第四章不定積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)書

1、第四章 不定積分教學(xué)與考試基本要求：1理解原函數(shù)與不定積分的概念；2會靈活運(yùn)用不定積分的性質(zhì)及基本積分公式求不定積分；3會靈活運(yùn)用第一類換元積分法求不定積分，會用第二類換元積分法來求被積函數(shù)含有根式的不定積分；4會靈活運(yùn)用分部積分法求不定積分；5會計(jì)算簡單有理函數(shù)的不定積分.4.1 不定積分的概念及性質(zhì)一、主要內(nèi)容回顧表4-1不定積分的概念及性質(zhì)原函數(shù)的概念如果在某區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，即對每一，都有 或 則函數(shù)就稱為在該區(qū)間上的原函數(shù).原函數(shù)存在的條件如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在上存在可導(dǎo)函數(shù)，使，即連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).注若在上有原函數(shù)，則有無數(shù)多個(gè)原函數(shù).任意兩個(gè)原函數(shù)只相差一個(gè)常數(shù).

2、不定積分的概念在區(qū)間上，的所有原函數(shù)稱為函數(shù) 在區(qū)間上的不定積分，記作.若是在區(qū)間上的原函數(shù)，則，其中為任意常數(shù).基本積分公式（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.（9）.（10）.（11）.（12）.（13）.不定積分的性質(zhì)（1）兩個(gè)函數(shù)和（差）的不定積分等于這兩個(gè)函數(shù)的不定積分的和（差），即.（2）求不定積分時(shí)，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分符號外面來，即（為常數(shù)，且）.不定積分與微分的關(guān)系先積后微，形式不變；先微后積，相差一個(gè)常數(shù).即（1）或 .（2）或 .二、基本題型及例題題型I判斷題（對者打“”，錯(cuò)者打“”）（1）（ ）（2） （ ）解（1）由可知本

3、題是對的.（2）由可知，.所以本題是錯(cuò)的.題型II選擇題（1）若的導(dǎo)函數(shù)是，則的一個(gè)原函數(shù)是（ ）A.B.C.D.（2）則（ ）A.B.C.D.解（1）由已知，設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，即. 則，將被選答案代入驗(yàn)證得. 故選B.（2）將所給等式的兩端對求導(dǎo)，得，故選A.題型III計(jì)算題（1）；（2）；（3）.解（1）.（2）.（3）.題型IV應(yīng)用題一曲線通過點(diǎn)，且在任一點(diǎn)處的切線的斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的倒數(shù)，求該曲線的方程.解 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得.則.又，所以.故該曲線的方程為.三、習(xí)題選解（習(xí)題4-1）1求下列不定積分（3）；（9）；（10）；（13）；（15）；（17）.解（3）.（9）.（10）

4、.（13）.（15）.（17）.3已知曲線上任一點(diǎn)處的切線斜率為，且曲線通過點(diǎn)，求此曲線方程.解設(shè)曲線方程為.由題意知：.兩邊同時(shí)對積分，得.又曲線過點(diǎn)，則代入上式，得.故.4設(shè)物體的運(yùn)動速度為，當(dāng)時(shí)，物體所經(jīng)過的路程，求物體的運(yùn)動規(guī)律.解設(shè)運(yùn)動方程為，由導(dǎo)數(shù)的物理意義可知： .兩邊同時(shí)對求積分，得.又時(shí)，代入上式，得.故物體的運(yùn)動規(guī)律為.4.2 換元積分法一、主要內(nèi)容回顧表4-2換元積分法公式及常用公式第一類換元積分法（湊微分法）設(shè)法將被積函數(shù)湊成且的原函數(shù)容易求出，則有，其中.常用的湊微分公式（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.（9）.第二類換元積分法先對積分變

5、量進(jìn)行換元，簡化被積函數(shù)的形式，再求積分，即令，其中及其導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，且，則.常用的幾種變量代換（1）被積函數(shù)中含有根式，令 或 .（2）被積函數(shù)中含有根式，令.（3）被積函數(shù)中含有根式，令.二、基本題型及例題題型I填空題（1）.（2）設(shè)是函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，則=.解（1）.（2）是函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，所以.則.題型II選擇題（1）函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)為（ ）A.B.C. D. （2）( )A.B.C. D. 解（1），所以選A.（2）令，則，. 則.所以選B.題型III計(jì)算題（1）；（2）；（3）；（4）.解（1）.（2）.（3）令，則.所以.（4）令，則，. 所以.三、習(xí)題選解2求下列不定積分（1）

6、；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）；（21）；（22）；（23）；（24）.解（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.（9）.（10）.（11）.（12）.（13）.（14）.（15）令，則.所以.（16）.（17）.（18）.（19）.（20）.（21）.（22）令，則.所以.（23）令，即，則.所以.（24）令，則，.所以.4.3 分部積分法一、主要內(nèi)容回顧表4-3分部積分法公式及常見類型分部積分公式,簡記為.常見的分部積分類型

7、1多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)（或三角函數(shù)）的乘積，將多項(xiàng)式選為，使用分部積分法，可以降低多項(xiàng)式的次數(shù).2多項(xiàng)式與對數(shù)函數(shù)（或反三角函數(shù)）的乘積，將對數(shù)函數(shù)（或反三角函數(shù)）選為.使用分部積分法，可以在求積分的過程中去掉對數(shù)函數(shù)（或反三角函數(shù)）部分.3冪函數(shù)與三角函數(shù)的乘積，使用若干次分部積分法后，等式右邊出現(xiàn)所求積分，此時(shí)只需解出所求積分即可.二、基本題型及例題題型I填空題（1）； （2）；（3）.解（1）.（2）.（3）.題型II選擇題（1）設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則=（ ） A. B. C. D.（2）=（ ） A. B. C. D.解（1）. 所以選A.（2）.所以選D.題型III計(jì)算題（1）；（2）

8、；（3）.解（1）.（2）.（3）.由，可得.故.三、習(xí)題選解求下列不定積分（其中均為常數(shù)）（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）.解（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.（9）.（10）.（11）.（12）.（13）.（14）.（15）.（16）所以.（17）.所以.（18）.所以.4.4 三種函數(shù)簡單形式的積分舉例一、主要內(nèi)容回顧表4-4三種函數(shù)的積分方法有理函數(shù)的積分首先將有理函數(shù)化成多項(xiàng)式與真分式的和，再把真分式部分利用待定系數(shù)法分解成若干

9、個(gè)最簡真分式的代數(shù)和。最簡真分式的形式只有四種：.三角函數(shù)有理式積分三角函數(shù)有理式的積分可通過萬能公式化成有理函數(shù)的積分.簡單無理式的積分對于被積函數(shù)含有無理根式的積分，總體思路是設(shè)法作根式代換使積分化成有理函數(shù)的積分.二、基本題型及例題題型計(jì)算題（1）求；（2）求；（3）求.解（1）設(shè). 通分得 . 比較兩邊同次項(xiàng)系數(shù)得 .所以.（2）令，則，.所以.（3）令則.所以.三、習(xí)題選解1求下列不定積分（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）.解（1）.（2）.（3）.（4）令.通分得.比較對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，得，.所以，.故.（5）.令.通分得

10、.比較對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，得，.所以，.故.（6）令. 通分得. 比較對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，得，. 所以，.故=.（7）令.通分得.比較兩端同次項(xiàng)系數(shù)得.所以.故.（8）令，則，.所以.（9）令，則，.所以.（10）令，則.所以.（11）令，則.所以.（12）令，即. 所以.2利用以前學(xué)過的方法求下列不定積分.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）.解（1）.（2）.（3）.（4）令，則.所以.（5）.（6）.（7）令.所以.（8）令，則.所以.（9）令，則，.所以.（10）.（11）.（12）.（13）.（14）.復(fù)習(xí)題四選解三、求下列積分1；2；3；4；5；6；7；8；9；10.解1.=.2.=.3.=.4.=.5.令，則，.所以=.6.令，則.所以=.7令，則，.所以=.8=.9令，則.所以=.10=.四、設(shè)為的原函數(shù)，求.解 依題意.則.五、（1）已知的一個(gè)原函數(shù)為，求. （2）已知的一個(gè)原函數(shù)為，求. （3）已知的一個(gè)原函數(shù)為，求.解 （1）.（2）依題意，則.（3）依題意，則.六、某產(chǎn)品邊際成本函數(shù)，邊際收益函數(shù)為，求總成本函數(shù)及收益函數(shù)，其中已知10000件物品的總成本為1200元.解 .令，則，.所以.依題意當(dāng)時(shí)，.所以.則.同理可得.又當(dāng)時(shí)，.所以.則.故總成