函數(shù)的凹凸性與拐點

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 高等數(shù)學I 教案標題： 函數(shù)的凹凸性與拐點教學目標： 會判斷曲線的凹凸性及拐點 教學重點及難點： 曲線的凹凸性與拐點教 學 內(nèi) 容 （教 學 時 數(shù)：2 ）第14講 函數(shù)的凹凸性與拐點一、復習舊知 1、函數(shù)的單調(diào)性的判斷 2、函數(shù)的極值的求法； 3、函數(shù)的最值的求法二、內(nèi)容精講 為了進一步研究函數(shù)的特性并正確地作出函數(shù)的圖形，需要研究曲線的彎曲方向。在幾何上，曲線的彎曲方向是用曲線的“凹凸性”來描述的。1、曲線的凹凸性從圖1（a），（b）直觀上可以觀察到：oxyAB（a）BAoxy（b）圖1如果在某區(qū)間內(nèi)的連續(xù)且光滑曲線弧總是位于其任一點切線的上方，則稱此曲線弧在該

2、區(qū)間內(nèi)是凹的；如果在某區(qū)間內(nèi)的曲線弧總是位于其任一點切線的下方，則稱此曲線弧在該區(qū)間內(nèi)是凸的，相應的區(qū)間分別稱為凹區(qū)間與凸區(qū)間。 2、曲線的凹凸性的定義定義1 設在區(qū)間上連續(xù)，如果對于上任意的兩點，恒有那么稱在上的圖形是（向上）凹的（凹?。?； 如果恒有 ， （a） （b） 圖2 那么稱在上的圖形是（向上）凸的（凸?。?從圖1還可以看到如下事實：對于凹的曲線弧，其切線的斜率隨著的增大而增大，即單調(diào)增加；對于凸的曲線弧，其切線的斜率隨著的增大而減少，即單調(diào)減少.而函數(shù)的單調(diào)性又可用它的導數(shù)，即的二階導數(shù)的符號來判定，故曲線的凹凸性與的符號有關。3、曲線凹凸性的判定定理1 若在上連續(xù)，內(nèi)具有一階和

3、二階導數(shù)，那么(1)若在內(nèi)，那么在上的圖形是凹的；(2)若在內(nèi)，那么在上的圖形是凸的。例1.判定曲線的凹凸性.解 函數(shù)的定義域，而, 因此曲線在內(nèi)是凸的.例2.討論曲線的凹凸區(qū)間.解 函數(shù)的定義域為，。顯然，當時，；當時，.因此為曲線的凸區(qū)間，為曲線的凹區(qū)間。4、拐點的定義定義2 連續(xù)曲線上的凹弧和凸弧的分界點成為這條曲線的拐點。如，在內(nèi)為凹的，在內(nèi)為凸的，則即為其拐點。注：拐點是二階導數(shù)發(fā)生變號的點，因此拐點通常出現(xiàn)在二階導數(shù)為0的點以及二階導數(shù)不存在的點5、確定的凹凸區(qū)間和拐點的步驟如下：(1) 確定函數(shù)的定義域；(2) 求出二階導； (3) 求使二階導數(shù)為0的點和使二階導數(shù)不存在的點；(4) 判斷或列表判斷，根據(jù)二階導數(shù)的符號確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點。例3. 求曲線的凹凸區(qū)間和拐點.解：，令，得.當時，曲線在內(nèi)為凸的；當時，曲線在內(nèi)為凹的.點是曲線的拐點.例4. 討論曲線的凹凸性及拐點.解: 函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù).，當時，都不存在；當時，.故可列表如下：0-0+不存在+凸拐點凹非拐點凹例5. 求曲線的拐點.解 定義域為，因為令時，方程 無解.而當時，；當時，即曲線在區(qū)間內(nèi)是凸的，在區(qū)間內(nèi)是凹的，又曲線在點處是連續(xù)的