主要矛盾微分與積分;次要矛盾離散與連續(xù);一般矛盾逐點(diǎn)與一致

1、主要矛盾：微分與積分；次要矛盾：離散與連續(xù)；一般矛盾：逐點(diǎn)與一致第2章 函數(shù)的連續(xù)性 一切宇宙規(guī)律都能用映射描述,數(shù)學(xué)的全部任務(wù)就是研究映射；函數(shù)是一種特殊的映射,分析學(xué)的全部任務(wù)差不多就是研究函數(shù).2.1 集合間的映射定義2.1 設(shè)是兩個(gè)非空集合.若是一個(gè)對應(yīng)規(guī)律,使得,有唯一的與對應(yīng),則稱是從A到B的映射,記成；稱為映射的定義域,稱為在映射下的像或稱為在處的值.例1 給定一個(gè)數(shù)列,則可將其視為一個(gè)映射,其中.映射的二要素: 一、定義域；二、對應(yīng)規(guī)律.符號 對于映射,若,則記,稱為在映射下的像.特別地,稱為映射的值域.注記2. 對于映射,若非空,則自動地定義了一個(gè)新的映射,其中.通常將記為,

2、稱為在上的限制.定義2.2 對于映射和,若,總成立,則稱映射和相等,記作=.定義2.3 對于映射,若,則稱是從A到B上的映射,或稱是滿射.定義2.4 對于映射,若當(dāng)時(shí)總成立,則稱是單射.此時(shí), 自動地定義了一個(gè)新的映射,其中.通常將記為,稱為的逆映射.定義2.5 若映射既是單射又是滿射,則稱是從A到B的一一映射,或稱是雙射,或稱是一一對應(yīng).定義2.6對于映射,若,則記,稱為在映射下的逆像.定義2.7 對于映射和,自動地定義了一個(gè)新的映射,其中.通常將記為,稱為與的復(fù)合映射.注意:一般沒有意義；即使有意義,一般也與不相等.注記2. 對于映射,和,易知和都有意義,并且.今后,直接將其記為而不至于產(chǎn)

3、生誤解.特別地,對于映射,記 .例2 記為恒等映射,即.若是一一映射,則顯然.練習(xí)題2.1() 1,2,3,5.2.2 集合的勢術(shù)語 若能在非空集合和之間建立雙射,則稱“與具有相同的勢”,記為.顯然,“”是某些集合之間的一種等價(jià)關(guān)系,即它滿足(1) (自反性)；(2) (對稱性)；(3) (傳遞性).定義2.8 設(shè)是一個(gè)集合,.(1) 若,使得,則稱是有限集,的勢為；空集也稱為有限集,其勢為.(2) 若不是有限集,則稱是無限集.(3) 若,則稱是可數(shù)集.(4) 若既不是有限集,也不是可數(shù)集,則稱是不可數(shù)集.(5) 若是有限集或可數(shù)集,則稱是至多可數(shù)集.集合的勢的大小 設(shè)和是集合.若與的勢不相同

4、,但與的某個(gè)子集具有相同的勢,則稱的勢小于的勢.例1 整數(shù)的全體是可數(shù)集.證: 如下圖所示,構(gòu)造一個(gè)雙射 ，即 是從到的雙射.例 2 若是無限集,是有限集,則().證：不妨設(shè)和.將的全體元素排成,再取的可數(shù)子集.構(gòu)造一個(gè)映射,保持其余的元素不動,則是從到的雙射.定理2.1 可數(shù)集的任意無限子集是可數(shù)集.證： 設(shè)是可數(shù)集,是的無限子集,要證可數(shù).將的全體元素排成后,的全體元素便自動地排成了.于是,是從到的雙射.這說明是可數(shù)集.定理2.2 若每個(gè)都是至多可數(shù)集,則它們的并集也是至多可數(shù)集.證：將的全體元素排在第行,如下所示，可將這些元素排成一行.在這一行中去掉前面曾出現(xiàn)過的元素,剩下的那些元素所組

5、成的集合便是.這表明是至多可數(shù)集. 定理2.3 有理數(shù)的全體是可數(shù)集.證：(1) 是可數(shù)集.,記,則,故至多可數(shù),因而是可數(shù)集.(2) ,可證,故是可數(shù)集.這是因?yàn)槭菑牡降碾p射.(3) 是可數(shù)集.定理2.4 是不可數(shù)集.證：(反證法)假定能將的全體元素排成,用10進(jìn)制小數(shù)表示為 (有盡小數(shù)采用一種固定的表示法).,取滿足,則,但不會是中的任何一項(xiàng).一個(gè)值得注意的例 所有集合的全體不是集合!證:(反證)若是集合,則和=也是集合.因?yàn)?故兩者必居其一.這顯然與的定義相矛盾.練習(xí)題2.2 () 1,2,3,4,6.2.3 函 數(shù)函數(shù) 稱映射是上的函數(shù)；當(dāng)是實(shí)數(shù)集時(shí),稱稱映射是上的單變量函數(shù),或一元函

6、數(shù).函數(shù)的表示法 通常有公式法、圖像法和表格法.函數(shù)的和、差、積、商 若都是上的函數(shù),則可定義下述四個(gè)新的上的函數(shù)；固定的,；,其中.術(shù)語 若單變量函數(shù)是單射,則也是單變量函數(shù),稱為的反函數(shù).定義2.9 對于單變量函數(shù),若當(dāng)時(shí),總成立,則稱在上單調(diào)增加(遞增)；若當(dāng)時(shí),總成立,則稱在上單調(diào)減少(遞減)；這兩種單變量函數(shù)都稱為單調(diào)函數(shù)；還可自然地定義嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)(注意與單調(diào)數(shù)列的比較).定理2.5 嚴(yán)格遞增函數(shù)必存在嚴(yán)格遞增的反函數(shù)；嚴(yán)格遞減函數(shù)必存在嚴(yán)格遞減的反函數(shù).證: 只需證嚴(yán)格遞增函數(shù)是單射即可.因?yàn)楫?dāng)時(shí),和恰有一個(gè)成立,故和恰有一個(gè)成立,即.單變量函數(shù)的圖像 稱平面點(diǎn)集 為的圖像.命題

7、 對于嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),的圖像與的圖像關(guān)于直線對稱.證: 因?yàn)橹?例(,6) 設(shè),則存在,使得可被整除.證: ,=.注意到,令便得到=整數(shù).練習(xí)題2.3() 3,4,7,8(1),9,10,11.問題2.3() 1,3(1).2.4 函數(shù)的極限實(shí)數(shù)集的極限點(diǎn)(或凝聚點(diǎn)) 設(shè)是實(shí)數(shù)集,.若,的去心-鄰域總含有中的點(diǎn),即滿足,則稱是的一個(gè)極限點(diǎn)(或凝聚點(diǎn)).例1 (1) 等沒有極限點(diǎn)；(2) 每個(gè)都是的極限點(diǎn),也是的極限點(diǎn)；(3) 每個(gè)都是的極限點(diǎn)；(4) 若,則是的極限點(diǎn)是的極限點(diǎn)；(5) 的極限點(diǎn)只有.命題1 若是的極限點(diǎn),則或者存在嚴(yán)格遞增的數(shù)列收斂于,或者存在嚴(yán)格遞減的數(shù)列收斂于.證: (1

8、) 是的上確界.此時(shí),存在嚴(yán)格遞增的數(shù)列收斂于.(2) 是的下確界.此時(shí),存在嚴(yán)格遞減的數(shù)列收斂于.(3) 不是的上確界,也不是的下確界.這種情形不會出現(xiàn),否則與是的極限點(diǎn)相矛盾.函數(shù)的極限 設(shè)是上的單變量函數(shù),是的極限點(diǎn),是常數(shù).若當(dāng)很小時(shí),也很小,則稱當(dāng)時(shí)趨向于；或稱當(dāng)時(shí)有極限.定義2.10設(shè)是上的單變量函數(shù),是的極限點(diǎn),是常數(shù).若,使得當(dāng)時(shí)成立,則稱當(dāng)時(shí)趨向于；或稱當(dāng)時(shí)有極限；或稱當(dāng)時(shí)以為極限；或稱在處有極限.“當(dāng)時(shí)有極限”這件事用數(shù)學(xué)符號表示成 或 .注記2.1 將定義2.10中的“”換成“”；“”換成“”；“”換成“”或“”后，仍然可作為“當(dāng)時(shí)有極限”的定義.這里,和是固定的正數(shù).注

9、記2.1 “當(dāng)時(shí)是否有極限”這件事與是否在處有定義無關(guān),只與在的去心鄰域上的定義有關(guān).這里,是固定的正數(shù).例2 ,；.證: 當(dāng)時(shí)有.故,使得當(dāng)時(shí)成立,故.定理2.6（極限的四則運(yùn)算）設(shè)是上的單變量函數(shù),是的極限點(diǎn).若,則(1) ；(2) ；(3) 在附加上條件“處處不取零值和”后，.定理2.7 （比較原理）設(shè)是上的單變量函數(shù),是的極限點(diǎn).若,使得當(dāng)時(shí)成立,并且,則.第一個(gè)重要的函數(shù)極限 .證: 當(dāng)時(shí),有,故,.由比較原理便知=0.定理2.8（復(fù)合函數(shù)的極限） 對于單變量函數(shù)和,若,并且,使得當(dāng)時(shí)成立,則.證: ,使得當(dāng)時(shí)成立；,使得當(dāng)時(shí)成立；令,則當(dāng)時(shí)有,故.定理2.9（函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)

10、系） 設(shè)是上的單變量函數(shù),是的極限點(diǎn),是常數(shù).那么, ,總成立.證: “.”設(shè).,使得當(dāng)時(shí)成立；,使得當(dāng)時(shí),成立.故當(dāng)時(shí),成立.“.”(反證法)假定,使得,都滿足.這樣便有,從而.這與,相矛盾.例 3 設(shè),是的極限點(diǎn),是上的單變量函數(shù),則.練習(xí)題2.4() 3(1,3),4(2,4),6,9,10.定理2.10（一個(gè)很有威力的定理Chauchy收斂原理）設(shè)是上的單變量函數(shù),是的極限點(diǎn).那么,在處有極限的充要條件是,使得當(dāng)時(shí)成立.證: “必要性.”設(shè)在處有極限,即,使得當(dāng)時(shí)成立.故當(dāng),時(shí)成立.“充分性.”給定.設(shè),使得當(dāng)時(shí)成立.,使得當(dāng)時(shí),都有故.這說明是Cauchy數(shù)列,從而存在.于是,當(dāng),且

11、時(shí)成立.令便得到,此即.定義2.11 (僅對單變量函數(shù)有意義) 設(shè)是上的單變量函數(shù),是的極限點(diǎn).若在處有極限,即,使得當(dāng)時(shí)成立,則稱當(dāng)時(shí)趨向于；或稱當(dāng)時(shí)有右極限；或稱當(dāng)時(shí)以為右極限；或稱在處有右極限.“在處有右極限”這件事用數(shù)學(xué)符號表示成 或 或 .類似地,能定義在處的左極限.容易看出,與單變量函數(shù)的極限有關(guān)的所有結(jié)論都能推廣到單側(cè)極限的情形.命題2 設(shè)是上的單調(diào)有界函數(shù).若是的極限點(diǎn),則在處必存在右極限；若是的極限點(diǎn),則在處必存在左極限.證: 不妨設(shè)在上單調(diào)增加,是的極限點(diǎn),要證在處存在右極限.記.,使得.令,則當(dāng)時(shí)有,從而,故,.定理2.11設(shè)是上的單變量函數(shù),是的極限點(diǎn).那么(1) 當(dāng)不是的極限點(diǎn)時(shí),；(2) 當(dāng)不是的極限點(diǎn)時(shí),；(3) 當(dāng)既是的極限點(diǎn)又是的極限點(diǎn)時(shí),.定理2.12(函數(shù)極限的唯一性) 若存在,則它是唯一的.定理2.13(局部有界性) 設(shè)是上的單變量函數(shù),是的極限點(diǎn).若存在,則和,使得當(dāng)時(shí)成立.定理2.14 設(shè)是上的單變量