泰勒公式的余項(xiàng)及其應(yīng)用畢業(yè)論文

1、題 目 泰勒公式的余項(xiàng)及其應(yīng)用 摘 要0Abstract01引言12帶積帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式及其的應(yīng)用12.1帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式12.2帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式的應(yīng)用13帶積分型余項(xiàng)的泰勒公式及其應(yīng)用43.1帶積分型余項(xiàng)的泰勒公式43.2帶積分型余項(xiàng)泰勒公式的應(yīng)用44帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式及其應(yīng)用54.1帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式54.2帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式的應(yīng)用5結(jié)束語(yǔ)6參考文獻(xiàn)7致謝8摘 要：泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的內(nèi)容,它將一些復(fù)雜函數(shù)近似地表示為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù),這種化繁為簡(jiǎn)的功能,使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力杠桿. 但一般高數(shù)教材中僅介紹了如何用泰勒公式展

2、開(kāi)函數(shù)，而對(duì)泰勒公式的應(yīng)用方法并未深入討論，在教學(xué)過(guò)程中學(xué)生常因?qū)W用脫離而難.本文主要介紹了泰勒公式的一些基本內(nèi)容，在某些題目中運(yùn)用泰勒公式會(huì)達(dá)到快速解題的目.給出了帶皮亞諾型、拉格朗日型、積分型余項(xiàng)的泰勒公式.并分別例舉這幾種類型的泰勒公式在求極限、估計(jì)無(wú)窮小(大)量的階、命題證明、定積分計(jì)算、近似計(jì)算中重要作用.關(guān)鍵詞：泰勒公式；皮亞諾型余項(xiàng)；拉格朗日余項(xiàng)；積分型諾型余項(xiàng)；應(yīng)用Abstract: Taylor's formula is a very important mathematics content, it said some of the complex function

3、 approximation to a simple polynomial function, which simplify the function of analysis and research to make it a powerful lever for other mathematical problems. but generally only the high number of teaching describes how to start the function with the Taylor formula, while the Taylor formula appro

4、ach does not in-depth discussions, students in the teaching process from the often difficult for learning to use. This paper describes some of the basic content of Taylor's formula, used in some of the topics in the Taylor formula to achieve rapid problem-solving projects. Presented with a Renzo

5、 Piano-based, Lagrangian type, Integral Taylor formula. And were These types of examples in the Limit of the Taylor formula, it is estimated infinitely small (large) amount of the order, the proposition shows that to calculate the approximate calculation an important role. Key words: Taylor formula;

6、 Peano-type remainder; Lagrange remainder; Connaught Type remainder integral; Application.1引言泰勒公式的知識(shí)可用于解決很多問(wèn)題，它是研究代數(shù)、幾何等問(wèn)題的重要工具.同時(shí)泰勒公式在定積分的計(jì)算、求近似值、求極限、判斷斂散性、估計(jì)無(wú)窮（小）大量的階、命題證明等許多方面扮演著很重要的角色.如文4中介紹了帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式在求近似值中的應(yīng)用.再如文2中帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式在判別極值方面的應(yīng)用等等.從大量的應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)很多問(wèn)題用泰勒公式去解決很容易，也很簡(jiǎn)單，同時(shí)靈活巧妙的應(yīng)用泰勒公式卻不容易.當(dāng)然，不

7、同余項(xiàng)的泰勒公式之間是可以轉(zhuǎn)換的，但是不同的余項(xiàng)在解決不同的類型的問(wèn)題時(shí)都有各自的優(yōu)點(diǎn).本文主要研究了帶積分型、帶拉格朗日型.帶皮亞諾型的泰勒公式及其應(yīng)用，針對(duì)大多同學(xué)反映Taylor公式難以理解和掌握,繼而產(chǎn)生遇Taylor公式焦慮的現(xiàn)象，本文通過(guò)對(duì)Taylor公式不同余項(xiàng)的應(yīng)用歸納、總結(jié)，不僅可以幫助學(xué)生理解、應(yīng)用公式及其余項(xiàng),提高教學(xué)效果,同時(shí)對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)也有一定的積極意義。2帶積帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式及其的應(yīng)用2.1帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式定理1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處具有階導(dǎo)數(shù)，則有，其中稱為Peano型余項(xiàng).注 該定理說(shuō)明當(dāng)時(shí)用泰勒多項(xiàng)式近似取代時(shí)，其誤差是比高階的無(wú)窮小.2.2帶皮亞

8、諾余項(xiàng)的泰勒公式的應(yīng)用帶Peano余項(xiàng)的泰勒公式，因?yàn)槠銹eano余項(xiàng)只是給出其誤差的定性描述，而不是定量計(jì)算，于是很多人認(rèn)為它作用不大，其實(shí)它在求極限、求斂散性、估計(jì)無(wú)窮（?。┐罅康碾A級(jí)命題證明等方面扮演著很重要的角色，甚至起著不可替代的作用.2.2.1求極限為了簡(jiǎn)化極限運(yùn)算，有時(shí)可用某項(xiàng)的泰勒展開(kāi)式來(lái)代替該項(xiàng)，使得原來(lái)函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為類似多項(xiàng)式有理分式的極限，就能簡(jiǎn)捷的求出.例1求分析此題分母為，如果用洛比達(dá)法則，需連用4次，比較麻煩.而用帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式解求較簡(jiǎn)單.解 ，所以 ，于是 .帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式是求函數(shù)極限的一個(gè)非常有力的工具 ,運(yùn)用得當(dāng)會(huì)使求函數(shù)的極限變得十分簡(jiǎn)

9、單.判斷級(jí)數(shù)斂散性周知，要使用比較判別法判斷一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂，只要能找到一個(gè)相對(duì)“比較簡(jiǎn)單”的級(jí)數(shù)（如），且若，則級(jí)數(shù)與有相同的斂散性.若，且級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)也收斂.若，且級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)也發(fā)散.問(wèn)題是如何尋找同時(shí)求出極限，且希望，利用泰勒公式可以解決.例2討論級(jí)數(shù)的斂散性.解 由泰勒展開(kāi)式得 .選取比較級(jí)數(shù)，因?yàn)椋?jí)數(shù)收斂，所以由級(jí)數(shù)斂散性判別知級(jí)數(shù)收斂.2.2.3估計(jì)無(wú)窮（?。┐罅康碾A如何估計(jì)無(wú)窮（小）大量的階，對(duì)于簡(jiǎn)單函數(shù)可以用估猜法，但對(duì)于復(fù)雜的函數(shù)（特別是帶參數(shù)）就無(wú)能為力了，但用帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式就可以迎刃而解.例3當(dāng)時(shí)，函數(shù)是多少階無(wú)窮小量？其中是參數(shù).解因?yàn)?. .

10、所以.故當(dāng)時(shí)，是2階無(wú)窮小量；當(dāng)時(shí)，是4階無(wú)窮小量.從例題可以看出用帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式可以很好的解決較為復(fù)雜的估計(jì)無(wú)窮（?。┐罅康碾A.命題證明證明與高階導(dǎo)數(shù)相關(guān)的命題，同時(shí)又不需要討論其余項(xiàng)時(shí)，帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式是一種極為有效的工具.例4證明：若，并且，則.證明因存在，根據(jù)帶有皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式有： 于是 ，從而 ，令，上式兩邊取極限，得，故.3帶積分型余項(xiàng)的泰勒公式及其應(yīng)用3.1帶積分型余項(xiàng)的泰勒公式定理2 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上有階連續(xù)函數(shù)， ，則有 ， 其中稱為積分型余項(xiàng). 3.2帶積分型余項(xiàng)泰勒公式的應(yīng)用帶積分型余項(xiàng)的泰勒公式在解決一些復(fù)雜的定積分計(jì)算中能夠簡(jiǎn)單、巧妙的的將問(wèn)題

11、解決.例5計(jì)算解設(shè)則，由公式有.例6計(jì)算.解 .4帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式及其應(yīng)用4.1帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式定理3 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上有直到階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有階導(dǎo)數(shù)，則有 ， 這里的泰勒公式余項(xiàng)稱為拉格朗日余項(xiàng)，其中在與之間.4.2帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式的應(yīng)用當(dāng)要求的算式不能得出它的準(zhǔn)確值時(shí),即只能求出其近似值,這時(shí)泰勒公式是解決這種問(wèn)題的最好方法.例7計(jì)算，使得誤差不超過(guò). 解， ，欲使只需要取，于是.例8計(jì)算的值,使誤差不超過(guò)0.0001解先寫出帶拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林展開(kāi)式：，其中（在與之間）.令,要使.則取即可.因此.結(jié)束語(yǔ)泰勒公式的余項(xiàng)及其應(yīng)用的研究探討是高等數(shù)學(xué)中一

12、個(gè)十分重要的課題，研究這個(gè)課題的學(xué)者很多，我從他們的文獻(xiàn)中獲益匪淺，他們的研究使我學(xué)習(xí)了解了很多關(guān)于泰勒公式的知識(shí)，使我能更好的完成這篇論文.本文主要介紹了帶積分型、拉格朗日型、皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式，并給出了它在計(jì)算定積分、求極限、估計(jì)無(wú)窮（?。┐罅康碾A、近似計(jì)算、命題證明中的應(yīng)用.目的在于借助泰勒公式的廣泛應(yīng)用，將泰勒公式的知識(shí)應(yīng)用到數(shù)學(xué)解題的各個(gè)方面和領(lǐng)域中去，介紹泰勒公式在數(shù)學(xué)各方面的應(yīng)用和解求方法的簡(jiǎn)便性.當(dāng)然，泰勒公式不僅只是在計(jì)算定積分、求極限、估計(jì)無(wú)窮（?。┐罅康碾A、近似計(jì)算、命題證明中能解決許多問(wèn)題，同時(shí)也是研究分析數(shù)學(xué)的重要工具，也是數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用中是一種重要的應(yīng)用工具，因此

13、對(duì)于泰勒公式余項(xiàng)及其應(yīng)用的探究就顯得尤為重要.同時(shí)，至于柯西型的泰勒公式的證明及應(yīng)用本文沒(méi)有做討論，需要今后進(jìn)行不斷探究.參考文獻(xiàn)1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編數(shù)學(xué)分析（第3版）M北京：高等教育出版社，2001.2 王倩. 帶有皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式的推廣與應(yīng)用J .沈陽(yáng)建筑大學(xué)報(bào)，2005，（6）:774776.3 金順利. 關(guān)于泰勒公式應(yīng)用的幾個(gè)問(wèn)題J. 滄州師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2009，25（2）:102104.4 傅秋桃. 談?wù)勌├展降膸c(diǎn)應(yīng)用J. 鄖陽(yáng)師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2006，26（3）:910.5 譚榮. 泰勒公式的應(yīng)用J. 和田師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2008，28（1）:190192.6 徐香勤，張小勇.關(guān)于泰勒公式的幾點(diǎn)應(yīng)用J . 河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，14（2