進(jìn))的滿意度分別為和，則他對(duì)這兩種交易的綜合滿意度為. 現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為12元和5元，乙生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為3元和20元，設(shè)產(chǎn)品A、B的單價(jià)分別為元和元，甲買進(jìn)A與賣出B的綜合滿意度為，乙賣出A與買進(jìn)B的綜合滿意度為求和關(guān)于、的表達(dá)式；當(dāng)時(shí)，求證：=；設(shè)，當(dāng)、分別為多少時(shí)，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？記(2)中最大的綜合滿意度為，試問能否適當(dāng)選取、的值，使得和同時(shí)成立，但等號(hào)不同時(shí)成立？試說(shuō)明理由。求和關(guān)于、的表達(dá)式；當(dāng)時(shí)，求證：=；設(shè)，當(dāng)、分別為多少時(shí)，甲、乙兩人的綜合滿

8、意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？記(2)中最大的綜合滿意度為，試問能否適當(dāng)選取、的值，使得和同時(shí)成立，但等號(hào)不同時(shí)成立？試說(shuō)明理由?！窘馕觥?1)當(dāng)時(shí)，顯然 (2)當(dāng)時(shí)，由，故當(dāng)即時(shí)，甲乙兩人同時(shí)取到最大的綜合滿意度為20(本小題滿分16分)設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù).若，求的取值范圍；求的最小值；設(shè)函數(shù)，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式的解集.【解析】（1）若，則（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上(3) 時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，得1）時(shí)，2）時(shí)，3）時(shí)，數(shù)學(xué)（附加題）參考公式：21.選做題在A、B、C、D四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計(jì)20分。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演

9、算步驟。A.選修4 - 1：幾何證明選講如圖，在四邊形ABCD中，ABCBAD.求證：ABCD.解析 本小題主要考查四邊形、全等三角形的有關(guān)知識(shí)，考查推理論證能力。滿分10分。證明：由ABCBAD得ACB=BDA，故A、B、C、D四點(diǎn)共圓，從而CBA=CDB。再由ABCBAD得CAB=DBA。因此DBA=CDB，所以ABCD。B. 選修4 - 2：矩陣與變換求矩陣的逆矩陣.解析 本小題主要考查逆矩陣的求法，考查運(yùn)算求解能力。滿分10分。解：設(shè)矩陣A的逆矩陣為則即故解得：，從而A的逆矩陣為.C. 選修4 - 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.求曲線C的普通方程。解析 本小題

10、主要考查參數(shù)方程和普通方程的基本知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化問題的能力。滿分10分。解：因?yàn)樗怨是€C的普通方程為：.D. 選修4 - 5：不等式選講 設(shè)0,求證：.解析 本小題主要考查比較法證明不等式的常見方法，考查代數(shù)式的變形能力。滿分10分。證明：因?yàn)?,所以0，0，從而0，即.必做題第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。22.（本題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A（2，2），其焦點(diǎn)F在軸上。（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點(diǎn)F，且與直線OA垂直的直線的方程；（3）設(shè)過點(diǎn)的直線交拋物線C于D

11、、E兩點(diǎn)，ME=2DM，記D和E兩點(diǎn)間的距離為，求關(guān)于的表達(dá)式。本題主要考查直線、拋物線及兩點(diǎn)間的距離公式等基本知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.滿分10分.解:(1)由題意,可設(shè)拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px.因?yàn)辄c(diǎn)A(2,2)在拋物線C上,所以p1.因此,拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22x.(2)由(1)可得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)是(,0),又直線OA的斜率為,故與直線OA垂直的直線的斜率為1,因此,所求直線的方程是.(3)解法一:設(shè)點(diǎn)D和E的坐標(biāo)分別為(x1,y1)和(x2,y2),直線DE的方程是yk(xm),k0.將代入y22x,有ky22y2km0,解得y1,.由ME2DM知,化簡(jiǎn)得.因此DE2(x1x2)

12、2+(y1y2)2.所以(m0).解法二:設(shè)D(,s),E(,t).由點(diǎn)M(m,0),及得,t02(0s).因此t2s,ms2.所以(m0).23. （本題滿分10分）對(duì)于正整數(shù)2，用表示關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的有序數(shù)組的組數(shù)，其中（和可以相等）；對(duì)于隨機(jī)選取的（和可以相等），記為關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的概率。（1）求和；（2）求證：對(duì)任意正整數(shù)2，有.本題主要考查概率的基本知識(shí)和計(jì)數(shù)原理,考查探究能力.滿分10分.(1)解:因?yàn)榉匠蘹2+2ax+b0有實(shí)數(shù)根,所以4a24b0,即ba2.當(dāng)nan2時(shí),有n2a2,又b1,2,n2,故總有ba2,此時(shí),a有n2n+1種取法,b有n2種取法,所以共有(n2n+1)n2組有序數(shù)組(a,b)滿足條件;當(dāng)1an1時(shí)