高中數(shù)學(xué)解三角形輔導(dǎo)講義

1、學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號：年 級：高中課時數(shù)：學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師:課題解三角形授課時間：備課時間：教學(xué)目標(biāo)重點、難點正余弦定理的運用考點及考試要求解三角形、正弦定理則a bsin A sin Bsin C在 Rt ABC 中，設(shè) BC=a,AC=b,AB=c,sin B ,又 sin C 1從而在直角三角形ABC 中,sin Ab csin B sin C對于任意的三角形可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況:如圖1.1-3 ,當(dāng) ABC是銳角三角形時，設(shè)邊 AB上的高是CR根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有a bCDwsinB bsinA，貝"百福,C同理可得sin C從而a

2、sin Absin Bcsin C過A作單位向量j垂直于AC由 AC+ CB= AB兩邊同乘以單位向量 j得j ?（ AC+CB尸j ? AB則 j ?AC+ j ?CB= j ?ABasinC csinAsin A sinC同理，若過C作j垂直于CB得:c = bsinC sin Bsin A sin B sinC從而sin A sin B sin C| j |?| AC |cos90+| j |?|CB |cos(90C)=| j |?| AB |cos(90A)正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即sin A sin B sin C正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角

3、的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù),即存在正數(shù)k 使aksin A,(2)ksin Bc ksin C ；asin Asin B sin C等價于sin A sin Bsin C sin Basin Acsin C從而知正弦定理的基本作用為:已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如bsin Aa -；sin B已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如sina _A -sin Bob般地，已知三角形的某些邊和角，求 其他的邊和角 的過程叫作解三角形。在ABC中，已知a 20cm, b 28cm, A 40°,解三角形（角度精確到1°,邊長精確到1cmj

4、）。：根據(jù) 正弦定理，bsin A sinB a28sin400一200.8999.因為 00 < B< 1800所以 B 640 ,或 B 1160當(dāng)B 640時,C 1800 (A B)1800 (40 0 640) 76 0,asinC 20sin760c 0sin A sin40030(cm).(2)當(dāng) B 1160 時,C 1800 (A B) 1800 (400 1160) 24°,asinC csin A20sin240、sin40013(cm).【課堂練習(xí)】1、ABC 中,A 45o, B 60o,a 10,則 b 等于(B 10 210.62、在 ABC

5、中,則b等于A. 4 .6B. 4 .5C.4,322D.一33、在 ABC中,，則A等于A.30°B. 60°C. 30° 或120°D.30150°4、在 ABC中,a、b c分別是三內(nèi)角 A B C的對邊,75 ,C45 ,b= 2,則此三角形的最小邊長為(A.、62、2B.32.6C.3D.5、在ABC中,B= 30 , c=45c=1,則最短邊長為(A.、63D.6、在ABC中，若邊a 4J2,C則角C=7、在 ABC中，已知b <2, c 1,B 450,則C =8、在 ABC 中，A0 045 ,B 30 ,b 2 ,則a邊

6、的值為9、已知 ABC的內(nèi)角 4,.，A,B,C所對的邊分別為 a,b,c,且a 2,b 3, cos B 一，則sin A的值為 510、在 ABC 中，若 b 1, c 點，C j.Ua = 3在解三角形過程中都使用三角形內(nèi)角和定理，可見，三角形內(nèi)角和定理在解三角形中的重要應(yīng)用。應(yīng)注 意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。(1)定理的表示形式:sin A sin B sin Csin A sinB sin C或a ksin A, b ksin B , c ksin C(k0)(2)正弦定理的應(yīng)用范圍:已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角;已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對

7、角二、余弦定理如圖 1.1-4 ,在 ABC中，設(shè) BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和C,求邊co如圖 1. 1-5,設(shè) CB a, CA b, AB c,那么 c=a-b,2|c | =c? c=(a-b) ? (a-b)=a ? a + b ? b -2a? b從而c2 a2 b2 2abcosC同理可證a2 b2 c2 2bccosA(圖 1. 1-5)b2 a2 c2 2accosB于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即a2 b2 c2 2bc cos A222b a c 2accos Bc2 a2 b2

8、 2abcosC從余弦定理，又可得到以下推論:cosA,222b c a2bccosB22. 2a c b2accosC.222b a c2ba從而知余弦定理及其推論的基本作用為:已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊;已知三角形的三條邊就可以求出其它角。勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個定理之間的關(guān)系？若 ABC中，C=900,則 cosC 0 ,這時 c2 a2 b2由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。例 在4ABC中，已知B=60 cm, C=34 cm, A=41° ,解

9、三角形（角度精確到1°,邊長精確到1 cm） （課本P7例3）解：根據(jù)余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA=602+342-2 60 34cos41 °=3 600+1 154 080 0.754 71 676.82所以，a= 41cm.由正弦定理得csinA 34 sin 4134 0.656sinC= % 0.544 0a4141因為C不是三角形中最大的邊，所以 C是銳角.利用算器可得C= 33° ,B=180 -(A+C)=180 -(41 +33 )=106 °.注：在利用余弦定理解三角形時，也要注意判斷有兩解的情況【課堂練習(xí)】1、 ABC

10、 中,若 AB 5, AC 3, BC 7,則A的大小為(A.150oB. 120oC. 60oD. 30o2、22在 ABC中，若c aC二(A. 60B. 90 °C. 150D. 1202223、在 ABC 中，a c bA. 60B. 45 或 135C.120D.304、邊長為5,7,8的三角形的最大角的余弦是(1 A.7C.11141D. 一145、若ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、,22,b c bc ,則角A的大小為()22A. 6b, 3C,3D, 3 或 3(sinA sinB)sin B,則角 C 等于(6、在 ABC中，a、b c分別是三內(nèi)角 A B

11、、C的對邊，且sin2 A sin2CA. B. C. 5D. 263632227、 ABC 中，右 sin A sin B sin C sin Asin C 那么角 B =8、在 ABC 中，角 A、B、C 所對的邊分別為 a、b、c ,若 J3b c cosA a cosC ,貝 U cosAb9、aabc的三個內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為a, b, c, asin Asin B bcos2 A J2a ,則a22210、已知 A, B,C 是 ABC 的內(nèi)角，并且有 sin A sin B sin C sin Asin B ,則 C 小結(jié)：(1)余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同

12、規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；(2)余弦定理的應(yīng)用范圍：已知三邊求三角；已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。三、解三角形的應(yīng)用1 .正弦定理： a =。sin A2 .余弦定理：a2 , b2 2c 。cosA , cosB , cosC 1 .與測量有關(guān)的術(shù)語、名詞(1)仰角、俯角：視線與水平線所成角中，視線在水平線上的稱為仰角，在水平線下的稱為俯角。如圖所示：/視線/f卬角水平線視線(2)方位角：從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角。如圖，方向線PA、PB的方位角分別是40 0、240 0 0(3)方向角：指北或指南的方向線與目標(biāo)線所成的小于900的角，叫做方向角，她是方位角的另一種表示形

13、式。如圖：目標(biāo)OA、OB的方向角分別為北偏東 600和南偏西300。此外還有特殊方向角，如正東方向，東南方向等。(4)視角：由物體兩端射出的兩條光線在眼球內(nèi)交叉而成的角。如圖:2 .應(yīng)用解三角形知識解實際問題的4個步驟是：(1)根據(jù)題意作出示意圖；(2)確定實際問題所涉及的三角形以及三角形中的已知和未知元素；(4)給出答案。(3)選用正、余弦定理求解；類型一：水平面上測量距離問題練習(xí)1：如圖，為了測定河的寬度，在一岸邊選定兩點A、B望對岸標(biāo)記物C,測得CAB 300,CBA 750 ,AB=120rm 求河的寬度。類型二：豎直面上測量高度問題練習(xí)2:地面上豎著一根旗桿 OP為了測得它的高度h,

14、在地面上取一點A,在A處測得 P點的仰角為30°,測得點A到旗桿底部。的距離為12后米，求旗桿的高度。類型三：航海問題練習(xí)3:兩艘游艇A B與海洋觀察站C的距離都等于a,游艇A在C北偏東30°, B在C 南偏東60°,求A、B之間的距離。練習(xí)4:某船開始看見燈塔在南偏東300方向，后來船沿南偏東60 0的方向航行45海里后 看見燈塔在正西方向，求這時船與燈塔的距離?！揪C合訓(xùn)練】1、在 ABC 中，a= 10, B=60° ,C=45 °，則 C 等于 （）A. 10 由 B. 10依 1 C.弋3 1 D. 1032、在 ABC中，a= 12,

15、 b=13, C=60° ,此三角形的解的情況是（）A.無解B. 一解C.二解D,不能確定3、在 ABC中，已知a2 b2 c2 bc,則角A為（）A. 一B. C. D. 一或上363334、在 ABC 中，若 acosA bcosB,貝 ABC 的形狀是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形5、已知銳角三角形的邊長分別為1, 3, a,則a的范圍是（）A. 8,10B.廄，而 C,而,10D."記,86、甲船在島B的正南方A處，AB=10千米，甲船以每小時 4千米的速度向正北航行，同時乙船自B出發(fā)以每小時6千米的速度向北偏東 60。的方向

16、駛?cè)ィ?dāng)甲，乙兩船相距最近時，它們所航行的時間是（）A150分鐘B, 15分鐘C. 21.5分鐘 D. 2.15分鐘777、飛機沿水平方向飛行，在A處測得正前下方地面目標(biāo) C得俯角為30° ,向前飛行10000米，到達B處，此時測得目標(biāo)C的俯角為75。，這時飛機與地面目標(biāo)的水平距離為（）A. 5000 米 B. 5000 <2 米 C, 4000 米 D. 4000V2 米8、在 ABC 中，若/ A: / B:/ C=1:2:3,則 a ：b ： C9、在 ABC 中，a 3<3,c 2, B 150。,則 b =10、在ABC 中，A = 60° , B=4

17、5° , a b 12 ,則 a=; b=11、已知 ABC中，a 181,b 209, A 121° ,則此三角形解的情況是12、在 ABC中，已知AB 10.2, A = 45° ,在BC邊的長分別為20, -203 , 5的情況下，求相應(yīng)角 C。313、在4ABC 中，BC = a, AC = b, a, b 是方程 x2 2,3x 2 0 的兩個根，且 2cos A B 1。求：（1）角 C 的度數(shù)；（2）AB的長度。14、在 ABC中，證明:cos 2 A cos2Bb211272 °ab15、海島O上有一座海撥1000米的山，山頂上設(shè)有一個觀

18、察站A,上午11時，測得輪船在島北60°東C處，俯角30° ,11時10分,又測得該船在島的北600西B處,俯角60° .這船的速度每小時多少千米?如果船的航速不變，它何時到達島的正西方向？此時所在點E離島多少千米？作業(yè)1.已知 ABC 中，a=c= 2, A = 30°,則 b=(A. .3B. 2 3C. 3 3D. 3+ 12. AABC中，a= V5, b= V3, sinB = ¥，則符合條件的三角形有（）A. 1個B. 2個C. 3個D. 0個3. （2010天津卷）在 ABC中，內(nèi)角A, B, C的對邊分別是a, bc.若 a2b2=V3bc, sinC = 2>/3sinB ,貝UA = ()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°4.已知銳角三角形的邊長分別為2、3、x,則x的取值范圍是（A. 1 x 5,13C.