線性代數(shù)45135

1、線性代數(shù)復習提綱第一部分：基本要求（計算方面）四階行列式的計算；N階特殊行列式的計算（如有行和、列和相等）；矩陣的運算（包括加、減、數(shù)乘、乘法、轉置、逆等的混合運算）；求矩陣的秩、逆（兩種方法）；解矩陣方程；含參數(shù)的線性方程組解的情況的討論；齊次、非齊次線性方程組的求解（包括唯一、無窮多解）；討論一個向量能否用和向量組線性表示；討論或證明向量組的相關性；求向量組的極大無關組，并將多余向量用極大無關組線性表示；將無關組正交化、單位化；求方陣的特征值和特征向量；討論方陣能否對角化，如能，要能寫出相似變換的矩陣及對角陣；通過正交相似變換（正交矩陣）將對稱矩陣對角化；寫出二次型的矩陣，并將二次型標準化

2、，寫出變換矩陣；判定二次型或對稱矩陣的正定性。第二部分：基本知識一、行列式1行列式的定義 用n2個元素aij組成的記號稱為n階行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n個元素乘積的代數(shù)和；（2）展開式共有n!項，其中符號正負各半；2行列式的計算  一階|=行列式，二、三階行列式有對角線法則； N階（n>=3）行列式的計算：降階法定理：n階行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積的和。方法：選取比較簡單的一行（列），保保留一個非零元素，其余元素化為0，利用定理展開降階。 特殊情況上、下三角形行列式、對角形行列式的值等于主對角線上元素的乘積

3、；（2）行列式值為0的幾種情況： 行列式某行（列）元素全為0；行列式某行（列）的對應元素相同；行列式某行（列）的元素對應成比例；奇數(shù)階的反對稱行列式。二矩陣1矩陣的基本概念（表示符號、一些特殊矩陣如單位矩陣、對角、對稱矩陣等）； 2矩陣的運算 （1）加減、數(shù)乘、乘法運算的條件、結果； （2）關于乘法的幾個結論： 矩陣乘法一般不滿足交換律（若ABBA，稱A、B是可交換矩陣）；矩陣乘法一般不滿足消去律、零因式不存在；若A、B為同階方陣，則|AB|=|A|*|B|；|kA|=kn|A|3矩陣的秩 （1）定義非零子式的最大階數(shù)稱為矩陣的秩； （2）秩的求法一般不用定義求，而用下面結論： 矩陣的初等變換

4、不改變矩陣的秩；階梯形矩陣的秩等于非零行的個數(shù)（每行的第一個非零元所在列，從此元開始往下全為0的矩陣稱為行階梯陣）。 求秩：利用初等變換將矩陣化為階梯陣得秩。4逆矩陣 （1）定義：A、B為n階方陣，若ABBAI，稱A可逆，B是A的逆矩陣（滿足半邊也成立）； （2）性質：(AB)-1=(B-1)*(A-1)，(A')-1=(A-1)'；(A B的逆矩陣，你懂的)（注意順序）（3）可逆的條件：   |A|0；r(A)=n;  A->I;（4）逆的求解 伴隨矩陣法A-1=(1/|A|)A*；(A*    A的

5、伴隨矩陣)初等變換法（A:I）->(施行初等變換)（I:A-1） 5用逆矩陣求解矩陣方程： AX=B，則X=（A-1）B；XB=A，則X=B(A-1)；AXB=C，則X=(A-1)C(B-1)三、線性方程組1線性方程組解的判定 定理： (1) r(A,b)r(A)  無解；(2) r(A,b)=r(A)=n  有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)<n   有無窮多組解；特別地：對齊次線性方程組AX=0(1)  r(A)=n  只有零解；(2)  r(A)<n  有非零解；&#

6、160;    再特別，若為方陣， (1)|A|0  只有零解(2)|A|=0   有非零解2齊次線性方程組  （1）解的情況：  r(A)=n，（或系數(shù)行列式D0）只有零解；r(A)<n，（或系數(shù)行列式D0）有無窮多組非零解。  （2）解的結構：  X=c11+c22+Cn-rn-r。 （3）求解的方法和步驟： 將增廣矩陣通過行初等變換化為最簡階梯陣；寫出對應同解方程組；移項，利用自由未知數(shù)表示所有未知數(shù)；表示出基礎解系；寫出通解。3非齊次線性方程組（1）解

7、的情況：利用判定定理。（2）解的結構：  X=u+c11+c22+Cn-rn-r。 （3）無窮多組解的求解方法和步驟： 與齊次線性方程組相同。（4）唯一解的解法： 有克萊姆法則、逆矩陣法、消元法（初等變換法）。四、向量組1N維向量的定義注：向量實際上就是特殊的矩陣（行矩陣和列矩陣）。2向量的運算： （1）加減、數(shù)乘運算（與矩陣運算相同）；  （2）向量內積'=a1b1+a2b2+anbn； （3）向量長度      |='=(a12+a22+an2)    &

8、#160;   (  根號)（4）向量單位化(1/|)； （5）向量組的正交化（施密特方法） 設1， 2，n線性無關，則1=1，2=2-（21/1）*1，3=3-（31/11）*1-（32/22）*2，。3線性組合  （1）定義若=k11+k2 2+knn，則稱是向量組1， 2，n的一個線性組合，或稱可以用向量組1， 2，n的一個線性表示。 （2）判別方法將向量組合成矩陣，記 A(1， 2，n)，B=(1，2，n,) 若r (A)=r (B)，則可以用向量組1， 2，n的一個線性表示；若r (A

9、)r (B)，則不可以用向量組1， 2，n的一個線性表示。 （3）求線性表示表達式的方法： 將矩陣B施行行初等變換化為最簡階梯陣，則最后一列元素就是表示的系數(shù)。4向量組的線性相關性（1）線性相關與線性無關的定義 設 k11+k22+knn=0， 若k1,k2,，kn不全為0，稱線性相關；  若k1,k2,，kn全為0，稱線性無關。  （2）判別方法：   r(1， 2，n)<n，線性相關；    r(1， 2，n)=n，線性無關。 若有n個n維向量，可用行列式

10、判別： n階行列式aij0，線性相關（0無關） (行列式太不好打了) 5極大無關組與向量組的秩（1）定義極大無關組所含向量個數(shù)稱為向量組的秩 （2）求法設A(1， 2，n)，將A化為階梯陣，則A的秩即為向量組的秩，而每行的第一個非零元所在列的向量就構成了極大無關組。  五、矩陣的特征值和特征向量 1定義對方陣A，若存在非零向量X和數(shù)使AXX，則稱是矩陣A的特征值，向量X稱為矩陣A的對應于特征值的特征向量。 2特征值和特征向量的求解： 求出特征方程|I-A|=0的根即為特征值，將特征值代入對應齊次線性方程組(I-A)X0中求出

11、方程組的所有非零解即為特征向量。 3重要結論：（1）A可逆的充要條件是A的特征值不等于0；（2）A與A的轉置矩陣A'有相同的特征值；（3）不同特征值對應的特征向量線性無關。六、矩陣的相似1定義對同階方陣A、B，若存在可逆矩陣P，使P-1AP=B，則稱A與B相似。2求A與對角矩陣相似的方法與步驟（求P和）：求出所有特征值；求出所有特征向量；若所得線性無關特征向量個數(shù)與矩陣階數(shù)相同，則A可對角化（否則不能對角化），將這n個線性無關特征向量組成矩陣即為相似變換的矩陣P，依次將對應特征值構成對角陣即為。3求通過正交變換Q與實對稱矩陣A相似的對角陣：方法與步驟和一般矩陣相同，只是第三歩

12、要將所得特征向量正交化且單位化。七、二次型                                              

13、60;         n 1定義n元二次多項式f(x1,x2,，xn)=  aijxixj稱為二次型,若aij=0(ij)，則稱為二交型的標準型。