第十九章空間向量與立體幾何

1、第十九章 空間向量與立體幾何191 空間直角坐標(biāo)系題型一：坐標(biāo)軸及坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的特點(diǎn)例1 有下列敘述：在空間直角坐標(biāo)系中，在軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定可記為（0，0）；在空間直角坐標(biāo)系中，在平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定可記為；在空間直角坐標(biāo)系中，在軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定可記為；在空間直角坐標(biāo)系中，在平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定可記為。其中正確敘述的個(gè)數(shù)是（ ）A1B2C3D4題型二：在空間坐標(biāo)系中作點(diǎn)的方法例2 在空間直角坐標(biāo)系中，作出點(diǎn)A（2，2，-1），B（-3，2，-4），并判斷直線AB與坐標(biāo)平面的關(guān)系。題型三：建立直角坐標(biāo)系的方法例3 已知棱長(zhǎng)為2的正方體，建立如圖所示不同的空間直角坐標(biāo)系，試分別寫出正方體各頂點(diǎn)

2、的坐標(biāo)。題型四：在空間坐標(biāo)系中求點(diǎn)的坐標(biāo)的方法例4 如圖，長(zhǎng)方體中，為棱的中點(diǎn)，分別以AB、AD、所在的直線分別為、軸，建立空間直角坐標(biāo)系。（1）求點(diǎn)A、B、C、D、的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)N的坐標(biāo)。題型五：中點(diǎn)坐標(biāo)公式例5 如圖，在正方體中，E、F分別是、的中點(diǎn)，棱長(zhǎng)為1。求E、F點(diǎn)的坐標(biāo)。題型六：兩點(diǎn)間距離公式例6 已知的三個(gè)頂點(diǎn)A（1，5，2），B（2，3，4），C（3，1，5）。（1）求中最短邊的邊長(zhǎng)；（2）求AC邊上中線的長(zhǎng)度。題型七：兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用例7 在正四棱柱中，點(diǎn)E在AD上且，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，求線段EF的長(zhǎng)度。例8 正方形ABCD，ABEF的邊長(zhǎng)都是1，而且平面ABCD與平面A

3、BEF互相垂直，點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=。（1）求MN的長(zhǎng)；（2）求為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最短。19.2空間向量空間向量及其加減運(yùn)算題型一：空間向量的基本概念例1 如圖所示，在以AB=3，AD=2，=1的長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，（1）單位向量共有多少個(gè)？（2）試寫出模為的所有向量；（3）試寫出與向量相等的所有向量；（4）試寫出與向量相反的向量。題型二：平面向量的運(yùn)算方法例2 如圖所示，P為平行四邊形ABCD外的一點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)。求證：。例3 如圖，已知長(zhǎng)方體，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并標(biāo)化簡(jiǎn)結(jié)果的向量：（1）；（2）；（3）。題型三

4、：向量的分解例4 如圖，在平行六面體中，M、N、P分別是、BC、的中點(diǎn)，試用、表示：（1）；（2）；（3）；（4）。題型四：向量在立體幾何中的應(yīng)用例5 證明：四面體每一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)面重心所連的線段共點(diǎn)，且這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)面重心的距離的三倍?？臻g向量的數(shù)乘運(yùn)算題型一：共線向量例1 已知向量，且，都是不共線的向量。求證：。題型二：向量的數(shù)乘表示例2 已知如圖，PA平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，G為的重心，試用向量，表示向量、。題型三：向量共面的條件例3 已知A、B、M三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面ABM外的任一點(diǎn)O，分別在下列條件下確定，點(diǎn)P是否與A、B、M共面：（1）；（2）。例4 已知A、

5、B、C、D是空間四點(diǎn)，P是空間任一點(diǎn)，試證明：A、B、C、D四點(diǎn)共面的充要條件是：存在實(shí)數(shù)、，使，其中+=1。題型四：線線平行的證明例5 如圖所示，已知四邊形ABCD是空間四邊形，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊CB、CD上的點(diǎn)，且，。求證：四邊形EFGH是梯形。題型五：線面平行的證明例6 如圖，已知平面，AB、CD是夾在、間的兩條異面直線，若M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，求證：MN。題型六：面面平行的證明例7 已知P是平面四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，連接PA、PB、PC、PD，如圖所示，點(diǎn)E、F、G、H分別為、的重心，求證：（1）E、F、G、H四點(diǎn)共面；（2）平面EFGH平面A

6、BCD。題型七：三點(diǎn)共線證明例8 如圖，已知長(zhǎng)方體中，M為的中點(diǎn)，N在AC上，且ANNC=21，E為BM的中點(diǎn)，求證：、E、N三點(diǎn)共線。空間向量的數(shù)量積運(yùn)算題型一：對(duì)數(shù)量積的理解例1 下列命題是否正確？正確的給出證明，不正確的給予說(shuō)明。（1），則或；（2）；（3）。題型二：向量數(shù)量積求法例2 設(shè)向量與互相垂直，向量與它們構(gòu)成的角都是，且，那么_.例3 如圖19.2-21,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于,點(diǎn)E、F、G分別是AB、AD、DC的中點(diǎn),求下列向量的數(shù)量積.(1);(2);(3);(4).題型三:求線段的長(zhǎng)度例4 已知 ABCD中,AD=4,CD=3,PA平面ABCD,且

7、PA=6,求PC的長(zhǎng).題型四:求異面直線所成角例5 如圖19.2-22,在空間四邊形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,OAC=45°，OAB=，求OA與BC夾角的余弦值。例6 如圖19.2-23,四邊形ABCD為矩形,PA底面ABCD,BC=1,PA=2,求直線AC與PB所成的角余弦值.題型五:有數(shù)量積證明線線的垂直例7 在正方體ABCD-中,如圖19.2-24,求證:題型六：用數(shù)量積證明線面的垂直例8 如圖，在正方體中，P是的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中心。求證：平面PAC。題型七：直線與平面所成的角求法例9 如圖所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，側(cè)棱，D、

8、E分別是和的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是的重心G，求與平面ABD所成角的大小。題型八：二面角的求法例10 如圖，在四面體P-ABC中，PC面ABC，AB=BC=CA=PC，那么二面角B-AP-C的余弦值為（ ）ABCD例11 如圖，在正四面體ABCD中，AD=1（1）求AD與平面BCD所成角的余弦值；（2）求相鄰兩個(gè)面所成二面角的余弦值?？臻g向量的正交分解及空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示題型一：對(duì)空間坐標(biāo)系的理解例1 （1）如圖表示空間直角坐標(biāo)系的直觀圖中，正確的個(gè)數(shù)為（ ）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)（2）關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)，則=（ ）A（-1，-1，-6）B（-1，-1，6）C（1，1，6）D（2，

9、0，0）題型二：空間坐標(biāo)運(yùn)算例2 已知求：（1）題型三：對(duì)空間向量基底的理解例3 構(gòu)成空間的一個(gè)基底，若存在實(shí)數(shù)、，使得，則題型四：空間坐標(biāo)系的建立方法例4 已知是棱長(zhǎng)為2的正方體，、分別為和的中點(diǎn)，G為正方形的中心，建立如圖19.2-32所示的空間直角坐標(biāo)系,試寫出圖中各點(diǎn)的坐標(biāo)及向量、的坐標(biāo).題型五:空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算例5 設(shè)向量,.計(jì)算:(1);(2);(3);并確定、滿足什么關(guān)系時(shí),使與軸垂直.題型六:空間向量的平行與垂直條件例6 (1)已知,則與平行的向量是_(2)已知向量,若向量與垂直,則=_.題型七:共面的坐標(biāo)運(yùn)算例7 已知點(diǎn)在平面ABC內(nèi),求.題型八:異面直線所成角求法例八 已

10、知空間三點(diǎn)A(1,2,3)、B(2,-1,5)、C(3,2,-5).(1)求AB、AC的長(zhǎng);(2)求.題型九:異面直線間距離求法例9 已知正方體的棱長(zhǎng)為1,M是棱的中點(diǎn),是對(duì)角線的中點(diǎn),求異面直線與的距離.題型十:點(diǎn)到直線的距離求法例10 長(zhǎng)方體中,AB=4,AD=6,=4,M是的中點(diǎn),P在線段BC上,且,Q是的中點(diǎn),求:(1)異面直線AM與PQ所成的角.(2)M到直線PQ的距離.題型十一:點(diǎn)到平面的距離求法例11 如圖19.2-36,在直中棱柱中,底面是梯形,且，是棱的中點(diǎn)。（1）求證：CDAD；（2）求點(diǎn)到平面的距離；題型十二：直線與平面所成角求法例12 如圖19.2-37,在棱長(zhǎng)為4的正

11、方體中,是正方形的中心,點(diǎn)P在棱=ACP.求直線AP與平面所成的三角函數(shù)值.題型十三:二面角的平面求法例13 如圖19.2-40,以正四棱錐V-ABCD底面中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,其中,E為VC的中點(diǎn),正四棱錐底邊長(zhǎng)為,高為.(1)求;(2)設(shè)面BCV為,面DCV為,若是二面角的平面角,求的值.利用空間向量證明平行,垂直問(wèn)題題型一:法向量的求法例1 求所在平面的單位法向量,其中A(-1,-1,0)、B(1,1,1)、C(3,4,3).題型二:平行的判定方法例2 根據(jù)下列各條件,判斷相應(yīng)的直線與直線、平面與平面、直線與平面的位置關(guān)系:(1)直線、的方向向量分別是;(2)平面、的法向量

12、分別是;(3)直線的方向向量、平面的法向量分別是;(4)直線直線的方向向量、平面的法向量分別是.題型三:向量平行的條件例3 已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,2),求滿足DBAC,DCAB的點(diǎn)D的坐標(biāo).題型四:線面平行的證明方法例4 如圖19.3-5,已知四邊形ABCD、ABEF為兩個(gè)正方形,M、N分別在其對(duì)角線BF和AC上,且FM=AN,求證:MN平面EBC.題型五:面面平行的證明方法例5 正方體中,求證:平面平面.例6 已知正方體的棱長(zhǎng)為2,E、F分別是、的中點(diǎn)，求證：（1）；（2）平面平面。題型六：線線垂直的證明方法例7 在正方體中，M是棱的中點(diǎn)，為正方體ABCD的中心

13、，用坐標(biāo)證明。題型七：線面垂直的證明方法例8 已知正方體中，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)。求證：（1）平面；（2）平面。題型八：面面垂直的證明例9 如圖19.3-10所示，在四面體ABCD中，AB平面BCD,BC=CD,BCD=90°,ADB=30°，E、F分別是AC、AD的中點(diǎn)。求證：平面BEF平面ABC。例10 如圖19.3-11所示,正方體中,E、F分別是、CD的中點(diǎn).(1)證明:平面AED平面.(2)在AE上求一點(diǎn)M使.空間角的求法題型一:異面直線所成角的求法例1 如圖19.3-14所示,是直三棱柱,點(diǎn)、分別是和的中點(diǎn),若BC=CA=CC,則所成角的余弦值是( )A.

14、B.C.D.題型二:線面所成角的求法例2 如圖19.3-18所示,ABCD是一個(gè)正四面體,E、F分別為BC和AD的中點(diǎn).求:(1)AE與CF所成的角的余弦值;(2)CF與平面BCD所成角的正弦值.例3 在棱長(zhǎng)為的正方體中,E、F分別為BC、的中點(diǎn).(1)求證:四邊形是菱形;(2)求直線AD與平面所成的角的余弦值.例4 如圖19.3-20,正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為,側(cè)棱長(zhǎng)為.求與側(cè)面所成的角.題型三:二面角的平面求法例5 如圖19.3-21,四邊形ABCD是直角梯形,ADBC,SA平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,求面SBA所成的二面角的余弦值.例6 如圖19.3-22所示,在長(zhǎng)方體中,A

15、B=5,AD=8,M為上一點(diǎn)且,點(diǎn)N在線段上,AN.(1)求;(2)求直線AD與平面ANM所成角的余弦值;(3)求平面ANM與平面ABCD所成角的大小.空間距離的求法題型一:兩點(diǎn)間距離求法例1 如圖19.3-26,已知直線AB與平面所成角為30°,直線AC與平面所成角為60°,AB=6,AC=8,且斜線段AB和AC在平面內(nèi)的射影互相垂直,求BC.題型二:點(diǎn)到直線的距離求法例2 已知正方體的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)E是的中點(diǎn),求點(diǎn)E到直線BD的距離.題型三:點(diǎn)到平面的距離求法例3 如圖19.3-28,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是線段EF的中點(diǎn),N為AC與BD