工程數(shù)學(xué)線(xiàn)性代數(shù)課后答案

1、同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系習(xí)題一習(xí)題解答1-利用對(duì)角線(xiàn)法則計(jì)算下則三階行列式;201abc(1)L-4-14 fb£awt-183cab111JC7H+ JabC«tyX+ yX2 a臚r2X+ jXy解(1)原式二2X(-4) X3 + 0X (>1)x(-1)+1X1X8-lx(-4)x(-l)-2x(-)xg-0xlx3=-4?(2) 原式=ach bac 十 cba - c* - a3 - 61 3abc - a3 b3 cy i(3) 原式二1訃弋2十 1弋+ 護(hù)一=be1 + ca1 + ab2 ba1 cb2 # Je2(b a)+ ab(ba) c(bL - a1

2、) ac)(c £?);(4) 原式=工(鼻 + jx(需+ y) + (jc + yw (工 +，F(xiàn) - 一 j?=-2(宀；/)2. 按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序求下列各排列的逆序數(shù)：(1) 1234；(2) 4132；3421：2 4】3：(5) 13(2jj 1)2 4(2?>)；(6) 13(2« -1)(2n)(2n -2)2*解(I)此排列為自然推列*其逆序數(shù)為(h(2) 此排列的首位元素的逆序數(shù)為0;第2位元素1的逆序數(shù)為1 ;第3位元 素3的逆序數(shù)為X末位元盍2的逆序數(shù)為2令披它的逆席數(shù)為0+ 1 + 1+2=4;(3) 此排列的前兩位元素的逆序數(shù)均為

3、山第3位元素2的逆序數(shù)為2;末 位元素1的逆序數(shù)為3披它的逆序數(shù)為Q + 0 + 2 + 3 = 5;(4) 類(lèi)働干上Ifi,此排列的從首位元素到末炕元素的逆序數(shù)依次為0、仇2, 故它的逆序數(shù)為0 + 0十2+1=3：(5) 注意到這2川個(gè)數(shù)的排列中，前沖位元累之間投有逆序?qū)Α钡谕锌?位 元素2與它前面的亓-1個(gè)數(shù)構(gòu)成逆序?qū)Α惫仕哪嫘驍?shù)為打-X同理，第u+2 倍元察4的逆悍數(shù)為« -2；未位元素2»的逆悸數(shù)為0*故此排列的逆弊數(shù)為(期+柑-2) + * + O = -h(j< - 1);(6) 與(5相仿，此播列的前« + 1位元累沒(méi)有逆序?qū)?第算+2位元

4、累 (2n-2)的逆序數(shù)為2傑« + 3位元素2n -4與它前面的2” -3,2舁-12心 2n2構(gòu)成逆序?qū)?，故它的逆序?yàn)?廠(chǎng)r來(lái)位元素2的逆序數(shù)為2(/t -1),故此 排列的逆序數(shù)為 2 + 4 + 4" + 2(« - 1) = /t(« - J).3. 寫(xiě)出四階行列式中含有因子心"卻的項(xiàng).解 由押列式建義知這項(xiàng)必還含有分別位于第3行和第4行的某兩元累* 而它們又分別位于第2列利第4列，的叱和弘或和.注您到排列口24與1342的逆序數(shù)分別為1與2,故此行列式中含有的項(xiàng)為412 42 4112 0 23-121: 10 5 2 012 3

5、20 11750 6 24.計(jì)算下列各行列式:3同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系ah陽(yáng)hfac一 cd叮aede-efa-I001b-101202120241244口0-72-410520n-IOr,0-152-2001170 1011711202|1202011心* 15門(mén)P1b7°-152-20°017850-72-4；1Io0945-1dD=0 （因第3.4 tT成比例）;12222515102I04636=0 (固有兩行相同”4同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系5同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系-bcf-1 1 囂C| T tb c z * abcdef1 -1 1bcC*3 T F1 1 -1 4abc

6、(Uf *jfi a(3) D adfrj v aabcdef-L 1 10 0 20.2 00 i +沙 1 b0 - 10 01 + a-1 c0 -I1 4-10ad1 + cd0=(1 + ai )(1 4* ad5.求解下列方程：-1(1)1互不相等.鳴(7(F解左式=肓芍=（*）(龍 + 3 尤十3)1 + ad-1 1+cJ=0$其中 a,b,c=(工 + 3)(/3).于是方程的解為:j| = 3rx2 =V3, jj = *75;6同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系(2) 注意到方程左式為4階范德蒙德行列式，由例12的結(jié)果得 - b)(ct - C ) ( A -匚)=0.因sb"互不

7、相等，故方程的解為山產(chǎn)力皿=C6證明:a2 ab b12a a + b 2 = (a 一 fr)3:1 1 1ax + by ay + bz az 4 biay + ba az + bx qjc 4- byaz + bx ax 十 by ay + bz= (/ + ")yz7同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系卅(a + l)2 (口十 2)' (a -h3)2 61(6+l)z (6 + 2)2 GT)?X (c 十 1)，(c + 2)12 十 3尸f (rf + 1)2 (T + 2 尸 2 + 3 尸aa1bed b2 c2 d1 b4 / J4=(a - b)(a- c)(a - db

8、- c(b - d)(c - d)(a + b c d)證a3 - f?1 ab -子 b22(a b) a - b "lb0 0 1fi *2c*i0 a b 260 0 1(L左式=(a - 6)J * 右式;(2)將左式按第1列拆開(kāi)得ax ay + bz az + biby ay + bz az + bx左式=ay az + b工 ax + by十bz az + bx ar + by=aD, + bD21a z cur + by ay + bzbx ax + by ay 4 bz#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系8同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系其中ar + Ztr3：十妙uy + bz“一屁ia y az +

9、Aj? x s at + by yj u.x + byC7 一 «C Iar + uj I by ay 十 bzy haz + bxZ -Tg + by工 yay + bzjry士y% X1z工 y#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系H ， 土于是D = D + BD廠(chǎng)滬)y =上卜右式*z jt y(3)左式=c; 2« + 1b1 2Z? + 12w + 326 + 52c 4-3#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系2d + 3宀一rtri-ao左式1000ftp gfF2a + I2d + l2r + I2卄11b ab(tj - a22221=0 (因有前列擁同n1d - a- a)(b1

10、 - aa ) J(f-J)屮(屮衛(wèi))'(b q )(rf - abed(k + a) cl c a (d a)#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系Fi -& + a )rj:X b - a)c ad a)0 c b d b0 x yb d-bi y具中：j: = c：(r + </ > (Zt)(i + ii) c(cJ + ac - at c(q + + c)(c - 6)： 蘿 口屮(ti + a ) - 6d(Z»+u)J(a + b + rf )(/ fr) L' ( U + Z* + C ) t/(u + b + tl)-(c - b)(d

11、 b)d(u + b + d - c(a +c)-(c b)(d b)(d c)at + i) + dz - c£= (c-/>)(d"-fr(d-c)(a + fr + c + if)t禺此*左式=(存-口)(<* 應(yīng))(川一血)(一巾(ti _ f>)(d - r)(a + Zf +匚十川=右式” (5) EE- 遞推按一按第1列廡開(kāi)，以建立遞推公式.-1JT - 1%嚴(yán)嗎1”4K«=工D. + < -l)zra4 =工亠 + %” 又歸納基礎(chǔ)為：(注宜不是工人于是D#t, -jcD, + a.=j( jD,-( + Ht)* flaj

12、f"D + a,_ i x"1'1 + *- + a( j: + an % + atx + ft； j + + ua -證二按最后一行展開(kāi)猖9同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系冋7.設(shè)«階石列式"曲(務(wù)人把d上下翻轉(zhuǎn)咸逆時(shí)針碇轉(zhuǎn)g叭或依副對(duì)甬線(xiàn)翻轉(zhuǎn)，依阮得10同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系證 仃)先計(jì)算口，為此通過(guò)交換行將久變換盛，從面找出D,與D 的關(guān)軋D,的杲后一行是D的第I行杷它依次可前面的行交換直至換刮第I行共進(jìn)行刑-L次仝換;這時(shí)昴后一行是D的第2行，把它依次與前面的行交 換，直至換到第2行，共世行« -2次交換；一，玄至毘后一行是D的第n-1 行再通過(guò)一次交換

13、將它換到第卄】抒,這樣就把D,變挽成D.共進(jìn)行(n - I) + ( M - 2) +1 = -5-ii(h _0衣交擺，故D嚴(yán)(1扣“和入注 T上述交撫行列式的行(列)的方淡*在解腫時(shí)，經(jīng)常用到.它的特點(diǎn)墾 在把嫌后一行換到某一行的同時(shí)保捋其余” -1牛行之間原冇的先石次序(但 斤的序號(hào)可盅改亞*才同理把D產(chǎn)右翻轉(zhuǎn)所得行狎式為(-1汁小"D.計(jì)算注意到D,的第1 2行恰好依次是D的第1列，抜若把0上下翻轉(zhuǎn)得戸”啊D1的第】，2，行依次是D的第1, 2宀列即DD于是由I)03 = (- l)i"<u'n(3) 計(jì)算D*注倉(cāng)到芝耙口逆時(shí)針施轉(zhuǎn)90*方；則戸的第仁

14、2,小 列槍好是D的第科-1,1列，于是再把D左右關(guān)暮就得到D.由(D之注 及.有nl = (-1)T"<J'*1 Du = D.逹本例的結(jié)論值礙記威.即對(duì)行列式D作轉(zhuǎn)置、依副對(duì)誹線(xiàn)翻轉(zhuǎn)、養(yǎng)轉(zhuǎn) !8所得行列式不變；作上下?tīng)澽D(zhuǎn)，左右胡轉(zhuǎn)、逆(順時(shí)針旋轉(zhuǎn)？(r所得行列式為 (-"討0.8.計(jì)算下列各行列式(2為h階行列式人uI(1) D嚴(yán)*其中對(duì)角線(xiàn)上元索都未寫(xiě)出的元素都是(h1a I>(ci 1)Jl(il f!)"(a - I)*-1 (a - n>*_捉示：利用范腮蒙鳴行列式的結(jié)果. d1h =bx£其中未寫(xiě)出的元索都是S(5

15、) DdetCaJ.其中劃=IDm =，其中旳巴0工0.(1) ffi-JII T把6按第一行展開(kāi)得0 U0D” =護(hù) + (-1)小峯第一刑圧開(kāi)a1 1)-解二由例10(2) +M+ D是核材例*中行列式的一般形式，它迪一牛菲常頁(yè)用的行列 式.在且后各章中有不少應(yīng)用.解利用各列的元素之和相同,提取公因式.= (x-g)"，LX + (ji - I )a,(3) 9把所給行列式上下SI轉(zhuǎn)，即為范穗眾德行列式，若再將它左右翻 轉(zhuǎn)，由于上下嘲轉(zhuǎn)與莊右擁轉(zhuǎn)所用交換次數(shù)相等，枚行列式經(jīng)上下翻轉(zhuǎn)再左右翻 轉(zhuǎn)(相當(dāng)于轉(zhuǎn)怡(T,舉看題7)其值不變.于是按范禪蒙德行列式的結(jié)果可得1 1 * 】a -

16、 n a - jf + 1a_*口hi =*，* =匚(i j):文 a«+i(u - rr)* (a - Fi + ),r*'* a"(4) 解 本題與(Hlltt仿，懈法也大致相同，用遞推法. » ! BTi0- Dk.-AiW 10 y（斗心嘔詢(xún)即有遞推公式D* = (aKd. f.QD我另一方面,歸納基珊為0廠(chǎng) 5? 町利用這些結(jié)果，遞推得I G如D* = (a.d.-卜山.)(4右一乩角)=| (©乩-). I久=1-1-1V *»V V1-1(6)解 卅曲行列式牝?yàn)樯先男蝺恿惺?為此.從第2置觀(guān)*各行均減去 第I行'

17、;得與4ll.3«tt的行列式215同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系茸中b = 1十叭十叭舟+ =叭（1 * £右）于是h0乍右）1 -1 2D的元的代詼余子式i己作兒求 I13-40 1 -53-SA” + 3Ajj 2 Ajj * 2A” .媲 與例門(mén)相仿，加丸零于用13 -2.2替換D的第 3行對(duì)應(yīng)元素所福行列式.即#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系16同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系2 2 4-2A+2Am=31-11+ 2220I3-201I-530H" 2-1401111-100-1-2#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系x> + 5工4 1,= 24.10.用克拉歐法則解下列方程組：JT| + Xi

18、+ Xj + J：4 = 5;t. + 2x2 - .Ft + 4z* = - 2;(1)彳 宀2jT| - 3 J"3 5 =1SX| + Tj + 2.rj + I = Ot#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系11111111D =12-14rl I1 -232 -3-15也-10-5-3-7312Lil二 Jr02 -18111ii01-23Lii1738 142;r00-13«n0151400-5#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系5l1ll15111-22-14 _21i.3305 2- 3 1- 51屯* II 3 20-4012n I，+ '2rt| -1C-10917同濟(jì)大

19、學(xué)數(shù)學(xué)系#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系按f3展開(kāi)2723i -10-22-)0-1-2 3-3 -7-L 8#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系18同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系-7-2-1233-15-13-3123-13-31 -284;1151115112-2401-732-3-2*5n-2n0-5-12«731611r40-2- 158331-7E 1-4780 1-2914=_42&#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系-29115|1L】5J>21-2口 -r*0I 7! -7-2 -31"2r*0-5 7J -12r4 - Jg31210-2 71I15+ 5r.01-2-713" 47= 142,+ 2r

20、t°0-13-47-5-2900-5-29(*)由克拉默法則'得5 & 0 05 6 06 0 015 6 0JK 幵S15 615 60 15 60 1 50 1 50 D I 5D二550甘石2"二甘二3,斗二卡二-114,<3于是 D = 325-114 = 211|5 6 06 0 015 6一5 6 0|u L 5L 5 6me* 武Hr c； Ri £ i .亠131 ；5100160500Dj =1060056+160(J05601505(J115=-19 + 180= 161 t56015 05 6 00 1 6-1 5 00

21、 0 50 1 6= 5-114 = '109;56 0111565 6 015 & 0做心MJF0154-15 6015 (J0 0 10150 0 1 1|副*】式1 + 65 = 64.由克拉默陸則，得20同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系miXa0, iip-nr_ _ 64巧一萬(wàn)二-血山產(chǎn)#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系口何a屮取何值時(shí)再齊次線(xiàn)性方程俎AX) + j3 +-0,彳JT *尸J十直1 = 0, 站 +2/43?! +Xj=0 有非零癖？解 由定理寸此時(shí)方程組的暴數(shù)行列式必殖為0H 1- - A -P o 故只有當(dāng)/i = 0sEa = 1時(shí)方程組才可能有非零給當(dāng)尹7原方程組

22、城為Zxi + xa + Xj D0»X| + x( = 0.顯然X, = hxj I *- 4 tXj53 - 1墾它的一平韭零解;當(dāng)八口 1佩方程組成為f I + Ji + j i 0»* 工* + 巧二0*q +2彈“十 z3 =Q顯然心=-1 /嚴(yán)XhL I是它的一個(gè)非零屏.因此當(dāng)嚴(yán)=0或；時(shí)方程組有非零解.注 定理5(衣定理5J僅表明齊次巍性方程給蜜有非零解它的系敗行列式必為零.至于這條件是否充分將血集三章中予以解険，目前還是應(yīng)驗(yàn)證它有非 零解.下飆也是同樣情形*12.問(wèn)A取何值時(shí)，齊洗線(xiàn)性方程組1(1 A)jj -2Ji +4ti iS012it + (3 -

23、iT +工汙xi +xa + (i-A)±jO有菲零解？若方程級(jí)有非零解，由宦理它的系數(shù)行列式D = 0.I1;< - 241iii - aJ A1£d 一 A11 111 - A1 - A-241t1-Ar -2rt01 - A2A-Fj. (1 * If F)0 - 3 + A4-1-A2A-Lfl + fi1 7aw 3 + i 4 (1-W1 -3 31 - JA (A 3) = A(A 2)(A-3),故D = 0 14 & = 2或人=3并且不難臉證:當(dāng) X=0 時(shí),工| = - 2.巧=1*工=1：當(dāng)人=2 時(shí),jj = - 2. j*3 = 3

24、* 主* = 1；S d匸3時(shí).6二1.比= 5.4二2炮是該方程削的非零儕.所収當(dāng)A =0,2,3時(shí) 方程組有非零解.習(xí)題二習(xí)題解答22同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系I.計(jì)算下列乘積:L'3-1(5) (X33122» .113”(2) 1.2,3)(一 L2)i23同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系24同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系3(2) 2L(-1兒嚴(yán)-2 4V-12k5" 1-36jN I13114 010-12U-13 4)3k41-31用 02-7-5auX| + UiiXi + 4“工*#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系=+ ajjXt Jj + flu Ji J-j + 戊“工2上1 + 乩曲工:卡+

25、 空甘工工+ aa-ri + 肚 JJ 工;a lt r | + nIF J-J + yy + 24* 章r2 + 2a uTj T j + 2 r3 x3.34B-24 及小-2 32 *4S】卩§g*巾-56(290,01524=0-15184270于是3AB-2Afl1J22758'-5 69 0.112-21322172029-2#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系因At = A.即A為對(duì)稱(chēng)陣、故#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系9thy=- 3±J + Xt、=2tt + sltXiK -ij +5 8-56Y =yi也=Ej.和陣形武為在這些記號(hào)下，從蚓對(duì).,孔的線(xiàn)性亞換的矩0A Ji =

26、AH= 023.已知兩個(gè)St性變換Ti =+ Juy 2劃 + 3* + 2y”求從Z| , TZ tTj到JCi rX3 *X的線(xiàn)性變換'解依氏禧卿個(gè)線(xiàn)性變換寫(xiě)成矩陣仍武;2 0 1-3I O'q4其中4 =-2 3 2=2 0 1幷別為剤般的農(nóng)臨矩陣=Jl4 15.0- 1 3jE.25同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系X= AY = A(BZ) (AB)Z CZt2 0 1-31 IT 613-2 3 22 0 112-4 g.41 5j0-1 3j-10- 115AB =即有j；i = 1魚(yú)1 一4 豈 + 9zjbTj = 一 ID" - tj 16zv3)-(； X(1) A

27、B -BA 嗎？(2) (A +2AB + 嗎？(4 + B)(A - B« AJ 刃嗎?#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系(3)故心認(rèn)(2) (A + B)2 -(A + B)(A + B) - 4a AB + 個(gè)由故+ M4H2川仃從和(4 + 5)42 +24B+ B3；(3> (4 + B)(A -= Af + BA - AB -由(I人 AEMBA ,故 BA 從而(A +i*)(4B久舉反例說(shuō)盟下列侖趙處錯(cuò)課的(1)若 A2Ot則 A = O;若 AA A = O 4=E;若 AX = AY,且則 X = F.解(1)取 A - (&#

28、176;A2 = Otffi 4=0;0 0/取A = Q 0),有屮工兒但AH O且AE;取T和叫；)"彳;存EW宀工6 但6.設(shè) A = (； ：) 求直接計(jì)算得A=1 0屮 0 入U(xiǎn)U )26同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系C胱:皿朮:卜翼)一般可誨(2 3)#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系事實(shí)上當(dāng)£ = 1時(shí).(2-3)式亂然成立；設(shè)當(dāng)k = n時(shí),(2.3)武底立，那么當(dāng)i = w + 1 JHf#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系由歸納扶*知d.3式成立.A107. iS .4 =DA1，求材.004解把A寫(xiě)戲祠個(gè)矩陣之和A0 LD1 NA =0A 0+0c L=；戕+ B.00 A.00 0,Q

29、100 01其屮三拚是陣0 01摘足0 00= O (Jfe>3).,0 0c0 0A#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系27同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系于捷 A* 二（AE+ HF+K + H-Cfi*卑 UfE + UfTR+ （：鼻皿 /8.設(shè)幾為沖階矩陣，且A為對(duì)稱(chēng)陣，證明BtAB也墾對(duì)稱(chēng)陣. 證覘據(jù)矩陣乘積的轉(zhuǎn)餐規(guī)則+有 n¥2”#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系（Bt AJ）t = JUt（Bt）t - Bt« （因 A 為對(duì)稱(chēng)陣）.故由定義*知BrAB為對(duì)稱(chēng)陣.9, 設(shè)為/都是r階對(duì)稱(chēng)陣證明AB是對(duì)稱(chēng)陣的充要條件是AB - B4 . 證因 AT = A = K.ftAB為對(duì)稱(chēng)陣= Afl <BT4T

30、 = ABBA = AB求下列矩陣的逆陣；#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系cos &（3）4-4Lisin 0(1)由二階方陣的求逆公武(敦材例10)得#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系/cos &_ sin dY"-1 ccs 9sin0 ain &ct» & ieos' 0 + sin! 8 sm 9CO30-m13-4-B.-322614%-%_2B2一 16旳01(3) HI Al-1 234-I-2= 2H0,敵百可逆并且5 *414-22 -11Mn-41* -4*1=4三 _2、Mi(=Mu =;11-=15;=6 *M 陽(yáng)=M© 5 J| =

31、 -32'Af星-152-4=-14»M 掃=4于是413cos d 血 &sjn & cos 928同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系I引a工0t -i是有意義的，并且倒，氛于是矩陣B =AB =diag(d| , 5 m, )diag(右*占)曲定理1的推論.知A町臥且& J 滬加（右右*討.注 本題結(jié)論值得記取*可普作公式用. 11，解下列矩陣方程：C 一;0101(11-43100X杠012(1-i0JJ1Q1-20.22解(門(mén)因矩陣約行列式=1不為零*故它可從面用它豹逆矩陣左乘方程兩邊得+4 -fi2 IH4 DC 1)=(o V(2)記矩陣方程

32、為A于是1(:-%1 MiM1SMU1叩*1 3i73 2/z-36154)=-2 2-4，J 2°kc =X =BA '.則新陣方樨可寫(xiě)為1y3 -23 0T11AXB-C.o 13 -23 029同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系因lAl =6O.|B| =20,故A均可逆.依次用A W B '左柬和右乘 方程兩邊得42訓(xùn):Io Q0； fL0 fll 01J LO0o oo 1的行列式都是-1 故L山#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系均是可逆陣并且0 1 O1-1fo 1 1 0 0-11 0 o11 0 0=1 0 00 0 1=0 0 10 0 Lo in】o,0 1 0J010

33、故得 X =1001.001.0 ) 01 h1 0 0 2-40-2一 4(»-23I0( n112利用逆矩陣解下列線(xiàn)性方程組:Xi +2jt3 + 3xj = 1 (1) 2xj 2j3 +5列=2*3zt +5-r3 +- 3;解將方程組寫(xiě)作矩陣孫戎這里鼻為系數(shù)矩陣，工"眄，軌I1 2 3 因|Al= 2 2 53 51Ji - Xi -= 2,(2) < 2叭- 3x3 = 11+ 2xi -5j；j -0.孔)丫為未知數(shù)矩陣為當(dāng)數(shù)矩陣=13工0.故A可逆于是1 23' 11X = A1 J -2 -1(2) aiAl = 2 -

34、132-1-3 -3HD、故A町逆，于是i 1-L-1 122-1-3132-5UI153'0=07q .30 0 11 1130同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系即右#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系嚴(yán)產(chǎn)3,L嚴(yán)313.巳知線(xiàn)性變換円=2* + 2力 + ys»侶二3y)+力+ 5劃».百=3比*2力+ 3旳求從磴量工工2 "3到塑蚩>i *>2*3的線(xiàn)性變換，解 記嚴(yán)心)T珂出亠小八則線(xiàn)性變換的矩陣形式為X-2 2 1Ay.其中呂為它的系數(shù)極陳”曲ckt/4= 31 5故必是可逆陣，于13 23,是從變位r n 封變址山*“卅的線(xiàn)性變撫的矩陣畛式為 yA'

35、;lx.-7-495L ,-4 1 = rA * = A ' =63 一7 ,A3 2-4j于是>| n _ 7 叭-4jt2 + 9列，彳力+ 3叭-7jjt14. 設(shè)A為三階矩陣訂求丨(為) 5" |解因IAI =*工0,故A可逆.于是由A' = lAlA-yA-* 及(2A)得(24)'1 -5A"=昇“ 一號(hào)八=-2A'兩端取行列式褂|(2A)*1-5A J = |-24*,| = (-2)slA|*, = -l6.注先化簡(jiǎn)矩陣，再取行列式拄往使卄負(fù)變得簡(jiǎn)單.0 3 315. 設(shè) A 二1 1 0 ,AB = A + 2BP求取

36、-I 2 3解 由 AB-A +2B=>(A -2E)B Af-23 3因 A -2E =-1 0，它的行列式det (A -2E)= 2Ot故它是可逆陣.用(A -ZE)*'左乘上式購(gòu)邊得32同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系101020.101、且 E = A1 + B 求0 6 60 3 31-246-12 3、2 2 0.【10#同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系解 由方程E=A*+ B 合并含有未知矩陣B的項(xiàng)，得(?4-E)B = A,-E = (A-E)(A + £)-00.10 110 '其行列玄dec(A - E)= - 1工嘰故A - E可逆*用0山 (A-E)

37、9;1左乘上式兩邊即得2 0 1B = A + E - 0 3 0,1 0 2,117.設(shè) A =d5ag(l, -2JJ.4 ' BA =2BA -E求 H.解 由于所給矩陣方程中含有A及其伴隨陣盤(pán)'，因此仍從公式山血= MIE著手.為此，用A左乘所給方程兩邊，得AA ' BA =2AflA t又JA| = -20t故A是可逆矩陣，用A r右乘上式園邊，得AB=2AB -8£>(24 + 2£)1# = 8£>(A + £>B =4E.注意到 A + E = diag(!, - 2 J) + ding( 1.1

38、,1)-diag(2t - 1.2是可連矩陣，且于是B=4(A + £)*' -diRg(2, -4,2). 已知矩陣的伴隨陣 A * =diag(hljt8),且 ABA*1 =BAX +3E,jR B.解 先由A來(lái)確定|心|*由題意知>1存在有4- - | A | A'1,得 |A*l=8,#|A|=2.再化簡(jiǎn)所給矩陣方程ABA"1 =曲"+3E=>(A- E)B4_, =3Ef ( A - E) B = 3A=(E-A'，,)B = 3E.S I A I =2知 A _1 =' = ydiag(l*U .8) -

39、diagy,y ,y t4 j,(444'34同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系得(E-A l) "=diag(2,2t2t*-jj4干是B = 3(E-A1羽擊昭(2*2.2,-寺卜我叔6£4-i).19. ft P"“二 A,其中 P=：)tA = ( 0 ；)求 A”.解 本題與教材例13相仿.因P lAP = A,故 于艇 A" =PAnP_, ' 叮；：)鳥(niǎo))"： ;)' if; *:)(;)(-: 一:) _ ! J 1 + 2'*4 + 2u/2 7312 732)_7- J" -4-2nJ -663-664

40、/1I1-120.設(shè)AP = PAt其中卩=i0-2.A =1J -11i5求 y() = A*C5E-6A + A2)111解 因|P|- 10-2 =-6A0,故P是岡逆陣于是由AP = PA1 -11得A = PAP 并且記多頊?zhǔn)绞模ü?工'（5-6盂+ ）有 護(hù)十P因A是三階對(duì)飭陣，故A ) = diag( f>( - 1).護(hù)仃= dieg( 12,010),1 1于是 (A)= 10Ll -1 l'l 0 = -2100I 0 -2 L 0 .1 0L 11=4 t L 1 .I 111注，曲于氛応)除元外均是乩故在求P肘，只簫計(jì)St P的(1元J2J) 元J

41、3J)元的ft數(shù)余子式和Au.-即 設(shè)A6 = O (4為正整敷人證陰E-A吋逆.井且基逆矩陣(E- A )' =£ + 4 + A3 + +證由(E4)(£+ A十片屯十"*十A'"二JE十舟十*十沖"I _沖_丸2 _一百“ =E-O-E.由定理2之推論知E-A可逆，且其逆矩陣(E-A)_, = E +A + -+A,_,i.注 判斷矩陣舊是否為+的逆矩陣最直接、垠簡(jiǎn)單的方法就是驗(yàn)證ABr *1 - 1(或者B/I)是西等于單位腿陣.就像判斷3是酉為+的逆只需驗(yàn)證* x3是齒篩 于1 一拝 下一題及例2都是遠(yuǎn)一思想酌應(yīng)用.2

42、2,設(shè)方陣4滴足- A -2E- 0.(2,4)證明A S4+2E都可逆并求AhJ5(A解 先血片可逆由(2M)武律A(A - E) = 2£1i,.-也就是A - £) j=£.由定理2之推論知A是町逆的.且廠(chǎng)丄壬 d再證A +2E可逆用例2.1的解法由(A 2E)(A -3E) -A - 6E-2E-6E = - 4£ rII即(A 2£>(4-<£ - 4)1 = E,14同理*知A + 2E可逆且(A + 2E)'£(3E加.423,設(shè)矩陣A可逆，證明其佯隨陣2也可逆，且(A，)“ =(y &qu

43、ot; 證 因AAr = |A|E及|A |鼻0,由定理2的推論知>T可逆且(A ')1 = ” A .'f A I另一方面、困=丨迪“IE.-用A左集此式兩邊得(A 1' = I A 1 I A TTT * I A | 比較上面兩個(gè)式子，即知結(jié)論成立.24.蛙押階矩陣A的伴隨陣為證明匸(1) 若UI =0.則口 | =(h(2) lAf l = |A|*-還 <1)0(2.5)A* A = MiE,SlAl =0時(shí)上式成為A* A = O*翌證|Af |=0,用反證法:設(shè)lATMO*由矩陣可逆的充要條件知是可 逆矩薛，用(Ajr左靈上武等號(hào)兩邊A=O+于是推得A的所有rt-1 #T子 式亦W