橢圓性質(zhì)總結(jié)及習(xí)題

1、橢 圓重點：橢圓的定義、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的參數(shù)方程；難點：用橢圓的定義及基本性質(zhì)求橢圓的方程。1 橢圓的兩種定義：平面內(nèi)與兩定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于定長的點的軌跡，即點集M=P| |PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|；（時為線段，無軌跡）。其中兩定點F1，F(xiàn)2叫焦點，定點間的距離叫焦距。平面內(nèi)一動點到一個定點和一定直線的距離的比是小于1的正常數(shù)的點的軌跡，即點集M=P| ，0e1的常數(shù)。（為拋物線；為雙曲線）2 標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點在x軸上，中心在原點：（ab0）；焦點F1（c，0）， F2（c，0）。其中（一個）（2）焦點在y軸上，中心在原點：（ab0）；焦點F1（0，c）

2、，F(xiàn)2（0，c）。其中注意：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有ab0，并且橢圓的焦點總在長軸上；兩種標(biāo)準(zhǔn)方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A0，B0，AB），當(dāng)AB時，橢圓的焦點在x軸上，AB時焦點在y軸上。3參數(shù)方程 ：橢圓的參數(shù)方程 4.性質(zhì)：對于焦點在x軸上，中心在原點：（ab0）有以下性質(zhì)：坐標(biāo)系下的性質(zhì)： 范圍：|x|a，|y|b； 對稱性：對稱軸方程為x=0，y=0，對稱中心為O（0，0）； 頂點：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），長軸|A1A2|=2a，短軸|B1B2|=2b；（半長軸長，半短軸長）； 準(zhǔn)線方程：；或 焦半徑公式：P（x0，y0）為

3、橢圓上任一點。|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0；|PF1|=a+ey0，|PF2|=a-ey0;平面幾何性質(zhì)： 離心率：e=（焦距與長軸長之比）；越大越_，是_。 焦準(zhǔn)距；準(zhǔn)線間距二、焦點三角形結(jié)論一：若、是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，且，當(dāng)點P位于_時最大，cos=_.|PF1|PF2|的最大值為_. 結(jié)論二：過橢圓焦點的所有弦中通徑(垂直于焦點的弦)最短，通徑為_。三中點弦問題是橢圓的一條弦，中點M坐標(biāo)為，則直線的斜率為 。四弦長問題. (1)斜率為的直線與圓錐曲線相交于兩點，則所得的弦長 或 .(2)當(dāng)直線的斜率不存在時，可求出交點的坐標(biāo)，直接運算；(3)經(jīng)過圓錐曲線的焦

4、點的弦(也稱為焦點弦)的長度問題，可利用圓錐曲線的定義，將其轉(zhuǎn)化為利用 ，往往比利用弦長公式簡單。五X軸正半軸到橢圓的最短距離問題：已知橢圓，則點(m ，O)到橢圓的最短距離為：_.六過橢圓上點切線問題若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.習(xí) 題1、 求橢圓的長軸和短軸的長，離心率，焦點和頂點的坐標(biāo)。2、已知橢圓的焦點為和，P是橢圓上的一點，且是與的等差中項，則該橢圓的方程為_。3、 橢圓上的一點M到左焦點的距離為2，N是的中點，則ON的長是_。4、 如果方程表示焦點在x軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是_。5、 過橢圓的左焦點作x軸的垂線交橢圓于點P，為右焦點，若，則橢圓的離心率為_。6、 設(shè)

5、是橢圓的兩個焦點，以為圓心且過橢圓中心的圓與橢圓的一個焦點為M，若直線與圓相切，則該橢圓的離心率為_。7、點P是橢圓上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，且PF1F2的內(nèi)切圓半徑為1，當(dāng)P在第一象限時，P點的縱坐標(biāo)為_. 8、（2009年上海卷理）已知、是橢圓（0）的兩個焦點，為橢圓上一點，且.若的面積為9，則=_.9、（2009北京文）橢圓的焦點為，點P在橢圓上，若，則 ；的大小為 .10、已知橢圓的左、右焦點分別為、F2，點P在橢圓上，若P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點，則點P到軸的距離為_。 11、設(shè)點P（x，y）在橢圓，（1）試求點P到直線的距離d的最大值和最小值。(2) 求x+

6、2y的最小值。12、設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點.()若是該橢圓上的一個動點，求·的最大值和最小值;（）設(shè)過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點），求直線的斜率的取值范圍. 13、已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，點（是其左頂點，點在橢圓上，且，（）求橢圓的方程；（）若平行于的直線和橢圓交于兩個不同點，求面積的最大值，并求此時直線的方程 14、 已知橢圓的離心率為，長軸長為，直線 橢圓于不同的兩點，（）求橢圓的方程；（）若，且，求的值（點為坐標(biāo)原點）；（）若坐標(biāo)原點到直線的距離為，求面積的最大值15、在直角坐標(biāo)系中，點到F1、F2的距離之和是4，點的軌跡 與軸的

7、負(fù)半軸交于點，不過點的直線：與軌跡交于不同的兩點和（1）求軌跡的方程；（2）當(dāng)時，求與的關(guān)系，并證明直線過定點 16、已知點是橢圓上的一點，,是橢圓的兩個焦點,且滿足.()求橢圓的方程及離心率; ()設(shè)點,是橢圓上的兩點,直線,的傾斜角互補,試判斷直線的斜率是否為定值?并說明理由. 17、設(shè)橢圓方程為，過點M（0，1）的直線l交橢圓于點A、B，O是坐標(biāo)原點，點P滿足，點N的坐標(biāo)為，當(dāng)l繞點M旋轉(zhuǎn)時，求（1）動點P的軌跡方程；（2）的最小值與最大值.18、已知橢圓（a>b>0）的離心率e=，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.（）求橢圓的方程；（）設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點A

8、、B，已知點A的坐標(biāo)為（-a，0）. （i）若，求直線l的傾斜角； （ii）若點Q在線段AB的垂直平分線上，且.求的值.17、解：（1）法1：直線l過點M（0，1）設(shè)其斜率為k，則l的方程為y=kx+1.記A(x1,y1),B(x2,y2)，由題設(shè)可得點A、B的坐標(biāo) (x1,y1)、 (x2,y2)是方程組 的解. 將代入并化簡得(4+k2)x2+2kx-3=0，所以于是設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y), 則消去參數(shù)k得4x2+y2-y=0 當(dāng)k不存在時，A、B中點為坐標(biāo)原點（0，0），也滿足方程，所以點P的軌跡方程為4x2+y2-y=0 解法二：設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y)，因A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上，所以 得，所以當(dāng)時，有 并且 將代入并整理得 4x2+y2-y=0 當(dāng)x1=x2時，點A、B的坐標(biāo)為（0，2）、（0，2），這時點P的坐標(biāo)為（0，0）也滿足，所以點P的軌跡方程為 （2）由點P的軌跡方程知所以 故當(dāng)，取得最小值，最小值為當(dāng)時，取得最大值，最大值為18.【解析】（）解：由e=，得.再由，解得a=2b.由題意可知，即ab=2.解方程組得a=2，b=1，所以橢圓的方程