等比數(shù)列復(fù)習(xí)教案

1、等比數(shù)列【要點(diǎn)精講】1等比數(shù)列定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示，即：數(shù)列對(duì)于數(shù)列（1）（2）（3）都是等比數(shù)列，它們的公比依次是2，5，。（注意：“從第二項(xiàng)起”、“常數(shù)”、等比數(shù)列的公比和項(xiàng)都不為零）2等比數(shù)列通項(xiàng)公式為：。說(shuō)明：（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以知道：當(dāng)公比時(shí)該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知：若為等比數(shù)列，則。3等比中項(xiàng)如果在中間插入一個(gè)數(shù)，使成等比數(shù)列，那么叫做的等比中項(xiàng)（兩個(gè)符號(hào)相同的非零實(shí)數(shù)，都有兩個(gè)等比中項(xiàng)） G2ab，G±

2、;；4等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式一般地，設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和是，當(dāng)時(shí)， 或；當(dāng)q=1時(shí)，（錯(cuò)位相減法）。說(shuō)明：（1）和各已知三個(gè)可求第四個(gè)；（2）注意求和公式中是，通項(xiàng)公式中是不要混淆；（3）應(yīng)用求和公式時(shí)，必要時(shí)應(yīng)討論的情況。4等比數(shù)列的判定方法定義法：對(duì)于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列；等比中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列5等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果是等比數(shù)列的第項(xiàng)，是等差數(shù)列的第項(xiàng)，且，公比為，則有；對(duì)于等比數(shù)列，若，則，也就是：。若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，那么，成等比數(shù)列【典例解析】題型1：等比數(shù)列的概念例1“公差為0的等差數(shù)列是等比數(shù)列”；“公比為的等比數(shù)列一定是

3、遞減數(shù)列”；“a,b,c三數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是b2=ac”；“a,b,c三數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是2b=a+c”，以上四個(gè)命題中，正確的有（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)解析：四個(gè)命題中只有最后一個(gè)是真命題。命題1中未考慮各項(xiàng)都為0的等差數(shù)列不是等比數(shù)列；命題2中可知an+1=an×，an+1<an未必成立，當(dāng)首項(xiàng)a1<0時(shí)，an<0，則an>an，即an+1>an，此時(shí)該數(shù)列為遞增數(shù)列；命題3中，若a=b=0，cR，此時(shí)有，但數(shù)列a,b,c不是等比數(shù)列，所以應(yīng)是必要而不充分條件，若將條件改為b=，則成為不必要也不充分條件。點(diǎn)評(píng)：該題通過(guò)一些選擇

4、題的形式考察了有關(guān)等比數(shù)列的一些重要結(jié)論，為此我們要注意一些有關(guān)等差數(shù)列、等比數(shù)列的重要結(jié)論。例2命題1：若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=an+b(a1)，則數(shù)列an是等比數(shù)列；命題2：若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=an2+bn+c(a0)，則數(shù)列an是等差數(shù)列；命題3：若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=nan，則數(shù)列an既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列；上述三個(gè)命題中，真命題有（ ）A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)解析： 由命題1得，a1=a+b，當(dāng)n2時(shí)，an=SnSn1=(a1)·an1。若an是等比數(shù)列，則=a，即=a，所以只有當(dāng)b=1且a0時(shí)，此數(shù)列才是等比數(shù)列。由命題2得，a1=a+b+c，當(dāng)n2

5、時(shí)，an=SnSn1=2na+ba，若an是等差數(shù)列，則a2a1=2a，即2ac=2a，所以只有當(dāng)c=0時(shí)，數(shù)列an才是等差數(shù)列。由命題3得，a1=a1，當(dāng)n2時(shí)，an=SnSn1=a1，顯然an是一個(gè)常數(shù)列，即公差為0的等差數(shù)列，因此只有當(dāng)a10；即a1時(shí)數(shù)列an才又是等比數(shù)列。點(diǎn)評(píng)：等比數(shù)列中通項(xiàng)與求和公式間有很大的聯(lián)系，上述三個(gè)命題均涉及到Sn與an的關(guān)系，它們是an=，正確判斷數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列，都必須用上述關(guān)系式，尤其注意首項(xiàng)與其他各項(xiàng)的關(guān)系。上述三個(gè)命題都不是真命題，選擇A。例3.（全國(guó)卷文）已知為等比數(shù)列，求的通項(xiàng)式。解: 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q, 則q0, a2=

6、= , a4=a3q=2q，所以 + 2q= , 解得q1= , q2= 3, 當(dāng)q=時(shí), a1=18.所以 an=18×()n1= = 2×33n. 當(dāng)q=3時(shí), a1= , 所以an=×3n1=2×3n3.例4（全國(guó)文） 設(shè)等比數(shù)列 an的公比q<1,前n項(xiàng)和為Sn.已知a3=2,S4=5S2,求an的通項(xiàng)公式.解：由題設(shè)知，則 由得，因?yàn)椋獾没虍?dāng)時(shí)，代入得，通項(xiàng)公式；當(dāng)時(shí)，代入得，通項(xiàng)公式題型2：等比數(shù)列的判定例5已知等比數(shù)列中，則其前3項(xiàng)的和的取值范圍是(D )（） （）（） （）【解1】：等比數(shù)列中 當(dāng)公比為1時(shí)， ； 當(dāng)公比為時(shí)， 從

7、而淘汰（）（）（）故選D；【解2】：等比數(shù)列中 當(dāng)公比時(shí)，； 當(dāng)公比時(shí)， 故選D；【考點(diǎn)】：此題重點(diǎn)考察等比數(shù)列前項(xiàng)和的意義，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及均值不等式的應(yīng)用；【突破】：特殊數(shù)列入手淘汰；重視等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和，以及均值不等式的應(yīng)用，特別是均值不等式使用的條件；點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)，推理和運(yùn)算能力。例6（2009浙江文）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，其中是常數(shù)（I） 求及；（II） （II）若對(duì)于任意的，成等比數(shù)列，求的值解（）當(dāng)，（） 經(jīng)驗(yàn)，（）式成立， （）成等比數(shù)列，即，整理得：，對(duì)任意的成立， 例7、(2008陜西文)已知數(shù)列的首項(xiàng)，（）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

8、 （）數(shù)列的前項(xiàng)和） ， ， ，又， 數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列（）由（）知，即，設(shè)， 則，由得 ，又?jǐn)?shù)列的前項(xiàng)和 題型3：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用例8一個(gè)等比數(shù)列有三項(xiàng)，如果把第二項(xiàng)加上4，那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列，如果再把這個(gè)等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上32，那么所得的三項(xiàng)又成為等比數(shù)列，求原來(lái)的等比數(shù)列解析：設(shè)所求的等比數(shù)列為a，aq，aq2；則2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；解得a=2，q=3或a=，q=5；故所求的等比數(shù)列為2，6,18或，。點(diǎn)評(píng)：第一種解法利用等比數(shù)列的基本量，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點(diǎn)是思路

9、簡(jiǎn)單、實(shí)用，缺點(diǎn)是有時(shí)計(jì)算較繁。例9(2009山東卷文)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為， 已知對(duì)任意的 ，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上. （1）求r的值； （11）當(dāng)b=2時(shí)，記 求數(shù)列的前項(xiàng)和解:因?yàn)閷?duì)任意的,點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.所以得,當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),又因?yàn)闉榈缺葦?shù)列, 所以, 公比為, 所以（2）當(dāng)b=2時(shí)，, 則 相減,得所以【命題立意】:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,以及已知求的基本題型,并運(yùn)用錯(cuò)位相減法求出一等比數(shù)列與一等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積所得新數(shù)列的前項(xiàng)和.例10（1）（2009安徽卷文）已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和，數(shù)列的前n項(xiàng)和（）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n3時(shí)， 【思路】由可求出，這是數(shù)列中求通項(xiàng)的常用方法之