曲面積分習(xí)題課

1、 第二十二章曲面積分習(xí)題課一 疑難問(wèn)題與注意事項(xiàng) 1.第一型曲面積分的計(jì)算方法：答 1）先把的方程代入，再利用為的表面積；例如其中為柱面被平面所截取的部分；解 .2)利用公式（1）設(shè)有光滑曲面，為上的連續(xù)函數(shù)，則注 一投-將曲面向面投影得；二代-將代入到中；三變換-變成.（2）類(lèi)似地，如果光滑曲面由方程，則 ，其中表示曲面在面上的投影（3）如果光滑曲面由方程，則其中表示曲面在面上的投影3)利用對(duì)稱(chēng)性（1）若曲面關(guān)于坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng)，為上的連續(xù)函數(shù)，為位于上部的曲面，則（2）若曲面關(guān)于坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng)，為上的連續(xù)函數(shù)，為中的那部分曲面，則（3）若曲面關(guān)于坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng)，為上的連續(xù)函數(shù)，為中的那部分曲面，則（4）

2、若積分曲面關(guān)于具有輪換對(duì)稱(chēng)性,則有2.第二型曲面積分的方法：答 1）公式：（1）設(shè)是定義在光滑曲面 上的連續(xù)函數(shù)， 以的上側(cè)為正側(cè)，則有 注一投-曲面向面投影得；二代-將代入到中；三定向看的法線方向與軸的夾角，若夾角為銳角，則為正，否則為負(fù)（2）類(lèi)似地，當(dāng)在光滑曲面上連續(xù)時(shí)，有 這里是以的法線方向與軸的正向成銳角的那一側(cè)為正側(cè)，（3）當(dāng)在光滑曲面上連續(xù)時(shí)，有 這里是以的法線方向與軸的正向成銳角的那一側(cè)為正側(cè) 2）若，則 3）高斯公式注 高斯公式的適用條件是：1）函數(shù)，在上具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)2）封閉，若不封閉需要補(bǔ)面，讓它封閉，假如補(bǔ)面后封閉，則有3）取外側(cè)；如果取內(nèi)側(cè)，則取外側(cè)，則有 3.各

3、種積分間的聯(lián)系第一型曲線積分二重積分第二型曲線積分 格林公式 斯托克斯公式 三重積分第一型曲面積分積分第二型曲面積分面積分 高斯公式 二 典型例題1.計(jì)算第一型曲面積分，其中是上半球面，解 把向面投影得 注 ，因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且奇 2.計(jì)算曲面積分，其中是球面解： 球面關(guān)于,具有對(duì)稱(chēng)性， = 3計(jì)算曲面積分，其中是旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面及之間部分的下側(cè)解 補(bǔ)平面的上側(cè)，則為封閉曲面，在其上應(yīng)用高斯公式： 4計(jì)算第二型曲面積分，其中曲面為橢球面的上半部分，其方向?yàn)橄聜?cè)解：為求 (取下側(cè))，只須求(取上側(cè))，那么為求，將與底面(其中是在坐標(biāo)面上的投影)組成的封閉曲面記為，即，其中方向取上側(cè)，方向取下側(cè)設(shè)圍成的區(qū)域?yàn)?，由高斯公式：又由于，那么，從?5計(jì)算，其中是上半球面的外側(cè)解：曲面不封閉，補(bǔ)上曲面，取下側(cè)6.，其中是單位球面的外側(cè)解 7.求，其中是立方體的表面與平面的交線，取向從軸正向看去是逆時(shí)針?lè)较蚪猓嚎梢?jiàn)交線若分為六段積分的計(jì)算量很大，且也不便于表示為一個(gè)統(tǒng)一的參數(shù)式，因?yàn)殚]曲線，且，連續(xù)可微，故考慮用斯托克斯公式，令為被所圍的一塊，取上側(cè)，則的取向與的取側(cè)相容，應(yīng)用斯托克斯公式得8.計(jì)算，