數(shù)學(xué)試驗(yàn)四概率論一用MATLAB計(jì)算隨機(jī)變量的分布1用

1、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)四(概率論)一.用MATLA計(jì)算隨機(jī)變量的分布1 用MATLAB計(jì)算二項(xiàng)分布當(dāng)隨變量X : B(n, p )時(shí)，在MATLAB用命令函數(shù)Px =binopdf (X , n, p)計(jì)算某事件發(fā)生的概率為 p的n重貝努利試驗(yàn)中，該事件發(fā)生的次數(shù)為 X的概率。例1在一級(jí)品率為0.2的大批產(chǎn)品中，隨機(jī)地抽取 20個(gè)產(chǎn)品，求其中有2個(gè)一級(jí)品的 概率。解在MATLAB，輸入>>clear>> Px=bi nopdf(2,20,0.2)Px =0.1369即所求概率為0.1369b2. 用MATLAB計(jì)算泊松分布當(dāng)隨變量X : P(；|)時(shí)，在MATLAB用命令函數(shù)P =

2、poisspdf (x, lambda)計(jì)算服從參數(shù)為lambda的泊松分布的隨機(jī)變量取值 x的概率。用命令函數(shù)P = poisscdf (x,lambda)計(jì)算服從參數(shù)為lambda的泊松分布的隨機(jī)變量在fo,x 取值的概率。例2用MATLAB十算：保險(xiǎn)公司售出某種壽險(xiǎn)保單 2500份.此項(xiàng)壽險(xiǎn)每單需交保費(fèi)120元，當(dāng)被保人一年內(nèi)死亡時(shí)，其家屬可以從保險(xiǎn)公司獲得 2萬元的賠償(即保額為2萬元).假設(shè)此類被保人一年內(nèi)死亡的概率 0.002,試求：(1) 保險(xiǎn)公司的此項(xiàng)壽險(xiǎn)虧損的概率 ；(2) 保險(xiǎn)公司從此項(xiàng)壽險(xiǎn)獲利不少于10萬元的概率；(3) 獲利不少于20萬元的概率.利用泊松分布計(jì)算.二np

3、二2500 0.002二5(1) P(保險(xiǎn)公司虧本)=15 ,. kk .2500 -kP(302X v0)=1P(X 蘭 15)=1送 C500 £0.002)(0.998)k=e=1亠k丄k!_5在MATLAB中，輸入>> clear>> P1= poisscdf(15,5)P1 =0. 999915 5k即e'= P1 =0 . 9999k =0 k!故 P 保險(xiǎn)公司虧本=1-0.9999=0.0001P獲利不少于10萬元=10 10- kk2500 _k_ kP(30 2X 310) =P(X 蘭10)=送 C2500 £0002 )

4、 (0.998 )C2500k=0k=010 k_55 = e 心k!在MATLAB中，輸入 >>P=poisscdf(10,5) P =0.9863即'、=e'=0.9863心k!3P獲利不少于20萬元=55 k_ kk2500-k_ 5 _5P(302X Z20) =P(X 蘭5)=送 C；500 f0.002 ) (0.998 )=L ek =0km k !在MATLAB中，輸入>>P=poisscdf(5,5)P =0.61605 k5_5e心k!=0.61603. 用MATLAB計(jì)算均勻分布當(dāng)隨機(jī)變量 X : U a,b時(shí)，在MATLAB中用命

5、令函數(shù)P 二 unifpdf x,a,b計(jì)算在區(qū)間l.a,b 1服從均勻分布的隨機(jī)變量的概率密度在x處的值。用命令函數(shù)P = unifcdf (X,a,b)計(jì)算在區(qū)間la, b服從均勻分布的隨機(jī)變量的分布函數(shù)在X處的值。例3乘客到車站候車時(shí)間：U 0,6，計(jì)算P 1 ：- 3。解 P 1 <_3 uP _3 -P _1在MATLAB，輸入>>p1=u ni fcdf(3,0,6)pl =0.5000>>p2=u ni fcdf(1,0,6)p2=0.1667>>p1-p2ans =0.3333即P 1 ：_3 =0.33334. 用MATLAB計(jì)算指數(shù)

6、分布當(dāng)隨變量X : E (&)時(shí)，在MATLAB用命令函數(shù)P =exp pdf (x,lamda )計(jì)算服從參數(shù)為片的指數(shù)分布的隨機(jī)變量的概率密度。用命令函數(shù)P =expcdf (x,lamda )計(jì)算服從參數(shù)為丸-1的指數(shù)分布的隨機(jī)變量在區(qū)間fo, x 取值的概率。例4用MATLAB計(jì)算：某元件壽命服從參數(shù)為 ( =1000,)的指數(shù)分布.3個(gè)這 樣的元件使用1000小時(shí)后，都沒有損壞的概率是多少？解 由于元件壽命服從參數(shù)為(=1000)的指數(shù)分布，PC 1000) =1 -P(乞 1000)在MATLAB，輸入>>p=expcdf(1000,1000)0. 6321 &

7、gt;>1-pans =0.3679即P( .1000) =1 _P( 叮000) = 0.3679再輸入>>p2=bi nopdf(3,3,0.3679)p2 =0.0498即3個(gè)這樣的元件使用 1000小時(shí)都未損壞的概率為0.0498。5。用MATLAB計(jì)算正態(tài)分布當(dāng)隨變量X : N (巴02 )時(shí)，在MATLAB中用命令函數(shù)P = no rmpdf (K, mu, sigma)計(jì)算服從參數(shù)為 巴貯的正態(tài)分布的隨機(jī)變量的概率密度。用命令函數(shù)P = normcdf (K, mu, sigma)計(jì)算服從參數(shù)為 巴貯的正態(tài)分布的隨機(jī)變量的分布函數(shù)在K處的值。2年.如該例5用MA

8、TLAB計(jì)算：某廠生產(chǎn)一種設(shè)備，其平均壽命為10年，標(biāo)準(zhǔn)差為設(shè)備的壽命服從正態(tài)分布，求壽命不低于9年的設(shè)備占整批設(shè)備的比例？。解設(shè)隨機(jī)變量為設(shè)備壽命，由題意 N(10,22)PC _9) =1 _P( ：9)在MATLAB，輸入>>clear>> p1=n ormcdf(9,10,2)p1 =0.3085>>1-p1ans = 0.6915二.利用MATLA計(jì)算隨機(jī)變量的期望和方差1. 用MATLAB計(jì)算數(shù)學(xué)期望(1 )用MATLAB十算離散型隨機(jī)變量的期望 通常，對(duì)取值較少的離散型隨機(jī)變量，可用如下程序進(jìn)行計(jì)算：X 二Xi,X2, X； P =Pl, P2

9、； , Pn； EX 二 X * P對(duì)于有無窮多個(gè)取值的隨機(jī)變量，其期望的計(jì)算公式為:odE(X)=送 xpi -0.可用如下程序進(jìn)行計(jì)算：EX =symsum(Xi p ,0,inf)例6 一批產(chǎn)品中有一、二、三等品、等外品及廢品5種，相應(yīng)的概率分別為0.7、0.1、0.1、0.06及0.04,假設(shè)其產(chǎn)值分別為 6元、5.4元、5元、4元及0元.求產(chǎn)值的平均值解 將產(chǎn)品產(chǎn)值用隨機(jī)變量 表示，那么的分布為:產(chǎn)值©65.4540概率P0.70.10.10.060.04產(chǎn)值的平均值為'的數(shù)學(xué)期望。在 MATLAB中，輸入-6 5.4 5 4 01 ；p-l.0.7 0.1 0 1

10、 0 06.004E =5.4800即產(chǎn)品產(chǎn)值的平均值為5.48.例7隨機(jī)變量X的分布列如下:k =12 n,計(jì)算EX.00 1解 - EX八5k zfc 2在MATLAB中，輸入syms k ；symsum(k* (1/2)A k.k.1, inf)ans 二值得注意的是，對(duì)案例3.15中簡單隨機(jī)變量，直接用公式計(jì)算即可， 不一定使用軟件計(jì)算。(2)用MATLAB十算連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望假設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式為：EX xf(x)dxJjoO程序如下：EX =int(x* f(x), _inf,inf)例8用MATLAB計(jì)算：假定國際市場(chǎng)上對(duì)我國某種商品的年需求量是一個(gè)

11、隨機(jī)變量a _ x _ b其它(單位：噸)，服從區(qū)間l.a,b I上的均勻分布，其概率密度為: 計(jì)算我國該種商品在國際市場(chǎng)上年銷售量的期望 E .1 dx b - a在MATLAB中，輸入clear; symsx a b;E = int ( x/(b _a), x,a,b)E=1/2/(b-a)*(bA2-aA2)E = (a b)/2(3)用MATLAB十算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望假設(shè)g(X)是隨機(jī)變量X的函數(shù)，那么當(dāng)X為離散型隨機(jī)變量且有分布律PX =Xk = Pk (k =1,2,n或k =1,2)時(shí)，隨機(jī)變量g(X)的數(shù)學(xué)期望為：cdEg(X)八 g(xQPkk =0其MATLAB計(jì)算程

12、序?yàn)椋篍g(X)二symsum(g(Xk)* Pk,0,inf)當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量且有概率密度 ;：(x)時(shí)，隨機(jī)變量g(X)的數(shù)學(xué)期望為：Eg(x) =必(滬(x)dx其MATLAB計(jì)算程序?yàn)椋篍X =int(g(x)* f(x),_inf,inf)例9利用MATLAB十算：假定國際市場(chǎng)每年對(duì)我國某種商品的需求量是 隨機(jī)變量X 單 位：噸，服從20,40上的均勻分布，該商品每售出 1噸，可獲利3萬美元，假設(shè)銷售不 出去，那么每噸要損 失1萬美元，如何組織貨源，才可使收益最大？解設(shè)y為組織的貨源數(shù)量，R為收益，銷售量為依題意有R=g=3 _y_-y化簡得又銷售量服從20,40上的均勻分，即1

13、20 ：: x : 40：x二 200其它于是E(R)=Eg( )=：.g(x) (x)dxJtJO1 40一20 20 g(x)dx1 y140一0(4xy)dx+f 3ydx20 2020 y在MATLAB 命令窗口輸入>>clear ;symsx y>>EY=1/20*(i nt(4*x-y),x,20,y)+in t(3*y,x,y,40)結(jié)果顯示1/10*yA2-40-1/20*y*(y-20)+3/20*y*(40-y)將其化簡，輸入命令>>simplify(1/10*yA2-40-1/20*y*(y-20)+3/20*y*(40-y)結(jié)果顯示-

14、1/10*yA2-40+7*y再對(duì)y在區(qū)間120,40 1上求最大值，在命令窗口輸入>> f min bnd('1/10* xa 2 -7* x 40',20,40)結(jié)果顯示3.5000e+001即當(dāng)組織35噸貨源時(shí)，收益最大。(注：simplify (f)是對(duì)函數(shù)f化簡；fminbnd( f' ,a,b)是對(duì)函數(shù)f在區(qū)間a,b上求 極小值。要求函數(shù)的極大值時(shí)只需將f '變?yōu)?-f ')2. 用MATLAB計(jì)算方差計(jì)算方差的常用公式為：D(X) =E(X2) -E(X)2假設(shè)離散型隨機(jī)變量 X有分布律PX二Xk二Pk (k =1,2,n或k=

15、1,2),其MATLAB計(jì)算程序?yàn)閄 二Xi,X2, ,Xn； P =Pi, P2，Pn； EX =X * P；2AD(X)二X. * P -EX 2假設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量且密度函數(shù)為f(x)，那么方差的MATLAB計(jì)算程序?yàn)镋X =int(x* f(x), _inf,inf);2D(X)二int(x * f(x), inf,inf) -EX 2例10利用MATLAB十算：設(shè)有甲、乙 兩種股票，今年的價(jià)格都是10元，一年后它們的價(jià)格及其分布分別如下表：X元812.115P0.40.50.1Y元68.623P0.30.50.2試比擬購置這兩種股票時(shí)的投資風(fēng)險(xiǎn)解 兩公司的股票價(jià)格都是離散型隨機(jī)變量

16、先計(jì)算甲公司股票的方差，在MATLA晞令窗口輸入X =8,121,15;P 二0.4,0.5,0.1;EX =X.* P;DX 二XM2* P -EX 人2運(yùn)行結(jié)果顯示DX =5.7425類似的程序我們可得乙公司股票的方差為DY =39.09相比之下，甲公司股票方差小得多，故購置甲公司股票風(fēng)險(xiǎn)較小。例11用MATLAB十算：例8中我國商品在國際市場(chǎng)上的銷售量的方差解 銷售量為la,b 1上均勻分布，即密度函數(shù)為1a Ex Eb(x)二 b -aI 0 其它在MATLAB令窗口輸入clear; symsxab;E =int( x/(b-a), x,a,b)；DF： =int(1/(b _a)xA

17、2,x,a,b) _E 人2運(yùn)行后結(jié)果顯示1/3/(b-a)*(bA3-aA3)-1/4/(b-a)A2*(bA2-aA2)A2將其化簡，在命令窗口中輸入simplify(1/3/(b-a)*(bA3-aA3)-1/4/(b-a)A2*(bA2-aA2F2)結(jié)果顯示1/12*aA2-1/6*b*a+1/12*bA22即b _a 2 /12，這與前面的結(jié)論是一致的。3. 常見分布的期望與方差常見分布的期望與方差可以調(diào)用如下函數(shù)完成表3.1 分布類型名稱函數(shù)名稱函數(shù)調(diào)用格式二項(xiàng)分布Bino statE,D= Bin ostat(N,P)幾何分布GeostatE,D= Geostat(P)超幾何分布HygestatE,D= Hygestat(M,K,N)泊松分布PoisstatE,D= Poisstat(九)連續(xù)均勻分布Uni fstatE,D= Uni fstat(N)指數(shù)分布ExpstatE,D= Expstat(MU)正態(tài)分布NormstatE,D= No