橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題

1、橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍求解問題【重點(diǎn)知識(shí)溫馨提示】1.e(0e1)2.確立一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程或不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式，建立關(guān)于a，c的方程或不等式，進(jìn)而得到關(guān)于e的方程或不等式，3. 【典例解析】例1.(2015新課標(biāo)全國(guó)，11)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，ABM為等腰三角形，且頂角為120，則E的離心率為()A. B2 C. D.例2.【2016高考新課標(biāo)3文數(shù)】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓：的左焦點(diǎn)，分別為的左，右頂點(diǎn).為上一點(diǎn)，且軸.過點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).若直線經(jīng)過的中點(diǎn)，則的離心率為（ ）（A）（B） （C） （

2、D）例3(2015福建)已知橢圓E：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線l：3x4y0交橢圓E于A，B兩點(diǎn)若|AF|BF|4，點(diǎn)M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是()A.B. C.D.例4.(2014江西)設(shè)橢圓C：1(ab0)的左，右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F2作x軸的垂線與C相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1B與y軸相交于點(diǎn)D，若ADF1B，則橢圓C的離心率等于_【跟蹤練習(xí)】1. (2015浙江)橢圓1(ab0)的右焦點(diǎn)F(c，0)關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)Q在橢圓上，則橢圓的離心率是_2. 已知橢圓1(ab0)與雙曲線1(m0，n0)有相同的焦點(diǎn)(c,0)和(c,0)，若c是a

3、、m的等比中項(xiàng)，n2是2m2與c2的等差中項(xiàng)，則橢圓的離心率是()A. B. C. D.3.已知橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(c,0)、F2(c,0)，若橢圓上存在點(diǎn)P使，則橢圓的離心率的取值范圍為_4.過雙曲線1(a0，b0)的一個(gè)焦點(diǎn)F作一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)A，與另一條漸近線交于點(diǎn)B，若2，則此雙曲線的離心率為()A.B. C2 D.5.(2015山東)過雙曲線C：1(a0，b0)的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線，交C于點(diǎn)P.若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a，則C的離心率為_6.(2015湖北)將離心率為e1的雙曲線C1的實(shí)半軸長(zhǎng)a和虛半軸長(zhǎng)b(ab)同時(shí)增加m(m0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得

4、到離心率為e2的雙曲線C2，則()A對(duì)任意的a，b，e1b時(shí)，e1e2；當(dāng)ae2C對(duì)任意的a，b，e1e2 D當(dāng)ab時(shí)，e1e2；當(dāng)ab時(shí)，e10，b0）矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上，AB，CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且2|AB|=3|BC|，則E的離心率是_8（2015年高考）過雙曲線的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線，交于點(diǎn).若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則的離心率為 .9、（齊魯名校協(xié)作體2016屆高三上學(xué)期第二次調(diào)研聯(lián)考）設(shè)直線x3ym0(m0)與雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B.若點(diǎn)P(m，0)滿足|PA|PB|，則該雙曲線的離心率是（）(A) (B) (C) (D) 10、（東營(yíng)

5、市、濰坊市2016屆高三高三三模）已知、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，以原點(diǎn)為圓心，半焦距長(zhǎng)為半徑的圓與橢圓相交于四個(gè)點(diǎn)，設(shè)位于軸右側(cè)的兩個(gè)交點(diǎn)為、，若為等邊三角形，則橢圓的離心率為（ ）ABCD11、（濟(jì)寧市2016屆高三上學(xué)期期末）已知拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為，則該雙曲線的離心率為A. B. C. D. 12、（萊蕪市2016屆高三上學(xué)期期末）已知雙曲線的左焦點(diǎn)是，離心率為e，過點(diǎn)F且與雙曲線的一條漸近線平行的直線與圓軸右側(cè)交于點(diǎn)P，若P在拋物線上，則A. B. C. D. 13，（煙臺(tái)市2016屆高三上學(xué)期期末）設(shè)點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，是雙曲線的右焦點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)P恰為拋物線與雙曲

6、線C的漸近線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，則雙曲線C的離心率e的值為A. B. C. D. 1,4、（青島市2016高三3月模擬）已知點(diǎn)為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，且滿足，則雙曲線的離心率為_.15、（日照市2016高三3月模擬）已知拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線相交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，為直角三角形，則雙曲線的離心率為A.3B.2C. D. 16. (2015重慶)如圖，橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F2的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且PQPF1.(1)若|PF1|2，|PF2|2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若|PQ|PF1|，且，試確定橢圓離心率e的取值范圍答案部分：

7、例1【解析】如圖，設(shè)雙曲線E的方程為1(a0，b0)，則|AB|2a，由雙曲線的對(duì)稱性，可設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)在第一象限內(nèi)，過M作MNx軸于點(diǎn)N(x1，0)，ABM為等腰三角形，且ABM120，|BM|AB|2a，MBN60，y1|MN|BM|sinMBN2asin 60a，x1|OB|BN|a2acos 602a.將點(diǎn)M(x1，y1)的坐標(biāo)代入1，可得a2b2，e，選D.例2【答案】A例3如圖，設(shè)左焦點(diǎn)為F0，連接F0A，F(xiàn)0B，則四邊形AFBF0為平行四邊形|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.設(shè)M(0，b)，則，1b2.離心率e，故選A.例4.直線AB：xc，代入1，得y.A(c，

8、)，B(c，)kBF1.直線BF1：y0(xc)令x0，則y，D(0，)，kAD.由于ADBF1，1，3b44a2c2，b22ac，即(a2c2)2ac，e22e0，e.e0，e.【跟蹤練習(xí)】1，答案方法一設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F1(c,0)，如圖，連接QF1，QF，設(shè)QF與直線yx交于點(diǎn)M.由題意知M為線段QF的中點(diǎn)，且OMFQ.又O為線段F1F的中點(diǎn)，F(xiàn)1QOM，F(xiàn)1QQF，|F1Q|2|OM|.在RtMOF中，tanMOF，|OF|c，可解得|OM|，|MF|，故|QF|2|MF|，|QF1|2|OM|.由橢圓的定義得|QF|QF1|2a，整理得bc，ac，故e.方法二設(shè)Q(x0，y0)，

9、則FQ的中點(diǎn)坐標(biāo)，kFQ，依題意解得又因?yàn)?x0，y0)在橢圓上，所以1，令e，則4e6e21，離心率e.2解析在雙曲線中m2n2c2，又2n22m2c2，解得m，又c2am，故橢圓的離心率e.3依題意及正弦定理，得(注意到P不與F1，F(xiàn)2共線)，即，1，1，即e1，(e1)22.又0e1，因此1e1.4解析(1) 如圖，2，A為線段BF的中點(diǎn)，23.又12，260，tan 60，e21()24，e2. 答案C5.把x2a代入1得yb.不妨取P(2a，b)又雙曲線右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(c,0)，kF2P.由題意，得.(2)ac.雙曲線C的離心率為e2.6.e1，e2.不妨令e1e2，化簡(jiǎn)得0)，

10、得bmam，得ba時(shí)，有，即e1e2；當(dāng)ba時(shí)，有，即e1e2.故選B.7、【答案】 【解析】試題分析：依題意，不妨設(shè)作出圖像如下圖所示則故離心率 8、【答案】考點(diǎn)：1.雙曲線的幾何性質(zhì)；2.直線方程.9、【答案】B【解析】雙曲線的漸近線為yx，易求得漸近線與直線x3ym0的交點(diǎn)為A，B.設(shè)AB的中點(diǎn)為D.由|PA|PB|知AB與DP垂直，則D，kDP3，解得a24b2，故該雙曲線的離心率是.10B,11.B 12.D 13 D 14. 15.A16.解(1)由橢圓的定義，2a|PF1|PF2|(2)(2)4，故a2.設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知PF1PF2，因此2c|F1F2|2，即c，從而b1.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)如圖，連接F1Q，由PF1PQ，|PQ|PF1|，得|QF1|PF1|.由橢圓的定義，|PF1|PF2|2a，|Q