數(shù)學(xué)建模板材成本控制問題

1、B題：板材成本控制問題摘要板材下料成本控制對各工業(yè)領(lǐng)域來說都是一項(xiàng)很重要的問題，與經(jīng)濟(jì)效益有著直接的關(guān)系，一般都是根據(jù)生產(chǎn)需求盡可能的提高原材料的利用率。本題限定在一定區(qū)間范圍內(nèi)的長寬比矩形板材，并且規(guī)定了有限的板材與用材的面積比。切割成題設(shè)要求的用材，考慮多種切割方案，然后求解最大用材數(shù)與原板材長寬比的關(guān)系。本文運(yùn)用優(yōu)化理論，采用了密集型切割的方式構(gòu)建了矩形排樣數(shù)學(xué)模型。考慮不同用材的不同對稱方式，提出了基于啟發(fā)式算法的二維板材下料算法。利用matlab、C+等軟件求出在限定取值區(qū)間內(nèi)，不同種切割方式的最大用材數(shù)和矩形板材長寬比的關(guān)系。對于問題一，我們考慮不同用材與板材的位置、對稱關(guān)系，利用

2、占角策略，構(gòu)造了用材貼近原板材左上頂角沿右、下兩個(gè)方向平鋪的切割方法，還有用材貼近原板材四邊向中心逼近的共兩類切割方案。對于問題二，我們利用C+、matlab構(gòu)造了五種切割方案：(1)圓形用材貼近左上頂點(diǎn)向右、向下平鋪切割；(2)圓形用材貼近原矩形板材的上邊，第二排圓形用材正切第一排用材，以此類推切割。同時(shí)研究了排數(shù)分奇、偶兩種情況的不同結(jié)果；(3)將第二種情況改為圓形用材貼近左邊平鋪正切切割，也討論了奇、偶列數(shù)的不同結(jié)果；(4) 將（2）中的正切改為以一定角度相切，其他同理；（5）將（3）中正切也改為一定角度相切。對于問題三，利用c+構(gòu)建了用材的長邊或者寬邊緊貼板材的長邊的方案，以及沿對角線

3、或偏離一定角度平鋪的共三個(gè)切割方案。對于問題四則是在問題三的基礎(chǔ)上，討論用材長寬比在一定范圍內(nèi)的三個(gè)方案，去除了問題三中題設(shè)條件下的偶然因素，把此算法推廣到一般的情況下應(yīng)用。本文模型適應(yīng)于矩形板材板材面積長寬比固定、用材形狀對稱、用材面積限定的小型板材下料問題。對于生產(chǎn)生活中大規(guī)模板材、非矩形板材、不規(guī)模用材圖形則會產(chǎn)生很大浪費(fèi)，不適合具體生產(chǎn)生活中的板材切割問題。所以對于此則需要引入優(yōu)化理論、最小包絡(luò)距、排樣方案分析等理論與算法。關(guān)鍵詞二維板材下料 矩形排樣數(shù)學(xué)模型 密集型切割 優(yōu)化 啟發(fā)式算法 占角策略 對稱一、 問題重述現(xiàn)有面積為A，長寬比為l的板材，需要切割成面積為B的用材，A、B關(guān)系

4、為；16n=A/B25,n為整數(shù)。最大用材數(shù)y和l有一定的函數(shù)關(guān)系，并且不同的條件，會產(chǎn)生許多種切割方案，最大用材數(shù)y也會產(chǎn)生變化。根據(jù)題意，本文需要解決的問題有：1、當(dāng)用材為正方形，1l2時(shí)，y和l的關(guān)系。2、當(dāng)用材為圓形，1l2時(shí)，求解不同的切割方案以及y和l的關(guān)系。3、當(dāng)用材為長寬比為2的矩形，1l2時(shí)，求解不同的切割方案以及y和l的關(guān)系。4、當(dāng)用材為長寬比為m的矩形，1l2，1m2時(shí)，求解不同的切割方案以及y和l的關(guān)系。二、 問題分析這是一個(gè)板材下料的問題。我們需要解決的問題難點(diǎn)有；（1）如何找到盡可能多的有意義的板材切割方案；（2）確定不同的二維切割方案使得板材得到更多的利用；（3）

5、不同n、l的值對應(yīng)的不同切割方案。問題一中的用材為正方形，是中心對稱圖形，所以當(dāng)正方形用材與矩形板材邊都平行的時(shí)候?qū)Π宀睦寐首畲?。若沿板材左邊、上邊平行切割后，原板材剩余的長邊、寬邊的和大于等于，則可以在原有基礎(chǔ)上切割出更多的正方形用材。問題二中的用材為圓形,為中心對稱圖形。排布以圓形用材相切且密集排布為原則，如此切割對原板材利用率較大。可以分為以下幾種切割方案1、第一排用材與板材長邊相切且密集排列，其他排復(fù)制第一排的切割方式；2、第一排圓形用材與板材長邊相切，第二排圓形用材與第一排圓形用材正相切，剩余排數(shù)復(fù)制以上兩排切割方案；3、改變2中方案用材與原板材的起始相切邊為寬邊;4、改變2中方案

6、第二排用材與原板材的相切角度，以及第一排用材之間的間隔；5、將4中的方案改為寬邊為起始邊。問題三中用材形狀是矩形，為軸對稱圖形。則可以分為用材矩形與板材矩形的長長平行、長寬平行的兩種不同方案，以及用材矩形與板材矩形的兩長邊所在直線有一定夾角的切割方案。由于此矩形長寬比為2，所以容易求得上個(gè)步驟的最佳夾角。問題四則是問題三的一般形式展開，把問題三的特例換成了長寬比為m的一般形式推廣開來。所用方案基本一致。三、 符號說明La矩形板材的長邊Wa矩形板材的寬邊l矩形板材的長寬比K矩形板材的寬邊長A矩形板材的面積B用材的面積Lbi問題1、3、4中對應(yīng)用材矩形的長邊（i=1、3、4）Wbi問題1、3、4中

7、對應(yīng)用材矩形的寬邊（1=1、3、4）Rb2用材為圓形時(shí)，用材的半徑Pi矩形板材的寬邊上可以切割出用材的個(gè)數(shù)（i=1、2、3、4）Qi矩形板材的長邊上可以切割出用材的個(gè)數(shù)（i=1、2、3、4）h矩形板材長邊切割后剩余的長度j矩形板材寬邊切割后剩余的長度第一排相鄰兩個(gè)圓圓心與第二排與之相切的圓心確定的等腰三角形的底角 向下求整函數(shù)四、 模型假設(shè)（1） 板材可以沿任意方向切割；（2） 用材允許任意擺放；（3） 不考慮切割時(shí)產(chǎn)生的損耗；（4） 用材不能重疊，不超過原材料的大小五、 模型建設(shè)與求解6.1綜述從理論上看，此類問題屬于NP完全問題，以目前已成熟的計(jì)算機(jī)理論和算法，或者無法求解，或者求解結(jié)果為

8、爆炸性的。本文從現(xiàn)有算法中，通過比較分析。構(gòu)造了一種優(yōu)于現(xiàn)有的優(yōu)化排列的啟發(fā)式構(gòu)造算法。按照一定規(guī)則通過實(shí)際排列和比對，可以達(dá)到較高的原材料利用率，符合實(shí)際生產(chǎn)的要求。6.2矩形原材料規(guī)格下的二維下料算法本文利用計(jì)算機(jī)模擬，采用優(yōu)化排樣的方法，考慮用材的對稱方式，對不同形狀的用材采用不同的排列、平移、翻轉(zhuǎn)策略，得到了不同的排樣方案，并且考慮不同方案中特解的情況。更計(jì)算出了不同用材、不同方案的最大用材數(shù)6.3問題一的建模和求解模型圖1如圖1所示，正方形用材左邊、上邊貼合矩形板材的左邊與上邊，并向右向下平行切割。直到不能切割為止。矩形原材面積為A=矩形原材長邊La =kl正方形用材面積為：B=正方

9、形邊長：Lb1 =通過對p1、q1 求整，確定此種方案的最大用材數(shù)y。如圖所示，當(dāng)矩形板材任一頂角的兩條臨邊被切割后剩下的長度總和即h+j大于或等于時(shí)，將正方形用材向四周移動(dòng)，空出原板材的中間位置，可進(jìn)一步切割。由于正方形是中心對稱圖形，所以若正方形用材的上邊延長線與矩形原材的上邊延長線有偏角時(shí)，對比前面切割的方式會產(chǎn)生較多的浪費(fèi)，所以不予考慮此種情況。模型求解我們借助C+，把求解的程序編譯最終求得所有模擬結(jié)果（一）求解的函數(shù)部分16n=A/B25，且n為整數(shù)，1l2當(dāng)La Wa Lb1 （p1 q1） ，klK （） q1 = ，p1=y=p1q1=1klK （）y=p1q1=（二）模型求解

10、的數(shù)學(xué)結(jié)果用材為正方形時(shí)不同n、l值下對應(yīng)的用材個(gè)數(shù)l11.11.21.31.41.51.6n=16y/切割總數(shù)16121212121215Z/板材利用率0.59480.44610.44610.44610.44610.44610.5577n=17y16121212121515Z0.55980.41990.41990.41990.41990.52490.5249n=18y16161212151515Z0.52870.52870.39660.39660.49570.49570.4957n=19y16161212151515Z0.50090.50090.37570.37570.46960.46960

11、.4696n=20y16161615151515Z0.47590.47590.47590.44610.44610.44610.4461n=21y16162020151515Z0.45320.45320.56650.56650.42490.42490.4249n=22y16162020151515Z0.43260.43260.54080.54080.40560.40560.4056n=23y16202020201518Z0.41380.51730.51730.51730.51730.38790.4655n=24y16202020202418Z0.39660.49570.49570.49570.4

12、9570.59480.4461n=25y25202020202418Z0.59480.47590.47590.47590.47590.5710.4283l1.61.71.81.92n=16y/切割總數(shù)1515101010Z/板材利用率0.55770.55770.37180.37180.3718n=17y1515151010Z0.52490.52490.52490.34990.3499n=18y1515151518Z0.49570.49570.49570.49570.5948n=19y1515151818Z0.46960.46960.46960.56350.5635n=20y1515181818

13、Z0.44610.44610.53540.53540.5354n=21y1515181818Z0.42490.42490.50990.50990.5099n=22y1518181818Z0.40560.48670.48670.48670.4867n=23y1818181818Z0.46550.46550.46550.46550.4655n=24y1818181818Z0.44610.44610.44610.44610.4461n=25y1818181821Z0.42830.42830.42830.42830.49976.4問題二的建模和求解模型圖二（1）方案一如圖所示，第一排圓形用材均緊密無縫

14、隙正切于矩形板材，第二排復(fù)制第一排并依次向下復(fù)制，直至矩形板材空間不夠用為止。矩形原材面積為：A=矩形原材長邊：La =kl圓形用材面積為：B=圓形用材半徑:Rb2= =通過對p1、q1 求整，確定此種方案的最大用材數(shù)y。圖三（2）方案二如圖三所示，第一排圓形用材均緊密無縫隙正切于矩形板材長邊，第二排的任一圓形用材正切于第一排臨近兩個(gè)圓形用材，且這個(gè)三個(gè)圓形用材的圓心確定的三角形為正三角形。剩余的排數(shù)復(fù)制前兩排，直至板材空間不夠用為止。需要注意，最終確定的排數(shù)分奇、偶兩種不同情況討論。矩形原材面積為:A=矩形原材長邊:La =kl圓形用材面積為:B=圓形用材半徑：Rb2= =三個(gè)圓心確定的三角

15、形的高線為Rb2通過對p1、q1 求整，確定此種方案的最大用材數(shù)y。圖四（3）方案三如圖四所示，只將（2）第一排圓形用材緊密無縫隙正切于矩形寬邊。其他不變，也將排數(shù)分為奇.偶兩種情況討論。A=矩形原材長邊：La =kl圓形用材面積為：B=圓形用材半徑：Rb2= =三個(gè)圓心確定的三角形的高線為Rb2通過對p1、q1 求整，確定此種方案的最大用材數(shù)y。圖五（4）方案四如圖五所示，第一排圓形用材均正切稀疏于矩形板材長邊，第二排的任一圓形用材正切于第一排臨近兩個(gè)圓形用材，且這個(gè)三個(gè)圓形用材的圓心確定的等腰三角形地角為。剩余的排數(shù)復(fù)制前兩排，直至板材空間不夠用為止。需要注意，最終確定的排數(shù)分奇、偶兩種不

16、同情況討論。A=矩形原材長邊：La =kl圓形用材面積為：B=圓形用材半徑：Rb2= =三個(gè)圓心確定的三角形的高線為2 Rb2， 底邊為4Rb2。通過對p1、q1 求整，確定此種方案的最大用材數(shù)y。圖六（5）方案五如圖六所示，只將（4）中第一排圓形用材稀疏排列正切于矩形寬邊。其他不變，也將排數(shù)分為奇.偶兩種情況討論。A=矩形原材長邊：La =kl圓形用材面積為：B=圓形用材半徑Rb2= =三個(gè)圓心確定的三角形的高線為2 Rb2， 底邊為4Rb2。通過對p1、q1 求整，確定此種方案的最大用材數(shù)y。模型求解借助C+，把求解的程序編譯最終求得所有模擬結(jié)果（一）求解的函數(shù)部分（1）方案一：16n=A

17、/B25，且n為整數(shù)，1l2。Rb2=q2 =2P2 =2y=p2q2=22（2）方案二：16n=A/B25，且n為整數(shù)，1l2。Rb2=q2 =P2=1=1=當(dāng)P2 奇數(shù)時(shí)，y=p2q2 =2 當(dāng)P2 偶數(shù)時(shí)，y=p2q2 = （3）方案三：16n=A/B25，且n為整數(shù)，1l2。Rb2=P2 =q2 =+1=+1=+1當(dāng)q2為奇數(shù)時(shí)，y=p2q2 =+1 當(dāng)q2為偶數(shù)時(shí)，y= p2q2 =+1（4）方案四：16n=A/B25，且n為整數(shù)，1l2。Rb2=P2=1=+1q2=+1當(dāng)P2為奇數(shù)時(shí)，Y= p2q2 =+1 +1當(dāng)P2為偶數(shù)時(shí)，y=p2q2 =+1 +1（5）方案五：16n=A/B

18、25，且n為整數(shù)，1l2。Rb2=P2=q2=當(dāng)q2為奇數(shù)時(shí)，y=p2q2 =當(dāng)q2為偶數(shù)時(shí)，y= p2q2 =（二）模型求解的數(shù)學(xué)結(jié)果由于本模型中計(jì)算結(jié)果量巨大，無法全部粘貼，故在不同類別方案中分別選出具有代表性的部分?jǐn)?shù)據(jù)。用材為圓形時(shí)方案一中不同n、l值下對應(yīng)的用材個(gè)數(shù)l11.11.21.31.41.51.6n=16y/切割總數(shù)99912888Z/板材利用率0.56250.56250.56250.750.50.50.5n=17y9912121288Z0.52940.52940.70590.70590.70590.47060.4706n=18y99121212128Z0.50.50.6667

19、0.66670.66670.66670.4444n=19y9121212121212Z0.47370.63160.63160.63160.63160.63160.6316n=20y9121212121215Z0.450.60.60.60.60.60.75n=21y16121212121215Z0.76190.57140.57140.57140.57140.57140.7143n=22y16121212121515Z0.72730.54550.54550.54550.54550.68180.6818n=23y16161212151515Z0.69570.69570.52170.52170.652

20、20.65220.6522n=24y16161212151515Z0.66670.66670.50.50.65220.65220.6522n=25y16161615151515Z0.66670.66670.66670.66670.65220.65220.6522l1.71.81.92n=16Y88810Z0.50.50.50.625n=17y881010Z0.47060.47060.58820.5882n=18y8101010Z0.44440.55560.55560.5556n=19y10101010Z0.52630.52630.52630.5263n=20y15101010Z0.750.50

21、.50.5n=21y15151010Z0.71430.71430.47620.4762n=22y15151510Z0.68180.68180.68180.4545n=23y15151518Z0.65220.65220.65220.7826n=24y15151518Z0.65220.65220.65220.75n=25y15151818Z0.65220.65220.750.75用材為圓形時(shí)方案二、四中部分不同n、l值下對應(yīng)的用材個(gè)數(shù)langle/角度nyl.00.3 16141714181519152017211722172317241825181.3 0.4 16917918919112011

22、211122182320242025201.5 0.5 166178181319132013211322132315241525151.8 0.8 16817818819112011211122112314241425141.9 0.7 16817818819820821142214231424142514用材為圓形時(shí)方案三、五中部分不同n、l值下對應(yīng)的用材個(gè)數(shù)langle/角度nyl0.40 16111711181219122012211222142314241425141.30 0.40 16121714181419142014211422142314241725171.50.516111

23、712181219122014211422142314241525151.80.81691791891992011211122112311241125111.90.716111711181119112011211222122312241225126.5問題三的建模和求解模型由于矩形為軸對稱圖形，本模型只考慮矩形用材的長邊與矩形用材的的夾角為0或者90的情況。因其他偏角的情況會造成對矩形原材的較多浪費(fèi)，故不在考慮范圍內(nèi)。圖七（1）方案一如圖七所示，矩形用材的長邊與矩形原材的長邊貼合，向右向向下復(fù)制切割，直至不能切割為止。A=矩形原材長邊La =kl矩形用材寬Wb3=矩形用材長為Lb3=2Wb3=

24、2通過對p1、q1 求整，確定此種方案的最大用材數(shù)y。圖八（2）方案二如圖八所示，矩形用材的長邊與矩形原材的長邊貼合，向右向下復(fù)制切割，直至不能切割為止。A=,矩形原材長邊La =kl。矩形用材寬Wb3=矩形用材長為Lb3=2Wb3=2通過對p1、q1 求整，確定此種方案的最大用材數(shù)y。模型求解借助C+，把求解的程序編譯最終求得所有模擬結(jié)果（一）求解的函數(shù)部分（1）方案一16n=A/B25，且n為整數(shù)，1l2。Wb3=Lb3=2P3= =q3=y= P3 q3=（2）方案二16n=A/B25，且n為整數(shù)，1l2。Wb3=Lb3=2P3= =q3=y= P3 q3=（二）模型求解的數(shù)學(xué)結(jié)果由于本

25、模型中計(jì)算結(jié)果量巨大，無法全部粘貼，故在不同類別方案中分別選出具有代表性的部分?jǐn)?shù)據(jù)。用材長寬比為2矩形時(shí)方案一中部分不同n、l值下對應(yīng)的用材個(gè)數(shù)lny利用率lny利用率1.00 16100.63 1.60 16120.75 17100.59 17120.71 18181.00 18120.66 19180.95 19120.63 20180.90 20160.80 21180.85 21200.95 22180.82 22200.90 23180.78 23200.87 24180.75 24200.83 25210.84 25200.80 1.10 16100.63 1.70 16120.7

26、5 17150.88 17120.71 18150.83 18120.67 19150.79 19160.84 20180.90 20160.80 21180.86 21160.76 22180.82 22200.91 23180.78 23200.87 24180.75 24200.83 25180.72 25200.80 1.20 16150.94 1.80 16120.75 17150.88 17120.71 18150.83 18160.89 19150.79 19160.84 20150.75 20160.80 21150.71 21160.76 22180.82 22160.73

27、23180.78 23200.87 24180.75 24200.83 25180.72 25200.80 1.30 16120.75 1.90 16120.75 17150.88 17160.94 18150.83 18160.89 19150.79 19160.84 20150.75 20160.80 21150.71 21160.76 22150.68 22160.73 23150.65 23160.70 24180.75 24200.83 25240.96 25200.80 .用材長寬比為2矩形時(shí)方案一中部分不同n、l值下對應(yīng)的用材個(gè)數(shù)lny利用率lny利用率1.00 16100.63

28、 1.80 16140.88 17100.59 17140.82 18181.00 18160.89 19180.94 19160.84 20180.90 20160.80 21180.86 21160.76 22180.82 22160.73 23180.78 23180.78 24180.75 24180.75 25210.84 25180.72 1.10 16100.63 1.90 16140.88 17120.71 17160.94 18120.67 18160.89 19120.63 19160.84 20180.90 20160.80 21180.86 21160.76 22180

29、.82 22180.82 23210.91 23180.78 24210.88 24180.75 25210.84 25180.72 1.20 16120.75 2.00 1680.50 17120.71 17160.94 18120.67 18160.88 19120.63 19160.84 20120.60 20160.80 21140.67 21180.86 22210.95 22180.81 23210.91 23180.78 24210.88 24180.75 25210.84 25200.80 1.30 16120.75 1.70 16140.88 17120.71 17140.8

30、2 18120.67 18140.78 19140.74 19160.84 20140.70 20160.80 21140.67 21160.76 22140.64 22160.73 23140.61 23160.70 24210.88 24180.75 25240.96 25180.72 .6.6問題四的建模和求解模型此模型為6.5所列模型的一般形式擴(kuò)充，思想、方法基本與6.5所列模型一致。圖九（1）方案一方案一如圖九所示，矩形用材的長邊與矩形原材的長邊貼合，向右向向下復(fù)制切割，直至不能切割為止。A=矩形原材長邊La =kl矩形用材寬Wb4=矩形用材長為Lb4=mWb4=m通過對p1、q1

31、求整，確定此種方案的最大用材數(shù)y。圖十（2）方案二如圖十所示，矩形用材的長邊與矩形原材的長邊貼合，向右向下復(fù)制切割，直至不能切割為止。A=矩形原材長邊La =kl矩形用材寬Wb4=矩形用材長為Lb4=mWb4=m通過對p1、q1 求整，確定此種方案的最大用材數(shù)y。模型求解借助C+，把求解的程序編譯最終求得所有模擬結(jié)果（一）求解的函數(shù)部分（1）方案一16n=A/B25，且n為整數(shù)，1l2。Wb4=Lb4=mP4= =q4=y= P4 q4=（2）方案二16n=A/B25，且n為整數(shù)，1l2。Wb4=Lb4=mP4= =q4=y= P4 q4 =（二）模型求解的數(shù)學(xué)結(jié)果由于本模型中計(jì)算結(jié)果量巨大，

32、無法全部粘貼，故在不同類別方案中分別選出具有代表性的部分?jǐn)?shù)據(jù)。用材長寬比為m矩形時(shí)方案一中部分不同n、l值下對應(yīng)的用材個(gè)數(shù)lnmy1161161.1121.21.31.41.51.6151.7101.81.9.1.1211161.11.21.31.4201.5151.61.71.81.9181.4171121.11.21.31.4161.5121.61.71.81.9用材長寬比為m矩形時(shí)方案二中部分不同n、l值下對應(yīng)的用材個(gè)數(shù)lnmy1161161.1121.21.31.41.51.6151.71.8101.91.1211161.1201.2151.31.41.51.6181.71.81.91

33、.4191151.11.21.31.4181.51.6121.71.81.914七、模型結(jié)果分析與優(yōu)化通過matlb、c+編程，計(jì)算出大量的切割方案。在不同方案中若n、l有微小變化，切割個(gè)數(shù)就隨之產(chǎn)生不同變化。計(jì)算結(jié)果十分巨大，無法粘貼處所有結(jié)果，所以上文僅粘貼部分區(qū)間的切割結(jié)果。并且發(fā)現(xiàn)切割模型與n、l取值密切相關(guān)。在本文研究的基礎(chǔ)上，引入了板材利用率，使得結(jié)果更加直觀明確，具有參考性，所以在實(shí)際切割過程中一定要著重考慮矩形用材的長寬比以及用材與板材的關(guān)系。工廠可以根據(jù)實(shí)際需求的用材數(shù)量結(jié)合利用率采取最佳方案。在本文研究的基礎(chǔ)上，我們也引入了板材利用率這一新概念，使結(jié)果更加直觀明確。由于計(jì)算

34、量巨大，下文中我們僅代表列舉問題一、問題二兩種板材利用率。其他問題類此。八、模型優(yōu)缺點(diǎn)本文模型在實(shí)際應(yīng)用中簡單易行、計(jì)算快速，可在生產(chǎn)生活中大量應(yīng)用。并且本模型覆蓋切割種類較多，結(jié)果更具科學(xué)性。但是本模型是基于題設(shè)條件下成立，應(yīng)用廣度較窄。并且本模型沒考慮到切割浪費(fèi)、在板材固定位置切割的情況，所以在實(shí)際應(yīng)用中需要根據(jù)需求作出具體改變。九、改進(jìn)方向?qū)嶋H生活中大部分用材是不規(guī)則圖形，所以可將本文模型作為基礎(chǔ)模型。在此基礎(chǔ)上，引入多邊形的最小包絡(luò)距，構(gòu)造成為規(guī)格圖形的切割。從而在實(shí)際生產(chǎn)生活中得到更廣泛的應(yīng)用。也可將本文算法與更智能的算法聯(lián)系在一起，從而使得本模型更好的推廣開來。十、參考文獻(xiàn)【1】石

35、景，板材優(yōu)化下料算法研究，2007.3【2】章紹輝，數(shù)學(xué)建模，科學(xué)出版社，2010【3】楊劍，圓形件優(yōu)化排樣問題研究，2010.4十一、附錄問題一matlb程序：n=18;l=1:0.1:2k=1;rb=k*l;rW=k;rB=k*sqrt(l./n)a=rb./rB;b=rW./rB;a1=floor(a);b1=floor(b)y=a1./(1./b1)問題二方案一程序n=16l=1:0.1:2;WA=k;LA=k./(1./l);SA=k.2./(1./l);SB=(1./n)./(1./k).2./(1./l);rB=sqrt(SB/pi)p=floor(WA./(2*rB)q=flo

36、or(LA./(2*rB)y=p./(1./q)plot(l,y)問題二的方案二、三、四、五程序#include#include#include#include using namespace std;void main()int n,p,q,h;double a,b,l,angle;const double pi=3.1415;for(l=1;l=2;l=l+0.1)for(angle=0;angle=pi/3;angle=angle+0.1)for(n=16;n=25;n+) b=n*pi; a=sqrt(l/b);q=(l-2*a)/(4*a*cos(angle)+1;p=(1-2*a)/(2*a*sin(angle)+1;h=pow(-1,p);if(h=-1) coutl=l,n=n,angle=angle,resultp*q-(p-1)/2endl; else coutl=l,n=n,angle=angle,resultp*q-p/2endl;#include#include#include#include usin