教室座位選擇問題數(shù)學(xué)建模

1、第十屆“新秀杯”校園數(shù)學(xué)建模競賽論文題目： 教室座位選擇 姓名學(xué)號專業(yè)聯(lián)系方式隊員1王楊2016117557電氣工程隊員2母博宇2016117558電氣工程隊員3李佳峻2016117577電氣工程 摘要 本文研究了關(guān)于西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)的兩種教室聽課最佳座位選擇的問題。我們根據(jù)題目中所給的示意圖以及數(shù)據(jù)，聯(lián)系實際，合理假設(shè)，建立模型進(jìn)行求解，旨在找出最適合聽課的座位。本篇論文我們通過仔細(xì)讀題，確認(rèn)該題屬于數(shù)學(xué)規(guī)劃最優(yōu)解模型。 在問題一中：選擇最優(yōu)座位，則需要考慮視角，仰角兩個決策指標(biāo)，所以我們建立直角坐標(biāo)系，使用向量夾角來表示視角和仰角，使用了滿意度函數(shù)f(,)來衡量不同位置同學(xué)們滿意度，以

2、得到最佳位置。為了消除兩項決策指標(biāo)的量綱不同的影響，我們用變異系數(shù)法來衡量各項指標(biāo)的權(quán)重大小，其中定義-和max-為兩個決策指標(biāo)，分別求得權(quán)重并賦給兩個決策變量，而滿意度函數(shù)值f(,)函數(shù)值越小，則表示該座位越合適。因此我們進(jìn)行了滿意度函數(shù)最小值點的求解，解得在普通教室和階梯教室最小值點均在第二排處取得。緊接著，我們又繪制了滿意度函數(shù)與座位數(shù)n的函數(shù)圖像進(jìn)行驗證。最后我們可以得到結(jié)論，普通教室最佳座位為第二排，階梯教室最佳座位也為第二排。問題二在問題一的基礎(chǔ)上增加了一個決策指標(biāo)L，我們在問題一的決策指標(biāo)基礎(chǔ)上增加了一個新的決策變量L，然后重新求解三個決策指標(biāo)的變異系數(shù)，進(jìn)行無量綱化，再分別求得

3、權(quán)重，賦給三個決策變量，進(jìn)行滿意度函數(shù)g(,L)最小值點的求解，我們解得：普通教室g(,L)最小是在第一排取得，階梯教室g(,L)最小也是在第一排處取得。我們又繪制了滿意度函數(shù)g(,L)與座位排數(shù)n的圖像進(jìn)行驗證，綜上，我們得出普通教室的第一排，階梯教室的第一排是最佳座位。本文最大的特色在于：通過滿意度函數(shù)，將三個量綱不同的決策函數(shù)綜合起來，作為座位的屬性，給出了衡量舒適度的方法。此種數(shù)學(xué)模型能夠幫助我們找到教室里或者諸如電影院之類的房間的最佳座位。 關(guān)鍵詞：滿意度函數(shù) 變異系數(shù)法 MATLAB軟件1 問題提出自高中升入大學(xué)，許多學(xué)生一下子從緊張的學(xué)習(xí)進(jìn)入到自由寬松的學(xué)習(xí)氛圍中，也有一部分同學(xué)

4、依舊保持著熱忱的學(xué)習(xí)熱情，在大學(xué)上課前搶著去占座位。西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)六號樓的教室大體可以分為兩類，一類是普通教室，一類是階梯教室。據(jù)悉，座位的滿意程度主要取決于視角和仰角，視角是學(xué)生眼睛到屏幕上下邊緣的夾角，越大越好；仰角是學(xué)生眼睛到屏幕上邊緣與水平線的夾角，太大會引起人的頭部過分上仰而引起不適，最適宜的角度大約為，另外所占座位越靠前排越容易集中精神，也越好。 我們設(shè)屏幕下邊緣距地面高度為，屏幕高，普通教室第一排與屏幕的水平距離為，階梯教室第一排與屏幕的水平距離為 ，每一排的距離為，普通教室總共為學(xué)生平均坐高為（指眼睛到地面的距離）。已知參數(shù)， ，（單位：），普通教室總共有8排，階梯教室總

5、共有14排且從第6排開始有階梯，每節(jié)階梯有一排座位且高度為。1、假設(shè)不考慮座位與距離老師遠(yuǎn)近產(chǎn)生的影響，請分別選出普通教室和階梯教室的最佳座位；2、考慮座位與距離老師遠(yuǎn)近產(chǎn)生的影響，請分別選出普通教室和階梯教室的最佳座位。 2 基本假設(shè)1. 人的雙眼簡化為一個質(zhì)點，將示意剖視圖中的座椅和人簡化為通過人眼的豎直線段，豎直線段的上端點為人眼被簡化成的質(zhì)點。2. 人在座位上晃動時眼睛的位置變化對問題的影響忽略不計。3. 黑板的寬度忽略不計。4. 老師的位置與黑板的位置重合，且老師的位置固定不變。三. 符號說明符號意義單位備注X建立直角坐標(biāo)系后x軸方向上的變量下標(biāo)的字母表示某一點Y建立直角坐標(biāo)系后y軸

6、方向上的變量下標(biāo)的字母表示某一點N人眼所表示的質(zhì)點M與人眼在同一水平線且位于黑板上的點P與N點在同一豎直線的位于黑板下邊緣的點Q與N在同一豎直線的位于黑板上邊緣的點n學(xué)生座位所處的排數(shù)L學(xué)生與老師的距離米（）適用于問題二h1屏幕下邊緣距地面高度米（）已知為1.2h2屏幕高度米（）已知為3d每一排的距離米（）已知為0.5c學(xué)生的平均坐高米（）已知為1.1D1普通教室第一排到屏幕的距離米（）已知為3D2階梯教室第一排到屏幕的距離米（）已知為4h3階梯教室每節(jié)階梯高度米（）已知為0.1視角：學(xué)生眼睛到屏幕上下邊緣的夾角弧度仰角：學(xué)生眼睛到屏幕上邊緣與水平線的夾角弧度max普通教室和階梯教室角的最大值

7、弧度不同問題中分別表示兩個教室角f()滿意度函數(shù)問題一g()滿意度函數(shù)問題二V變異系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差平均值K權(quán)重下標(biāo)為不同指標(biāo)四.問題分析 大學(xué)的學(xué)習(xí)依然需要我們的努力，而聽課的質(zhì)量則是關(guān)鍵，好的座位能夠提升我們的聽課效率。不同的座位所對應(yīng)的視角、仰角以及距離老師的遠(yuǎn)近不同，學(xué)生的聽課效率也有所差異。所以，下面我們將結(jié)合這三個因素，綜合考慮最佳聽課位置。 在問題一中，未考慮與老師的距離因素，所以，我們只需研究視角與仰角兩個因素。因為教室又分為兩種：我們可以發(fā)現(xiàn)，其中階梯教室是有一部分與普通教室的屬性完全一樣的。所以，我們可以討論階梯教室的情況，從而建立適用于兩種情況的模型；而問題二，是在問題一的基礎(chǔ)上

8、，加了一個約束因素，即座位與老師的距離L。此時我們想到了用構(gòu)造一個平面坐標(biāo)系來將支點，夾角放入坐標(biāo)系中進(jìn)行討論，用坐標(biāo)變換來表示視角、仰角、學(xué)生與老師的距離，使問題更加清晰明白。 因為是求解最優(yōu)化問題，所以我們想到了構(gòu)造滿意度函數(shù)。最后因為我們并不知道視角、仰角與學(xué)生與老師距離對聽課效率的影響程度，所以我們又使用了變異系數(shù)法來確定權(quán)重，來衡量不同座位所含的因素，或因素，和L對聽課效率的影響程度大小，從而選出最佳位置。 下面是兩個問題思路的流程圖： 建立直角坐標(biāo)系變異系數(shù)法構(gòu)造滿意函數(shù)題目分析提取決定因素權(quán)重仰角視角距離未知 用 坐 標(biāo) 表 示 流程圖4.2問題一的概述：本部分我們將主要說明如何

9、使用題中所給的數(shù)據(jù)。對于我們所求的視角和仰角，可以在直角坐標(biāo)系中，通過向量的夾角來求解。而題中的數(shù)據(jù)則可以確定物體在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，即將物理模型轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)模型。 通過分析可知，視角與仰角的表達(dá)式是由多個已知量和一個未知量（座位的排數(shù)n）組成的，所以，我們就將現(xiàn)實生活問題用數(shù)學(xué)模型表達(dá)了出來。接下來，我們就可以用構(gòu)造滿意函數(shù)的方法比較不同座位的視角與仰角對問題的影響程度。4.3問題二的概述： 問題二是在問題一的基礎(chǔ)上，增加了一個學(xué)生與老師的距離因素，從而再來討論不同座位對學(xué)習(xí)效率的影響。首先，我們需要考慮階梯教室中前排的同學(xué)能否擋住后排同學(xué)的視線。因為在視角的范圍內(nèi)，后面同學(xué)的視線易被前排同

10、學(xué)擋住。經(jīng)過數(shù)學(xué)計算，我們發(fā)現(xiàn)后面同學(xué)的視線并不會被前排同學(xué)擋住。這就消除了我們的顧慮。接著我們通過分析數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，距離L=D2+(n-1)d,即L也是由n來確定的。這樣，則三個因素可由n來連接的。示意圖如下所示： 視角 滿意度函數(shù)n的表達(dá)式距離仰角 表示流程圖五、模型的建立與求解5.1 問題一模型建立與求解5.1.1 問題一的分析 首先，我們進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理，將本題中的角度全部由弧度制來表示，如30o轉(zhuǎn)化為，方便計算和應(yīng)用。 問題一給我們提出了一個問題：在不考慮座位與距離老師遠(yuǎn)近產(chǎn)生的影響的情況下，分別選出普通教室和階梯教室的最佳座位。根據(jù)題意，我們只需要考慮選擇不同座位時，的不同對滿意程度所帶

11、來的影響便可確定最佳位置。由此我們可以建立滿意度函數(shù)f(,),進(jìn)而求出滿意程度最大的座位，即滿意度函數(shù)在定義域內(nèi)的最值點即可。 而此題中滿意程度由人的仰角和視角所決定，仰角最適宜的角度為,即越接近，所決定的滿意度越高。因此我們用-（即與差值的絕對值）來表示與的接近程度，-越小，與越接近，即所決定的滿意度越高。對于視角，它表示的是學(xué)生眼睛到屏幕上下邊緣的夾角，越大越好，即所決定的滿意度越高。我們用max-來表示的大小，max表示每一種情境中所有位置中角的最大值。max-越小，說明越大，即所決定的滿意度越高。為建立滿意度函數(shù)，我們要表示出各個位置的角和角。設(shè)黑板所在直線為y軸，地面所在直線為x軸，

12、建立直角坐標(biāo)系。我們可以利用兩個向量之間的夾角來表示出角和角。如圖1所示。圖15.1.2 問題一模型的建立 現(xiàn)在我們來構(gòu)建滿意度函數(shù)，滿意度需要用決策變量-和max-來衡量。-和max-我們采用直角坐標(biāo)系中向量知識可以求得。很明顯，每一排座位都對應(yīng)一個和，那么當(dāng)最適宜的和在不同座位處取得時，我們應(yīng)該怎樣來衡量和的重要性呢，也就是我們應(yīng)該怎樣來確定-和max-的權(quán)重。 而本題中由于評價指標(biāo)體系中的各項指標(biāo)的量綱不同，不宜直接比較-和max-差別程度。為了消除各項評價指標(biāo)的量綱不同的影響，本題中我們需要用各項指標(biāo)的變異系數(shù)來衡量各項指標(biāo)取值的差異程度。由此，便可確定-和max-的權(quán)重，我們的滿意度

13、函數(shù)也就可以順利構(gòu)建出。 接下來，我們來確定權(quán)重以及-和max-，以來建立模型。1)權(quán)重的確定：我們采用變異系數(shù)法來確定權(quán)重。決策指標(biāo)的變異系數(shù)公下：  Vi= （i=1，2，3，4n） (1)此式中，是Vi第i項指標(biāo)的變異系數(shù)，也稱為標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)；問題一中共有兩項指標(biāo)，-和max-。i分別是是第i項指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差,在問題一即為-和max-分別組成的數(shù)組的標(biāo)準(zhǔn)差；是第i項指標(biāo)的平均數(shù)，在問題一中即為-和max-分別組成的數(shù)組的平均值；各項指標(biāo)的權(quán)重為： Ki=   （2） 在問題一中，我們將 -和max-的權(quán)重分別記為K1和K2。2)-和max-的確定： 當(dāng)

14、權(quán)重可以確定后，此時我們要做的就是表示出-和max-，本題中我們采用直角坐標(biāo)中向量的相關(guān)知識來表示-和max-，即我們用兩向量夾角表示和角，進(jìn)而求得-和max-。由于本題情境多樣，各情景內(nèi)容不同，條件不同，公示表示不同，例如普通教室和階梯教室第一排距離黑板距離不同，階梯教室中1到5排和6到14排的高度不同，因此在接下來的模型建立及求解過程中，我們將分為三個具體情境，分類討論。分別是：1) 普通教室1到8排2) 階梯教室1到5排3) 階梯教室6到14排我們利用坐標(biāo)系中兩個向量的夾角來表示和角，在求解的過程中，我們發(fā)現(xiàn)了一些關(guān)鍵點以及關(guān)鍵點形成的關(guān)鍵向量，分別是：關(guān)鍵點： 1)人眼所表示的質(zhì)點N

15、2)與人眼在同一水平線且位于黑板上的的點M(在的表示中出現(xiàn)) 3)與N點在同一豎直線的位于黑板下邊緣的點P(在的表示中出現(xiàn)) 4)與N在同一豎直線的位于黑板上邊緣的點Q 在求解的過程中會出現(xiàn)M,N,Q這三個關(guān)鍵點 在求解的過程中會出現(xiàn)M,P,Q這三個關(guān)鍵點 N，M，P，Q四點相對位置如圖2所示 圖2 現(xiàn)在我們分別設(shè)出這四個點的坐標(biāo)：M:(Xm,Ym) N(Xn,Yn) P(Xp,Yp) Q(Xq,Yq) 各點的橫縱坐標(biāo)分別為：N: Xn=D1+(n-1)d Yn=c （普通教室及階梯教室1至5排） Xn=D2+(n-1)d Yn=c+(n-5)h3 （階梯教室6至14排）M: Xm=0 Ym=

16、c （普通教室及階梯教室1至5排） Xm=0 Ym=c+(n-5)h3 （階梯教室6至14排）P: Xp=0 Yp=h1Q: Xq=0 Yq=h1+h2關(guān)鍵向量： 向量 向量 向量 利用向量相關(guān)知識，我們可以用坐標(biāo)表示出向量，向量和向量： :(Xm-Xn,Ym-Yn) :(Xp-Xn,Yp-Yn) :(Xq-Xn,Yq-Yn) 代入具體字母得：1) : (-D1-(n-1)d ,0) （普通教室) （3） : (-D2-(n-1)d ,0) （階梯教室1至5排） （4） ： (-D2-(n-1)d,0) （階梯教室6至14排） （5） 2) : (-D1-(n-1)d ,h1-c-(n-5)h

17、3) （普通教室） （6） : (-D2-(n-1)d ,h1-c-(n-5)h3) （階梯教室1至5排） （7） : (-D2-(n-1)d,h1-c-(n-5)h3) （階梯教室6至14排） （8） 3) : (-D1-(n-1)d ,h1-c-(n-5)h3)（普通教室） （9） : (-D2-(n-1)d ,h1+h2-c) （階梯教室1至5排） （10） : (-D2-(n-1)d,h1+h2-c-(n-5)h3)（階梯教室6至14排） （11） 現(xiàn)在，我們可以將仰角角用向量和向量之間的夾角來表示，將視角用向量和向量之間的夾角來表示。由平面向量相關(guān)知識和兩向量之間的夾角公式得：=ar

18、ccos () （12）=arccos () （13） 本題中情境多樣且數(shù)據(jù)繁多，因此在不同情境下，同一點，同一向量有不同的公式表示，因此我們將不同情況下向量的不同表示用表格列出來，以便清晰直觀的理解題意，調(diào)用公式。如圖3所示。關(guān)鍵向量不同情境普通教室階梯教室1至5排階梯教室6至14排(-D1-(n-1)d ,0)(-D2-(n-1)d ,0)(-D2-(n-1)d,0)(-D1-(n-1)d ,h1-c-(n-5)h3)(-D2-(n-1)d ,h1+h2-c)(-D2-(n-1)d,h1-c-(n-5)h3)(-D1-(n-1)d ,h1-c-(n-5)h3)(-D2-(n-1)d ,h1

19、-c-(n-5)h3)(-D2-(n-1)d,h1+h2-c-(n-5)h3) 圖3已知參數(shù)： 黑板的寬度為L1 ，過道寬度為L2 ,每位同學(xué)所占位置寬度為L3，屏幕下邊緣距地面高度為h1 ，屏幕高h(yuǎn)2，普通教室第一排與屏幕的水平距離為D1，階梯教室第一排與屏幕的水平距離為D2 ，每一排的距離為，普通教室總共為學(xué)生平均坐高為（指眼睛到地面的距離）。普通教室總共有8排，階梯教室總共有14排且從第6排開始有階梯，每節(jié)階梯有一排座位且高度為h3。決策變量： 1) 仰角最接近,我們用-（即與差值的絕對值）來表示與的接近程度，-越小，與越接近，即所決定的滿意程度越高。因此為使所決定的滿意程度最高，我們要

20、使-最小。 即min- =arccos() - （14） 2) 視角越大越好，即為使所決定的滿意程度最高，我們要讓最大化，即min max-=max-arccos () （15） 約束條件為人眼所表示的質(zhì)點可行域的范圍(人眼所表示的位置在坐標(biāo)系的位置限制),即 Xn=D1+(n-1)d,n=1,2,3,4,5,6,7,8 (普通教室) （16） Xn=D2+(n-1)d,n=1,2,3,4,5 (階梯教室1到5排) （17）Xn=D2+(n-1)d,n=6,7,8,9,10,11,12,13,14 (階梯教室6到14排) （18） 因此我們最后建立的滿意度函數(shù)為 f(,)=K1- + K2 (

21、max-) （19） 上式是在考慮最適宜的和最適宜的不同位置取得時所建立的模型，易得，當(dāng)最適宜的和在同一位置取得時，上述模型也同樣適用。這樣，我們就可以將兩種情況統(tǒng)一起來。我們以- 和 max-為決策指標(biāo)，顯然，滿意度函數(shù)的函數(shù)值越小，說明和與最佳角度越接近，即滿意程度越高，因此我們只需要求出滿意度函數(shù)在定義域范圍內(nèi)的最小值點，即可求得最佳位置。5.1.3 問題一模型的求解1)普通教室將模型（3）（9）（12）（16）輸入MATLAB軟件，解得普通教室1到8排角分別為 0.6107 0.5404 0.4834 0.4366 0.3976 0.3647 0.3367 0.3125 （20） 將模

22、型（14）（20）輸入MATLAB軟件，解得普通教室1到8排-分別為 0.0871 0.0168 0.0402 0.0870 0.1260 0.1589 0.1869 0.2111 （21） 將模型（1）（21）輸入MATLAB軟件，解得普通教室1到8排-組成的數(shù)組的標(biāo)準(zhǔn)差為 0.0976，平均值為0.1645，變異系數(shù)為0.6033 （22）將模型（6）（9）（13）（15）（16）輸入MATLAB軟件，解得普通教室1到8排角分別為 0.5774 0.5119 0.4585 0.4144 0.3776 0.3466 0.3200 0.2971 由此可見，普通教室中第一排的角最大，max=0.

23、5774 （23）將模型（15）（23）輸入MATLAB軟件中，解得普通教室1到8排max-分別為 -0.0000 0.0655 0.1189 0.1630 0.1998 0.2308 0.2574 0.2803 （24） 將模型（1）（24）輸入MATLAB軟件，解得普通教室1到8排max-組成的數(shù)組的標(biāo)準(zhǔn)差為0.0689，平均值為 0.1142，變異系數(shù)為 0.5931 （25）將模型（2）（22）（25）輸入MATLAB軟件，解得普通教室和的權(quán)重K1和K2分別為 0.5043 ，0.4957 （26） 將模型（19）（21）（24）（26）輸入MATLAB軟件，解得普通教室1到8排滿意度

24、函數(shù)值f(,)分別為 0.0439 0.0410 0.0792 0.1247 0.1626 0.1945 0.2219 0.2454 很明顯，當(dāng)n=2時滿意度函數(shù)值最小，即滿意程度最高，因此，我們可以認(rèn)為問題一中普通教室第二排為最佳位置。 階梯教室： 將模型（4）（5）（10）（11）（12）（17）（18）輸入MATLAB軟件，解得階梯教室1到14排角分別為0.6107 0.5404 0.4834 0.4366 0.3976 0.2985 0.2650 0.2355 0.2094 0.1861 0.1651 0.1463 0.1293 0.1138 （27）將模型（11）（27）輸入MATL

25、AB軟件，解得階梯教室1到14排-分別為 0.0871 0.0168 0.0402 0.0870 0.1260 0.2251 0.2586 0.2881 0.3142 0.3375 0.3585 0.3773 0.3943 0.4098 （28） 將模型（1）（2）（28）輸入MATLAB軟件，解得階梯教室1到14排-組成的數(shù)組的標(biāo)準(zhǔn)差為 0.1395，平均值為 0.2372，變異系數(shù)為 0.5880 （29） 將模型（4）（5）（7）（10）（11）（13）（17）（18）輸入MATLAB軟件，解得階梯教室1到14排角分別為： 0.5774 0.5119 0.4585 0.4144 0.37

26、76 0.2985 0.2793 0.2622 0.2469 0.2331 0.2206 0.2094 0.1992 0.1898 由此可見，階梯教室中第一排的角最大，max=0.5774 （30） 將模型（15）（30）輸入MATLAB軟件，解得階梯教室1到14排max-分別為 -0.0000 0.0655 0.1189 0.1630 0.1998 0.2789 0.2981 0.3152 0.3305 0.3443 0.3568 0.3680 0.3782 0.3876 （31）將模型（1）（31）輸入MATLAB軟件，解得階梯教室1到14排max-組成的數(shù)組的標(biāo)準(zhǔn)差為0.1260，平均值

27、為0.2575 ，變異系數(shù)為 0.4895 （32） 將模型（2）（29）（30）輸入MATLAB軟件，解得階梯教室的和的權(quán)重K1和K2分別為： 0.5457 0.4543 （33） 將模型（19）（28）（31）（33）輸入MATLAB軟件，解得階梯教室1到14排滿意度函數(shù)值分別為 0.0475 0.0390 0.0759 0.1215 0.1595 0.2495 0.2765 0.3004 0.3216 0.3406 0.3577 0.3731 0.3870 0.3997很明顯，當(dāng)n=2時滿意度函數(shù)值最小，即滿意程度最高，因此，我們可以認(rèn)為問題一中階梯教室第二排為最佳位置。5.1.4 問題

28、一結(jié)果的分析及驗證我們繪制出了滿意度函數(shù)g(,L)隨座位排數(shù)n變化的圖像，問題一中普通教室滿意度函數(shù)如圖4所示，問題一中階梯教室滿意度函數(shù)如圖5所示。圖4圖5 由圖4可以清晰直觀地看到，當(dāng)橫坐標(biāo)值為2時，滿意度函數(shù)值最小，即滿意程度最高，因為n只能取整數(shù)，n=2是函數(shù)在定義域的最小值點。因此，問題一中權(quán)衡和角，普通教室最佳位置是第二排。 由圖5可以清晰直觀地看到，同樣，是當(dāng)橫坐標(biāo)值為2時，滿意度函數(shù)值最小，即滿意程度最高，因為n只能取整數(shù)，n=2是函數(shù)在定義域的最小值點。因此，問題一中權(quán)衡和角，階梯教室最佳位置也是第二排。5.2 問題二模型建立與求解5.2.1 問題二的分析 問題二在問題一的基

29、礎(chǔ)上增加了一項新的考慮因素：座位與距離老師遠(yuǎn)近產(chǎn)生的影響，問題二仍是要求我們得出普通教室和階梯教室的最佳位置。在問題一所考慮的和基礎(chǔ)上增加了新的決策變量：學(xué)生距離黑板的距離L。我們將按照與問題一一樣的方法建立模型，進(jìn)行求解。5.2.2 問題二模型的建立同問題一求解思路一致，我們在問題二中也將建立滿意度函數(shù)g(,L),仍然以座位排數(shù)n自變量，與問題一一樣，我們需要客觀考慮，和距離L三者對于滿意度的“重要性”，即各個決策指標(biāo)對于滿意度的影響程度，即如何分配各個變量的權(quán)重。本問題中，我們?nèi)匀徊捎米儺愊禂?shù)法來確定，和L的權(quán)重。對于，的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差以及變異系數(shù)與問題一一致，我們將L所組成的數(shù)組的權(quán)重記

30、為K3。，的權(quán)重仍記為K1和K2。而L所組成的數(shù)組的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，變異系數(shù)的方法與，一致。下面我們來確定L以及 -和max-，以來建立模型。1)L的確定： 距離L我們可以用人眼所表示的質(zhì)點所在位置的橫坐標(biāo)的數(shù)值來表示，即 L=D1+(n-1)d (普通教室) （34） L=D2+(n-1)d (階梯教室) （35）2) -和max-的確定： 問題二中-和max-的確定與問題一一致，在此不再贅述。決策變量： 1)仰角最接近,我們用-（即與差值的絕對值）來表示與的接近程度，-越小，與越接近，即所決定的滿意程度越高。因此為使所決定的滿意程度最高，我們要使-最小。 即min- =arccos() （

31、36） 2)視角越大越好，即為使所決定的滿意程度最高，我們要讓最大化， 即min max-=arccos () （37） 3)所占座位越靠前排越容易集中精神，也越好。即人與黑板的距離L越小越好，我們用直接用決策變量L來表示，為了使L所決定的滿意程度最高，我們需要使L最小，即 min L=Xn=D1+(n-1)d (普通教室) （38） min L=Xn=D2+(n-1)d (階梯教室) （39） 約束條件：人眼所表示的質(zhì)點可行域的范圍(人眼所表示的位置在坐標(biāo)系的位置限制),即 Xn=D1+(n-1)d,n=1,2,3,4,5,6,7,8 (普通教室) （40） Xn=D2+(n-1)d,n=1

32、,2,3,4,5 (階梯教室1到5排) （41） Xn=D2+(n-1)d,n=6,7,8,9,10,11,12,13,14 (階梯教室6到14排)（42） L=Xn=D1+(n-1)d,n=1,2,3,4,5,6,7,8 (普通教室) （43） L=Xn=D2+(n-1)d,n=1,2,3,4,5 (階梯教室1到5排) （44） L=Xn=D2+(n-1)d,n=6,7,8,9,10,11,12,13,14(階梯教室6到14排）（45） 我們最后建立的滿意度函數(shù)為： g(,L)=K1- + K2 (max-)+K3 L （46） 我們以- ，max-和L為決策指標(biāo)，顯然，滿意度函數(shù)的函數(shù)值越

33、小，說明和與最佳角度越接近且座位越靠前，即滿意程度越高，因此我們只需要求出滿意度函數(shù)在定義域范圍內(nèi)的最小值點，即可求問題二中的最佳位置。 5.2.3 問題二模型的求解 問題二中，普通教室和階梯教室- ，max-組成數(shù)組的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，變異系數(shù)與問題一一致，在此不再贅述。 普通教室： 將模型（34）（40）（43）輸入MATLAB軟件，解得普通教室1到8排L分別為：3.0000 3.5000 4.0000 4.5000 5.0000 5.5000 （47）6.0000 6.5000 將模型（1）（47）輸入MATLAB軟件，解得普通教室L組成的數(shù)組的標(biāo)準(zhǔn)差為1.2247，平均值為4.7500，

34、變異系數(shù)為0.2578 （48） 將模型（2）（22）（25）（48）輸入MATLAB軟件，解得普通教室，L的權(quán)重K1,K2,K3分別為： 0.4078 0.4149 0.1773 （49） 將模型（21）（23）（46）（49）輸入MATLAB軟件，解得普通教室1到8排滿意度函數(shù)值g(,L)分別為： 0.5680 0.6543 0.7744 0.9004 1.0202 1.1352 1.2463 1.3543 很明顯，當(dāng)n=2時滿意度函數(shù)值最小，即滿意程度最高，因此，我們可以認(rèn)為問題二中普通教室第一排為最佳位置。 階梯教室：將模型（35）（39）（41）（42）（44）（45）輸入MATLA

35、B軟件，解得階梯教室1到14排L分別為： 4.0000 4.5000 5.0000 5.5000 6.0000 6.5000 7.0000 7.5000 8.0000 8.5000 9.0000 9.5000 10.0000 10.5000 （50） 將模型（1）（50）輸入MATLAB軟件，解得階梯教室1到14排L組成的數(shù)組的標(biāo)準(zhǔn)差為 2.0917，平均值為7.2500，變異系數(shù)為0.2885 （51） 將模型（2）（29）（32）（51）輸入MATLAB軟件，解得階梯教室，L的權(quán)重K1,K2,K3分別為： 0.3583 0.4305 0.2112 （52） 將模型（29）（31）（46）（

36、52）輸入MATLAB軟件，解得階梯教室1到14排滿意度函數(shù)值g(,L)分別為： 0.8823 0.9811 1.1159 1.2575 1.3930 1.5697 1.6965 1.8210 1.9433 2.0639 2.1830 2.3007 2.4173 2.5329 很明顯，當(dāng)n=1時滿意度函數(shù)值最小，即滿意程度最高，因此，我們可以認(rèn)為問題二中階梯教室第一排為最佳位置。5.2.4 問題二結(jié)果的分析及驗證 我們繪制出了滿意度函數(shù)g(,L)隨座位排數(shù)n變化的圖像，問題二中普通教室滿意度函數(shù)如圖6所示，問題二中階梯教室滿意度函數(shù)如圖7所示。圖6 圖7 由圖6可以清晰直觀地看到，當(dāng)橫坐標(biāo)值為

37、1時，滿意度函數(shù)值最小，即滿意程度最高，因為n只能取整數(shù)，n=1是函數(shù)在定義域的最小值點。因此，問題二中權(quán)衡，角和L后，得到普通教室最佳位置是第一排。 同樣，由圖7可以清晰直觀地看到，當(dāng)橫坐標(biāo)值為1時，滿意度函數(shù)值最小，即滿意程度最高，因為n只能取整數(shù)，n=1是函數(shù)在定義域的最小值點。因此，問題二中權(quán)衡和角和L后，得到階梯教室最佳位置也是第一排。六、模型的評價與推廣6.1 模型的評價 優(yōu)點：（1）本論文準(zhǔn)確地抓住了題中所給條件的關(guān)鍵，通過數(shù)學(xué)建模將現(xiàn)實生活中的問題轉(zhuǎn)化為了數(shù)學(xué)模型，更加直觀，清晰。 （2）在模型建立中我們采用了各種軟件（如MATLAB,AUTOCAD,WPS，MATHTYPE等

38、)進(jìn)行求解制圖，計算結(jié)果較為精確。本論文還使用了變異系數(shù)法，計算多種決策因素的權(quán)重，增加了論文的可信度。 缺點：（1）只考慮了學(xué)生座位的排數(shù)對聽課效率的影響，還未討論所坐的列數(shù)對結(jié)果的影響。 （2）任何模型、系統(tǒng)都受到實際生活中的各種限制，本模型也不例外，為了簡化模型，基本假設(shè)很多都是理想狀態(tài)。例如我們無法得知教室內(nèi)學(xué)生聽課時的雙眼所在位置在怎樣改變。6.2 模型的推廣 本模型能夠運用于其他座位選擇問題，例如在電影院選座時，我們可以運用此模型來選擇最佳的座位。因為電影院的座位的地板線呈一定角度，所以，在建立直角坐標(biāo)系求解座位的坐標(biāo)時，需要將引入，即人的雙眼高h(yuǎn)=（n-1)dtan=yr，其中n

39、為座位的排數(shù)，d為每排座位的間隔。再運用本論文的模型，通過滿意度函數(shù)求解出最佳座位。七、參考文獻(xiàn)1姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型（第四版）.北京：高等教育出版社，2011年1月2（美）Mark M.Meerschaert著.劉來福，黃海洋，楊淳譯.數(shù)學(xué)建模方法與分析（原書第4版），機械工業(yè)出版社，2016年10月3張志勇，楊祖櫻等.MATLAB教程,北京航空航天大學(xué)出版社，2015年1月4卓金武等.MATLAB在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用（第二版），北京航空航天大學(xué)出版社，2014年9月八、附錄8.1 附錄清單附錄1：求解問題一的MATLAB程序附錄2：求解問題二的MATLAB程序附錄3：問題一的完整數(shù)

40、據(jù)附錄4：問題二的完整數(shù)據(jù)8.2 附錄正文附錄1：求解問題一的MATLAB程序 n = 1 2 3 4 5 6 7 8n1 = 6 7 8 9 10 11 12 13 14n2 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14x1 = (0.5*n + 2.5).2 + 0.21y1 = (0.5*n + 2.5).2 + 0.01).0.5.*(0.5*n + 2.5).2 + 4.41).0.5a=acos(x1./y1)x2=(0.5*n+2.5)y2=(0.5*n+2.5).2+4.41).0.5b=acos(x2./y2)bb=abs(b-pi/6)x3=(0.5

41、*n1+3.5).2+(0.6-0.1*n1).*(2.6-0.1*n1)y3=(0.5*n1+3.5).2+(0.6-0.1*n1).2).0.5.*(0.5*n1+3.5).2+(2.6-0.1*n1).2).0.5a1=acos(x3./y3)x4=0.5*n1+3.5y4=(0.5*n1+3.5).2+(2.6-0.1*n1).2).0.5b1=acos(x4./y4)ca=a(1,2,3,4,5),a1cb=b(1,2,3,4,5),b1bb1=abs(cb-pi/6)aa=0.5774-aaa1=0.5774-cabzca1=std(aa1)bzca=std(aa)bzcb=std

42、(bb)bzcb1=std(bb1)pjza=mean(aa)pjza1=mean(aa1)pjzb=mean(bb)pjzb1=mean(bb1)w1=bzca/pjzaw2=bzcb/pjzbw3=bzca1/pjza1w4=bzcb1/pjzb1k1=w1/(w1+w2)k2=w2/(w1+w2)k3=w3/(w3+w4)k4=w4/(w3+w4)f1=k1*aa+k2*bbf2=k3*aa1+k4*bb1附錄2：求解問題二的MATLAB程序x1 = (0.5*n + 2.5).2 + 0.21y1 = (0.5*n + 2.5).2 + 0.01).0.5.*(0.5*n + 2.5)

43、.2 + 4.41).0.5a=acos(x1./y1)x2=(0.5*n+2.5)y2=(0.5*n+2.5).2+4.41).0.5b=acos(x2./y2)bb=abs(b-pi/6)x3=(0.5*n1+3.5).2+(0.6-0.1*n1).*(2.6-0.1*n1)y3=(0.5*n1+3.5).2+(0.6-0.1*n1).2).0.5.*(0.5*n1+3.5).2+(2.6-0.1*n1).2).0.5a1=acos(x3./y3)x4=0.5*n1+3.5y4=(0.5*n1+3.5).2+(2.6-0.1*n1).2).0.5b1=acos(x4./y4)ca=a(1,2,3,4,5),a1cb=b(1,2,3,4,5),b1bb1=abs(cb-pi/6)aa=0.5774-aaa1=0.5774-cabzca1=std(aa1)bzca=std(aa)bzcb=std(bb)bzcb1=std(bb1)pjza=mean(aa)pjza1=mean(aa1)pjzb=mean(bb)pjzb1=mean(bb1)w1=bzca/pjzaw2=bzcb/pjzbw3=bzca1/pjza1w4=bzcb1/pjzb1k1=w1/(w1+w2)k2=w2/(w1+w2)k3=w3/(w3+w4)k4=w4/(w3+w4)f1=k1*aa+k2*bbf2