第六章 定積分

1、 第六章 定積分前一章討論了已知一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù),如何求原來的函數(shù),這樣一個積分學(xué)的基本問題-不定積分。這一章將討論積分學(xué)的另一個基本問題定積分.本章的主要問題有: 1.什么是定積分?2.定積分有哪些性質(zhì)?3.定積分與不定積分有何關(guān)系?4.如何計算定積分和應(yīng)用定積分?6.1+6.3 定積分的概念與基本性質(zhì)主要教學(xué)內(nèi)容:(1) 引出定積分概念的例子; (2) 定積分的概念;(3) 定積分的幾何意義;（4）定積分的基本性質(zhì)；教學(xué)目的及要求: 使學(xué)生理解定積分的定義與基本性質(zhì);重點難點及解決措施: 重點、難點: 連續(xù)變量的累積，定積分的性質(zhì); 解決措施:用具體實例幫助學(xué)生理解抽象的概念.教學(xué)方法及手段

2、設(shè)計:講授法一、引出定積分概念的例子1.曲邊梯形的面積定義；在直角坐標(biāo)系中,由一條連續(xù)曲線y=(x)和三條直線x = a、x = b和y = 0 (x軸) 所圍成的圖形, 稱為曲邊梯形, 如右圖AabBA (與直邊梯形AabB的區(qū)別) 。問題：當(dāng)y = (x) 0 時, 曲邊梯形AabB的面積怎么求呢? 中學(xué)里會求直邊多邊形(特別是矩形)的面積, 下面利用矩形的面積來求曲邊梯形AabB的面積.分析:問題的難度在于曲邊梯形AabB的高對整個區(qū)間a, b來說是一個變量, 其最大值與最小值之差較大;從區(qū)間a, b的一個局部(小區(qū)間)來看,它也是一個變量;但因(x)連續(xù), 從而當(dāng)x 0時, y0,故可

3、將此區(qū)間的高近似看為一個常量,從而此區(qū)間對應(yīng)的小窄曲邊梯形CEFH的面積近似等于小窄矩形DEFH的面積. 因而,如果把區(qū)間a, b任意地劃分為n個小區(qū)間,并在每一個區(qū)間上任取一點, 再以該點的高來近似代替該小區(qū)間上窄曲邊梯形的高,從而每個窄曲邊梯形就可近似地視為一個小窄矩形, 而且全部窄矩形的面積之和也可作為曲邊梯形面積的近似值.要想得精確值, 只需區(qū)間a, b的分法無限細(xì)密(即每個小區(qū)間的長度x 0時, 全部窄矩形的面積之和的極限一定是曲邊梯形面積的精確值.從而可用下述方法和步驟來求曲邊梯形的面積:第一步：分割；用分點=b將區(qū)間a,b任意地劃分為n個小區(qū)間，每個小區(qū)間的長度為，過每個分點作垂

4、直于x軸的直線, 將曲邊梯形分成 n 個窄曲邊梯形。 第二步：近似、求和；小矩形面積小曲邊梯形面積 ，。第三步：求極限。記各小區(qū)間的最大長度為，當(dāng)分點數(shù)n無限增大且各小區(qū)間的最大長度 對上述和式取極限就得曲邊梯形的面積,即2.變速直線運動的路程設(shè)物體的運動速度為v=v(t),求物體在時間區(qū)間a,b內(nèi)運動的距離s.第一步：分割；用分點=b將區(qū)間a,b任意地劃分為n個小區(qū)間，每個小區(qū)間的長度為，第二步：近似、求和；在區(qū)間上任取一時刻，將物體看成在時間內(nèi)以作勻速直線運動，即 第三步：求極限。記各小區(qū)間的最大長度為，當(dāng)分點數(shù)n無限增大且各小區(qū)間的最大長度 對上述和式取極限就得物體在時間區(qū)間a,b內(nèi)運動

5、的距離s.即上述兩個問題都?xì)w結(jié)為同一結(jié)構(gòu)的和的極限，我們抽象出它的一般形式進(jìn)行討論，就得到定積分的概念。二、定積分的概念1.定積分的定義 ：（定義6.1 p232）設(shè)(x)在a, b上有定義, 點=b將區(qū)間a, b任意地劃分為n個小區(qū)間; 每個小區(qū)間的長度為,在每個小區(qū)間上任取一點作和式,若當(dāng)時,有確定的極限值 I, 且 I 與區(qū)間a, b的分法和的取法無關(guān),則稱函數(shù)(x)在區(qū)間a, b上可積,并稱此極限值I為(x)在區(qū)間a, b上的定積分, 記為, 即。其中(x)為被積函數(shù), (x)d x稱為被積表達(dá)式, x 稱為積分變量, a稱為積分下限, b稱為積分上限, a, b稱為積分區(qū)間,稱為積分

6、和。2.上述兩個引例的定積分表示（1）曲邊梯形的面積：（2）變速直線運動的路程3.注意（1）.反之不能推出。極限過程 ,既保證了分點個數(shù)無限增多(),又保證了區(qū)間分割無限細(xì)密(即所有小區(qū)間的長度都趨于0).（2）定積分的存在性(充分條件)i若(x)在區(qū)間a, b 上無界, 則(x)在a, b上必不可積.ii.若(x)在區(qū)間a, b上連續(xù), 則(x)在a, b上可積.iii.若(x)在區(qū)間a, b上有界且只有有限個間斷點,則(x)在a, b上可積.（3）若(x)在區(qū)間a, b上可積,則定積分是一常數(shù),它只與被積函數(shù)、積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量用什么字母表示無關(guān)，即（4）規(guī)定 特別地，(5) (x

7、)在區(qū)間a, b上可積的充要條件是極限（常數(shù)）,且此極限值與a, b的分法和的取法無關(guān),因此,對于可積函數(shù)(x),若要用定義來計算，則可選擇較為方便的區(qū)間分法（等分區(qū)間）和的取法（左（或右）端點）,使得計算簡便。例1利用定積分定義計算定積分.解 因(x)=2x+3 在 0, 4 上連續(xù), 故它在a,b上可積, 從而可將區(qū)間0, 4 特殊劃分并特殊取點.不妨在區(qū)間0, 4 內(nèi)插入 n 個等分點分成 n 個小區(qū)間, 取右端點為 ,且故三、定積分的幾何意義當(dāng)且ab時, 定積分 表示一個在 x 軸上方的曲邊梯形的面積。當(dāng)且 a b時, 定積分表示一個在 x 軸下方的曲邊梯形的面積的相反數(shù).當(dāng)(x)在a

8、, b上有正有負(fù)時, 定積分的值就是 x 軸上方的曲邊梯形的面積與 x 軸下方的曲邊梯形的面積的代數(shù)和.四、定積分的基本性質(zhì) 性質(zhì)1：；性質(zhì)2：推廣（線性性質(zhì)）：性質(zhì)3（可加性）：對任意c,有推廣：性質(zhì)4：若，且，則推論1：推論2：性質(zhì)5：若f(x)=1,則性質(zhì)6：若，則幾何意義：區(qū)間a, b上方以曲線 y =(x)為曲邊的曲邊梯形的面積，介于以a,b為底、 以被積函數(shù)(x)的最小值m及最大值M為高的兩個矩形的面積之間. 性質(zhì)7：（積分中值定理）設(shè)，則在上至少存在一點，使得幾何意義：區(qū)間a ,b上方以曲線 y =(x)為曲邊的曲邊梯形的面積,等于以區(qū)間a, b為底、以() 為高的這個矩形的面積

9、稱為(x)在a, b上的平均值。例 試比較下列各組中定積分之大?。?）；（2）；作業(yè) p266 2 (3)(4)、3（2） 6.4定積分與不定積分的關(guān)系 主要教學(xué)內(nèi)容:(1) 變上限的積分及其導(dǎo)數(shù); (2) 微積分基本公式;教學(xué)目的及要求: 使學(xué)生理解變上限的積分的概念，掌握其導(dǎo)數(shù)的求解方法,，熟練掌握用微積分基本公式求不定積分;重點難點及解決措施: 重點: 微積分基本公式; 難點: 變上限的積分及其導(dǎo)數(shù);解決措施:用具體實例幫助學(xué)生理解.教學(xué)方法及手段設(shè)計:講授法一、變限的積分函數(shù)1、變上限積分函數(shù):在區(qū)間,上連續(xù)，區(qū)間,上的任意一點, 因為在區(qū)間,上連續(xù)，則在區(qū)間,連續(xù)，即在區(qū)間,上的定積

10、分一定存在，即存在，當(dāng)變化時，也變化，因此，它是定義在,上的函數(shù)，記為 ,，稱為變上限函數(shù)或稱為積分上限函數(shù)。2、變上限積分函數(shù)的性質(zhì)定理6.1：設(shè)函數(shù)，則變上限積分可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為證明：見教材p2393、原函數(shù)存在定理定理6.2：若函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，則變上限積分是在a,b上的一個原函數(shù)。推論1 若(x)在a, b上連續(xù), j(x)在a, b上可導(dǎo), 則推論2 若(x)在a, b上連續(xù), 在a, b上可導(dǎo), 則例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）； （2）；（3）； （4）例2 求極限； 課堂練習(xí)： P268 8題二、牛頓萊布尼茲公式（微積分基本公式）定理6.3：設(shè)函數(shù)，函數(shù)是的一個原函數(shù)，

11、則證明：也是f(x)的一個原函數(shù)。故，求出c=-F(a)即可證明。見教材p241牛頓萊布尼茲公式當(dāng)然也可寫作它不僅給出了計算定積分的統(tǒng)一、簡便的計算方法,而且也揭示了不定積分與定積分在計算方法上的關(guān)系例3求下列定積分1.; 2; 3. 例4. (見教材p242例5)例5設(shè)在0，1上連續(xù)，且滿足，求及。解： 因此，注意:若f(x)在a,b上不可積,則定理6.3不可用,例如,函數(shù)f(x)=在x=0處不連續(xù).課堂練習(xí)： 已知，求 （=1/5）三、小結(jié)掌握變限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及牛頓萊布尼茲公式求定積分的求解方法；并注意其使用條件與帶有絕對值的定積分的計算。 作業(yè) p266 4 (3) (4)、5（10

12、）（12）（14）、 9 6.5+6.6定積分的換元積分法與分部積分法主要教學(xué)內(nèi)容:(1) 定積分的換元積分法; (2) 定積分的分步積分法;教學(xué)目的及要求: 使學(xué)生掌握定積分的性質(zhì);重點難點及解決措施: 重點: 熟練運用換元積分法與分步積分法; 難點: 靈活運用換元積分法與分步積分法;解決措施:用具體實例幫助學(xué)生理解抽象的概念.教學(xué)方法及手段設(shè)計:講授法由牛頓萊布尼茲公式知:計算定積分的關(guān)鍵在于求出(x)在a, b上的一個原函數(shù)F(x); 而由第五章知求函數(shù)的原函數(shù)(即不定積分)的方法有湊微分法、換元法和分部積分法.因而在一定條件下,也可用這幾種方法來計算定積分 一.湊微分法因用湊微分法計算

13、不定積分時自始至終沒有引入新變量,故用湊微分法計算定積分時, 也應(yīng)自始至終不改變積分限.下面舉例說明例1 求二.換元積分法定積分的換元公式：設(shè)(x)在a, b上連續(xù), 令 x =j(t) 如果(1) j(t)在,上單調(diào)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)(2) j()= a, j()= b, 則 證明在應(yīng)用換元公式計算定積分時, 應(yīng)注意以下幾個問題:(1) 所選擇的代換式x=j(t)必須滿足定理中的兩個條件;(2) 換元積分的關(guān)鍵是換限.記住“上限對上限,下限對下限”;(3) 求出的一個原函數(shù)后,不必象求不定積分那樣把 j(t)還原成x的函數(shù),而只須直接將 t 的上、下限代入相減即可.例2.求下列積分（1） （

14、=1/6） ；（2） （=3ln3）例3求 (=)例4證明：（1）若，且為偶函數(shù)，則（2）若，且為奇函數(shù) ，則。利用此結(jié)論可簡化奇函數(shù)及偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分的計算。例5 求下列定積分 1.； 2. 課堂練習(xí)：(1)（）；(2)（）；(3) （）三.分部積分法設(shè)u=u(x)與v=v(x)在a,b上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則注意：（1）（2）用分部積分法計算定積分,因沒有引入新的變量,故在計算過程中自始至終均不變限,u 、 v的選擇與不定積分的分部積分法相同.例7求下列定積分1、 ；2、；3、 課堂練習(xí)：(1) ；(2) ；（3）解1：原式 例8設(shè)在0，1上連續(xù)，且，求.解：五、小結(jié) 1注意定積分的換元

15、積分公式以及換元一定要換限；2注意定積分的分部積分公式以及u、v的選擇原則。作業(yè) p266 6（3）（7）（10）、7（3）（6）（8）、13 6.7 定積分的應(yīng)用 主要教學(xué)內(nèi)容:(1) 平面圖形的面積; (2) 立體的體積;（3）經(jīng)濟(jì)應(yīng)用；教學(xué)目的及要求: 使學(xué)生掌握用定積分求平面圖形的面積和立體的體積;會用定積分解決經(jīng)濟(jì)問題;重點難點及解決措施: 重點: 定積分在幾何與經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用；難點: 平行截面面積為已知的立體的體積；解決措施:用具體實例幫助學(xué)生理解.教學(xué)方法及手段設(shè)計:講授法定積分的應(yīng)用極其廣泛, 以下僅介紹它在幾何與經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用一、平面圖形的面積1. 曲邊梯形的面積由定積分的幾何意

16、義知：當(dāng)且ab時,定積分 表示一個在 x 軸上方的曲邊梯形的面積。當(dāng)f（x）0且 a o時， （2）當(dāng)f（x）0時，； （3）當(dāng)f(x)在a,b上有正有負(fù)時,類似地，x=(y)，y=c，y=d及y軸所圍成的曲邊梯形的面積公式為：2.一般平面圖形的面積求由曲線所圍成之平面圖形的面積例1 求橢圓所圍成的圖形的面積例2計算拋物線，所圍成的圖形的面積（選擇為積分變量）。解：為了定出圖形的所在范圍, 應(yīng)先求出拋物線和直線的交點，為此, 解方程組即這兩條拋物線的交點為 (2, -2) 及 (8, 4)。從而知道這圖形在直線 y = -2 及 y = 4 之間。取 y 為積分變量,且 y -2, 4, 則思

17、考: 若選 x 為積分變量，應(yīng)該如何做? 請同學(xué)們課后自己作一下.例3 求曲線、與直線所圍成的圖形的面積。例4 求曲線在區(qū)間（0，4）內(nèi)的一條切線，使該切線與直線、及軸所圍成的梯形面積最小。解：設(shè)切點坐標(biāo)為，切線為：且，因此，所圍平面圖形的面積為： ，令得唯一駐點，而 ，故是唯一極小值點，也就是最小值點。 所以，所求切線方程為：二、立體的體積1.旋轉(zhuǎn)體體積設(shè)一立體是由連續(xù)曲線y =(x) 、 直線x = a 、 直線x = b及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的.下面來求它的體積.（1）分割；用分點=b將區(qū)間a,b任意地劃分為n個小區(qū)間，每個小區(qū)間的長度為，過每個分點作垂直于x軸

18、的直線, 將旋轉(zhuǎn)體分成 n 個小旋轉(zhuǎn)體（2）近似、求和；將小旋轉(zhuǎn)體近似看成以底半徑為高為的直圓柱,則 ， 。（3）求極限。記各小區(qū)間的最大長度為，當(dāng)分點數(shù)n無限增大且各小區(qū)間的最大長度， 對上述和式取極限就得旋轉(zhuǎn)體的體積為類似地, 由曲線 x =(y) 、 直線 y = c 、 = d(cd)與y 軸所圍成的曲邊梯形,繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 一般地, 由連續(xù)曲線 y =(x) 、 y =g(x) 和直線 x = a 、x = b所圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積為例5求由曲線和 x=1，y=0所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。解： 例6求曲線與直線、圍成的平

19、面圖形分別繞、軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。解： 2.平行截面面積為已知的立體的體積設(shè)某立體被夾在過x軸上的點 x = a 與 x = b 并垂直于 x 軸的兩平面之間, 對應(yīng)于a,b上的任意點x處垂直于 x 軸的截面面積 S(x) 是 x 的連續(xù)函數(shù), 則此問題的體積為： 類似地，若立體被夾在過 y 軸上的點 y = c 與 y = d并垂直于 y 軸的兩平面之間, 在c, d上的任意點 y處垂直于 y 軸的截面面積 S(y) 是y的連續(xù)函數(shù), 則立體的體積為： 例7一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心，并且與底面交成角，計算這個平面截圓柱體所得立體的體積。解：建立如圖所示的坐標(biāo)系, 從而底面

20、圓的方程為 設(shè)x為R,R上之任意一點,過該點且垂直 x 軸的截面面積為S(x),則由三角形的面積公式, 有, 則所得立體的體積為：三、.經(jīng)濟(jì)應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)問題中,經(jīng)常都要涉及到各種經(jīng)濟(jì)量的總量.這些總量,在一定條件下,也可用定積分來進(jìn)行計算.（已知邊際(變化率), 求總量.）若總量P(t)在某區(qū)間I上可導(dǎo), 且a, xI, 則有在上式中,當(dāng)x為產(chǎn)量且a = 0時,只要將P(x)代之以總成本C(x)、總收益R(x)、總利潤L(x), 則有例8 教材p252例2 例9 設(shè)某產(chǎn)品的總成本C(單位:萬元)的邊際成本是產(chǎn)量x(單位: 百臺)的函數(shù)總收入R(單位:萬元)的邊際收入 是產(chǎn)量 x 的函數(shù)(1)求產(chǎn)

21、量由1百臺增加到5百臺時總成本與總收入各增加多少?(2)已知固定成本C(0)=1萬元.分別求出總成本、總收益、總利潤與產(chǎn)量 x 的函數(shù)關(guān)系式;(3)產(chǎn)量為多少時, 總利潤最大; 并求此時的最大總利潤,總成本及總收益各為多少?四、小結(jié)求平面圖形的面積的步驟.注意恰當(dāng)?shù)倪x擇積分變量有助于簡化積分運算作業(yè) p268-269 15 (3) (5) (9) (11)、16 、17 (2) (3)、19、206.9廣義積分與函數(shù) 主要教學(xué)內(nèi)容:(1) 無限區(qū)間上的積分(無窮積分; (2) 無界函數(shù)的積分;（3）函數(shù)教學(xué)目的及要求: 使學(xué)生理解無窮限廣義積分和無界函數(shù)廣義積分和定義及計算;重點難點及解決措施: 重點: 利用廣義積分的定義計算; 難點: 概念產(chǎn)生的背景；解決措施:用具體實例幫助學(xué)生理解抽象的概念.教學(xué)方法及手段設(shè)計:講授法前面討論的定積分不僅要求積分區(qū)間a, b有限,而且還要求被積函數(shù)(x)在a ,b上有界. 然而實際還經(jīng)常遇到無限區(qū)間或無界函數(shù)的積分問題.這兩類積分統(tǒng)稱為廣義積分. 其中前者稱為無窮積分, 后者稱為瑕積