第十章無(wú)窮級(jí)數(shù)VIP

1、第十章 無(wú)窮級(jí)數(shù)教學(xué)課題第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì) 教學(xué)重點(diǎn)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散概念和收斂必要條件教學(xué)難點(diǎn)判斷級(jí)數(shù)的斂散性大綱要求了解級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的概念，無(wú)窮級(jí)數(shù)基本性質(zhì)及收斂的必要條件。能判斷級(jí)數(shù)的斂散性基 本 內(nèi) 容無(wú)窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，它在現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法中具有重要地位，是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的工具本章在介紹數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)基本內(nèi)容的基礎(chǔ)上，討論冪級(jí)數(shù)、傅立葉級(jí)數(shù)及簡(jiǎn)單應(yīng)用。一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 1、引例引例1 用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正邊形,設(shè)a0表示內(nèi)接正三角形面積, ak 表示邊數(shù)增加時(shí)增加的面積,則圓內(nèi)接正邊形的面積為,時(shí)，這個(gè)和逼

2、近于圓的面積A，即。引例2 1703年，數(shù)學(xué)家格蘭第研究了11+11+11+ 的和（有無(wú)窮多個(gè)加數(shù)，1和-1交替出現(xiàn)）。Bagni在一所理工科中學(xué)對(duì)88名16-18歲、尚未學(xué)過(guò)無(wú)窮級(jí)數(shù)概念（但已學(xué)過(guò)無(wú)窮集合概念）的高中生進(jìn)行過(guò)一次測(cè)試,測(cè)試結(jié)果如下表：答案00或1不存在1/21無(wú)窮未給出答案人 數(shù)2618543230百分比29%20%6%5%4%2%34%2定義:（1）形如（其中每個(gè)是實(shí)數(shù)）的式子叫做（實(shí)）常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱（數(shù)項(xiàng)）級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)記為，即=，其中叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)。（2）級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和稱為級(jí)數(shù)的前項(xiàng)部分和；稱為部分和數(shù)列，記。（3）如果級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有極限, 即 則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂,這

3、時(shí)極限叫做級(jí)數(shù)的和.并寫(xiě)成，如果沒(méi)有極限,則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),稱差值為級(jí)數(shù)的余項(xiàng)，顯然例1 討論等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù))的收斂性。解，收斂發(fā)散，發(fā)散，故發(fā)散綜上例2判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:解:(1)時(shí)，證明級(jí)數(shù)是收斂的.所以級(jí)數(shù)(1) 發(fā)散。（2）二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)1若級(jí)數(shù)收斂,其和為，則亦收斂，且其和為，為常數(shù)。證: 令則結(jié)論：若，則級(jí)數(shù)與同時(shí)收斂、同時(shí)發(fā)散.性質(zhì)2.設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)，則級(jí)數(shù)也收斂, 其和為證: 令，這說(shuō)明級(jí)數(shù)也收斂,其和為結(jié)論：(1)收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減。(2)若兩級(jí)數(shù)、中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散,則必發(fā)散。(用反證法可證)(3)若兩級(jí)數(shù)、都發(fā)散,則不一定

4、發(fā)散。例如,設(shè)都發(fā)散，但卻收斂。性質(zhì)3在級(jí)數(shù)中加上、去掉或改變有限項(xiàng),不影響級(jí)數(shù)的斂散性。證:設(shè)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列為，去掉其前k 項(xiàng),所得新級(jí)數(shù)為，其部分和數(shù)列,由于時(shí),與的斂散性一致, 故新舊兩級(jí)數(shù)斂散性相同。 當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),其和的關(guān)系為。類似可證其它情況 。性質(zhì)4.對(duì)收斂級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后，所得的級(jí)數(shù)仍收斂，且和不變。證:設(shè)收斂級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列為，加括號(hào)后級(jí)數(shù)為則新級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列因此有推論: 若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.注意: 收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.例如，但發(fā)散。例4.判斷級(jí)數(shù)的斂散性。解:考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù)項(xiàng)通，發(fā)散 ,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散。性質(zhì)5（級(jí)數(shù)收斂的必要條件

5、）設(shè)收斂級(jí)數(shù)則必有證:，注:若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0 ,則級(jí)數(shù)必發(fā)散。例如,其一般項(xiàng)為，當(dāng)時(shí),不趨于0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散。注:并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.如,調(diào)和級(jí)數(shù)，雖然但此級(jí)數(shù)發(fā)散。事實(shí)上,假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于S , 則，但矛盾!所以假設(shè)不真。例5.判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性, 若收斂求其和:解:(1)令則，故，從而這說(shuō)明級(jí)數(shù)(1)發(fā)散。(2)因?yàn)檎f(shuō)明原級(jí)數(shù)收斂,其和為。(3)，故這說(shuō)明原級(jí)數(shù)收斂,其和為3。三、柯西收斂準(zhǔn)則定理.級(jí)數(shù)收斂的充要條件是:當(dāng)時(shí)，有證:設(shè)所給級(jí)數(shù)部分和數(shù)列為收斂收斂，所以,由數(shù)列收斂的柯西準(zhǔn)則，有 收斂例6.利用柯西收斂準(zhǔn)則判別級(jí)數(shù)的斂散性。 解:有取當(dāng)nN時(shí),都有由柯西收斂

6、準(zhǔn)則可知,級(jí)數(shù)收斂。小結(jié)：一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念級(jí)數(shù)的收斂的定義；級(jí)數(shù)的部分和與和。二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)判斷級(jí)數(shù)的斂散性；級(jí)數(shù)收斂的必要條件;求級(jí)數(shù)的和。三、柯西收斂準(zhǔn)則思考題：設(shè)與都收斂，且，能否推出收斂？練習(xí)題一、填空題:1、若,則=_；2、若,則=_；3、若級(jí)數(shù)為則_；4、若級(jí)數(shù)為則_；5、若級(jí)數(shù)為 則當(dāng)_時(shí)_；當(dāng)_時(shí)_；6、級(jí)數(shù),當(dāng)_時(shí)收斂；當(dāng)_時(shí)發(fā)散 .二、由定義判別級(jí)數(shù)的收斂性.三、判別下列級(jí)數(shù)的收斂性:1、；2、；3、.作業(yè)P144 1，2，3，4，5.備注欄第十章 無(wú)窮級(jí)數(shù)教學(xué)課題第二節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法教學(xué)重點(diǎn)掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法。掌握和p-級(jí)數(shù)的收斂性。教學(xué)難點(diǎn)正項(xiàng)級(jí)數(shù)

7、的比較審斂法大綱要求了解正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法，掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法。掌握p-級(jí)數(shù)的收斂性?；?本 內(nèi) 容一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法定義1若，則稱級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)定理1正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列有上界。證:（必要性）若收斂,則收斂,故有界，因而有上界。（充分性）部分和數(shù)列單調(diào)遞增,又已知有上界，而以0為下界，所以有界。由單調(diào)有界定理知收斂，從而收斂。定理2(比較審斂法)設(shè)和均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若都有，則有(1)如果級(jí)數(shù)收斂，那么級(jí)數(shù)也收斂；(2)如果級(jí)數(shù)發(fā)散，那么級(jí)數(shù)也發(fā)散。證:因在級(jí)數(shù)前加、減有限項(xiàng)不改變其斂散性,故不妨設(shè)對(duì)一切都有令和分別表示和的部分和,則有(1)若級(jí)數(shù)收斂，則其部分和有

8、上界，即，即數(shù)列有上界，由定理1知收斂。(2)為(1)的逆否命題，故成立。例1.討論p級(jí)數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性。解:1)若因?yàn)閷?duì)一切,而調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散,由比較審斂法可知 p 級(jí)數(shù)發(fā)散。2)若因?yàn)楫?dāng)時(shí),故考慮級(jí)數(shù)的部分和故級(jí)數(shù)收斂,由比較審斂法知p級(jí)數(shù)收斂。結(jié)論：若都有則發(fā)散；則收斂。例2.證明級(jí)數(shù)發(fā)散。證:而級(jí)數(shù)發(fā)散，根據(jù)比較審斂法可知,所給級(jí)數(shù)發(fā)散。定理3.(比較審斂法的極限形式)設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足則有(1)當(dāng)0< l< 時(shí),兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散；(2)當(dāng)l =0且收斂時(shí)，也收斂；(3)當(dāng)l =且發(fā)散時(shí)，也發(fā)散。證:l 時(shí)，由極限的定義,有即(1)當(dāng)0< l<

9、時(shí),取由定理 2 可知與同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散；(2)當(dāng)l =0時(shí),利用由定理2知若收斂時(shí)，也收斂；(3)當(dāng)l =時(shí)，由極限的定義,當(dāng)時(shí)，即，由定理2可知,若發(fā)散時(shí)，也發(fā)散。特別地，取對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)，則有:例3.判別級(jí)數(shù)的斂散性 。解:,根據(jù)比較審斂法的極限形式知發(fā)散。例4. 判別級(jí)數(shù)的斂散性。解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知收斂。定理4（比值審斂法）(Dalembert判別法)設(shè)是一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且，則(1)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；(2)當(dāng)（或）時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；(3)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散 證明：(1)當(dāng)時(shí)，取使由知，當(dāng)時(shí)，收斂 ,由比較審斂法可知收斂。(2)當(dāng)或時(shí),必存在當(dāng)時(shí),從而,因此所以級(jí)數(shù)發(fā)散。

10、（3）當(dāng)時(shí)，例如,p級(jí)數(shù)，但時(shí)級(jí)數(shù)收斂,時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。例5.討論級(jí)數(shù)的斂散性。解:,根據(jù)定理4可知:(1)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；(2)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；(3)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。定理5.根值審斂法 (Cauchy判別法)設(shè)是一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且則(1)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；(2)當(dāng)（或）時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；(3)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散 例6.證明級(jí)數(shù)收斂于S,并估計(jì)以部分和近似代替和S時(shí)所產(chǎn)生的誤差。證:由定理5可知該級(jí)數(shù)收斂。令則所求誤差為二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 定義2形如或（其中）的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)具有下列重要結(jié)論：定理6（萊布尼茨判別法）如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件：（1）；（2）則級(jí)數(shù)收斂，且其和，其余項(xiàng)

11、的絕對(duì)值。證:單調(diào)遞增，有上界，故，又故級(jí)數(shù)收斂于S,且的余項(xiàng)例7判斷交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性解: 因?yàn)榻诲e(cuò)級(jí)數(shù)中，它滿足條件：（1）；（2）由定理6知，所給級(jí)數(shù)收斂。此級(jí)數(shù)稱為萊布尼茨級(jí)數(shù)以后將此級(jí)數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)級(jí)數(shù)，應(yīng)熟記三、絕對(duì)收斂與條件收斂定義3 如果級(jí)數(shù)收斂，且級(jí)數(shù)也收斂，則稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；如果級(jí)數(shù)收斂，而級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱級(jí)數(shù)條件收斂。例如：為條件收斂，均為絕對(duì)收斂。對(duì)于一般的任意項(xiàng)級(jí)數(shù)沒(méi)有判斷其收斂性的通用方法，對(duì)于任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性問(wèn)題，通常是化為研究級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題，即轉(zhuǎn)化為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題下面討論級(jí)數(shù)與斂散性之間的關(guān)系。定理7絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂。證:設(shè)收斂，令顯然,且根據(jù)比較審斂法

12、收斂,而、都收斂，所以也收斂。注：如果級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)不一定發(fā)散。例如級(jí)數(shù)是發(fā)散的，但級(jí)數(shù)卻是收斂的。例8證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂:(1)； (2) 解:(1)由于，而等比級(jí)數(shù)是收斂的，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法知，級(jí)數(shù)收斂，因此級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。(2)因?yàn)樗杂烧?xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法，得級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)具有完全不同的性質(zhì)。*定理8.絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)不因改變項(xiàng)的位置而改變其和。*定理9.( 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘法 )設(shè)級(jí)數(shù)與都絕對(duì)收斂,其和分別為則對(duì)所有乘積按任意順序排列得到的級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂,其和為證明略。需注意條件收斂級(jí)數(shù)不具有這兩條性質(zhì)。小結(jié)1.利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性2.利

13、用正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法收斂的必要條件比值審斂法，根值審斂法收斂，發(fā)散，時(shí)，用其它方法判別：比較審斂法，求部分和極限，積分判別法等。3. 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法概念：設(shè)收斂。若收斂，則稱絕對(duì)收斂；若發(fā)散，則稱條件收斂。Leibniz判別法:若1）；2）則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。作業(yè) P150-151 1 ， 2 ,3 ，4，5 備注欄第十章 無(wú)窮級(jí)數(shù)教學(xué)課題第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)教學(xué)重點(diǎn)冪級(jí)數(shù)收斂域及和函數(shù)的求法教學(xué)難點(diǎn)求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)大綱要求了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)基 本 內(nèi) 容一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念定義1 設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)列，則稱為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)于區(qū)間內(nèi)

14、每一點(diǎn)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)既為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)收斂，則稱點(diǎn)x0為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)，級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)的全體，稱為該級(jí)數(shù)的收斂域若級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱點(diǎn)x0為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn)對(duì)收斂域內(nèi)每一點(diǎn)，都有一確定的和與之對(duì)應(yīng)，因此，在收斂域內(nèi)，的和是的函數(shù)，稱這個(gè)函數(shù)為的和函數(shù)，記為，即在收斂域內(nèi)總有例如等比級(jí)數(shù)為區(qū)間上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，它的公比為我們由等比級(jí)數(shù)的斂散性知道，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，這個(gè)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散即當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，在區(qū)間以外的點(diǎn)處，級(jí)數(shù)都發(fā)散所以它的收斂域?yàn)閰^(qū)間，其和函數(shù)為二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性 定義2.形如的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)叫做冪級(jí)數(shù),簡(jiǎn)稱冪級(jí)數(shù),其中是某個(gè)定數(shù),叫做冪級(jí)數(shù)的系數(shù).定理(Abel定理)如果級(jí)數(shù)

15、在處收斂,則它在滿足不等式的一切處絕對(duì)收斂;如果級(jí)數(shù)在處發(fā)散,則它在滿足不等式的一切處發(fā)散.證明而有一點(diǎn)適合使級(jí)數(shù)收斂,由(1)結(jié)論則級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)應(yīng)收斂,這與所設(shè)矛盾.推論當(dāng)冪級(jí)數(shù)的收斂域不是單點(diǎn)集時(shí)，（1）如果是有界集，則必有一個(gè)確定的正數(shù)，使得當(dāng)時(shí),冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;當(dāng)時(shí),冪級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)時(shí),冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.（2）如果是無(wú)界集，則=。正數(shù)R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，并把開(kāi)區(qū)間叫做冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。根據(jù)冪級(jí)數(shù)在的收斂性，決定收斂域?yàn)槠渲心囊粋€(gè)。規(guī)定 (1) 冪級(jí)數(shù)只在處收斂,收斂區(qū)間;(2) 冪級(jí)數(shù)對(duì)一切都收斂,收斂區(qū)間.問(wèn)題 如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑?定理2.如果冪級(jí)數(shù)的系數(shù)滿足，則冪級(jí)數(shù)的

16、收斂半徑R為(1)當(dāng)時(shí),;(2)當(dāng)時(shí),;(3)當(dāng)時(shí),.證明： 由比值審斂法,從而級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂， 定理證畢.例1 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域:；解 該級(jí)數(shù)收斂該級(jí)數(shù)發(fā)散，故收斂域是.收斂區(qū)間.，故收斂域?yàn)?。?求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。解:由于冪級(jí)數(shù)缺少偶次冪項(xiàng)，即系數(shù)故相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)的比值當(dāng)是偶數(shù)是沒(méi)有意義，因此不能用上述方法求收斂半徑。下用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法直接求收斂半徑：考慮級(jí)數(shù)，因?yàn)椋十?dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)，級(jí)數(shù)發(fā)散，故收斂半徑例3求冪級(jí)數(shù)的收斂域.解令，原級(jí)數(shù)變?yōu)?，因?yàn)?，所以收斂半徑。當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為；當(dāng)，級(jí)數(shù)為，當(dāng)時(shí)它們的一般項(xiàng)均不趨于零，故這兩級(jí)數(shù)都是發(fā)散的。因此收斂域是，即原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?/p>

17、，或?qū)懗?。所以原?jí)數(shù)收斂域是。三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算(1) 加減法(其中(2)乘法(其中(3) 除法(相除后的收斂區(qū)間比原來(lái)兩級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間小得多)定理4若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑,則其和函數(shù)在收斂域上連續(xù),且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分,運(yùn)算前后收斂半徑相同。即例4求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).解:由例1可知級(jí)數(shù)的收斂半徑R+.設(shè)，則故有，因此有，由得故例5求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).解:易求出冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為1 ,x±1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，例6求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).解：易求出冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為1,且x=-1時(shí)級(jí)數(shù)收斂，x=1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散。得冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。?dāng)時(shí)，設(shè)和函數(shù)而，于是例7求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。解:設(shè)則而，故小結(jié)1.

18、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法1)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)型冪級(jí)數(shù)，先求收斂半徑，再討論端點(diǎn)的收斂性。2)對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)型冪級(jí)數(shù)(缺項(xiàng)或通項(xiàng)為復(fù)合式)，求收斂半徑時(shí)直接用比值法或根值法,也可通過(guò)換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求。2.冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)1）兩個(gè)冪級(jí)數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進(jìn)行加、減與乘法運(yùn)算；2)在收斂區(qū)間內(nèi)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)連續(xù)；3)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)和求積分。常用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)作業(yè)：P163 1 ，2，3，4備注欄第十章 無(wú)窮級(jí)數(shù)教學(xué)課題第四節(jié)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)教學(xué)重點(diǎn)掌握函數(shù)展成泰勒級(jí)數(shù)的公式、條件及方法教學(xué)難點(diǎn)函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)的間接方法大綱要求了解函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件，會(huì)利用已知展開(kāi)式將一些簡(jiǎn)單的函數(shù)間接展開(kāi)成冪級(jí)

19、數(shù)?；?本 內(nèi) 容一、泰勒級(jí)數(shù)定理1（泰勒中值定理）如果函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有直至階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)此鄰域內(nèi)的任意點(diǎn)，有其中（在與之間）稱上式為在處的階泰勒公式；系數(shù)，稱為泰勒系數(shù)，多項(xiàng)式稱為階泰勒多項(xiàng)式；，（在與之間）稱為階泰勒公式的拉格朗日型余項(xiàng)，且當(dāng)時(shí)，它是比高階的無(wú)窮小如果設(shè)在的某鄰域內(nèi)具有任意階的導(dǎo)數(shù)，則可以寫(xiě)出級(jí)數(shù)稱為在處的泰勒級(jí)數(shù)，或稱在處展開(kāi)的泰勒級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí),泰勒級(jí)數(shù)又稱為麥克勞林級(jí)數(shù)。問(wèn)題：只要在的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，我們都可寫(xiě)出它的泰勒級(jí)數(shù)但這個(gè)泰勒級(jí)數(shù)在的某鄰域內(nèi)是否收斂？如果收斂，是否收斂于？ 定理2在點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù),在內(nèi)收斂于在內(nèi). 證：記,則,必要性）,充分性) , ,定理3

20、.如果函數(shù)在內(nèi)能展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù),即則展開(kāi)式是唯一的，其系數(shù)。證：逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次,得泰勒系數(shù)泰勒系數(shù)是唯一的, 注：函數(shù)f(x)的泰勒級(jí)數(shù)不一定收斂到自身。例如：在x=0點(diǎn)任意可導(dǎo),的麥克勞林級(jí)數(shù)為，其在內(nèi)的和函數(shù)為可見(jiàn)，除外，的麥克勞林級(jí)數(shù)處處不收斂于自身。定理4 設(shè)在上有定義,對(duì),恒有,則在內(nèi)可展開(kāi)成點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù).證：所以在內(nèi)可展開(kāi)成點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)。二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 1.直接法(泰勒級(jí)數(shù)法)步驟: （1）求(2)寫(xiě)出泰勒級(jí)數(shù),并求出其收斂半徑R；（3）判別在收斂區(qū)間(R,R)內(nèi)是否為零或是否有界。例1將展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)。解： 其收斂半徑為,在上，由于M的任意性,即得例2將展開(kāi)成x冪級(jí)數(shù)。解

21、:且例3將展開(kāi)成x冪級(jí)數(shù)。解利用兩邊積分得即注意: 2.間接法根據(jù)唯一性,利用常見(jiàn)展開(kāi)式,通過(guò)變量代換,四則運(yùn)算,恒等變形,逐項(xiàng)求導(dǎo), 逐項(xiàng)積分等方法,求展開(kāi)式。例如例4將展開(kāi)成x冪級(jí)數(shù)。解:因?yàn)榘褁換成,得例5將展開(kāi)成x冪級(jí)數(shù)。解:,從0到x積分,得注：上式右端的冪級(jí)數(shù)在x 1收斂,而ln(1+x)在x=1有定義且連續(xù),所以展開(kāi)式對(duì)x1也是成立的,于是收斂區(qū)間為(-1,1),x=1時(shí)，例6.將展成的冪級(jí)數(shù)。解:三、小結(jié)1.如何求函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)；2.泰勒級(jí)數(shù)收斂于函數(shù)的條件；3.函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的方法；(1)直接展開(kāi)法利用泰勒公式；(2)間接展開(kāi)法利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及已知展開(kāi)式的函數(shù)。4.常用

22、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式：作業(yè):P163 5，6備注欄第十章 無(wú)窮級(jí)數(shù)教學(xué)課題第五節(jié) 傅立葉級(jí)數(shù)教學(xué)重點(diǎn)函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷條件教學(xué)難點(diǎn)函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)大綱要求了解函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷條件基 本 內(nèi) 容一、三角級(jí)數(shù)及三角函數(shù)系的正交性簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng):(諧波函數(shù))稱A為振幅,w為角頻率,為初相。復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng):，是諧波的迭加。令，得函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1、定義1函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為三角級(jí)數(shù)，其中常數(shù)稱為此三角級(jí)數(shù)的系數(shù)我們僅討論三角級(jí)數(shù)中的一種：傅立葉級(jí)數(shù)我們研究把一個(gè)函數(shù)表示成三角級(jí)數(shù)所需要的條件，以及在條件滿足以后如何展開(kāi)成三角級(jí)數(shù)的問(wèn)題。2、三角函數(shù)系的正交性定理 1.組成三角級(jí)數(shù)的函數(shù)

23、系在上正交。即其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在上積分等于零。證：注：在三角函數(shù)系中兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在上的積分不等于0.且有 ，二、函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)問(wèn)題:（1）如果函數(shù)已表示成三角級(jí)數(shù)，那么級(jí)數(shù)中的系數(shù)怎樣確定？(2)的傅立葉級(jí)數(shù)收斂于的條件是什么？定理2.設(shè)f (x)是周期為2p的周期函數(shù),且右端級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分,則有，證：定義2由或所確定的的稱為函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù)，級(jí)數(shù)稱為傅里葉級(jí)數(shù)。定理3 (收斂定理,展開(kāi)定理)（狄利克雷(Dirichlet)充分條件）設(shè)是以為周期的周期函數(shù).如果它滿足條件:在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn),并且至多只有有限個(gè)極值點(diǎn),則的傅里葉級(jí)數(shù)收斂,并

24、且（1）當(dāng)是的連續(xù)點(diǎn)時(shí),級(jí)數(shù)收斂于;（2）當(dāng)是的間斷點(diǎn)時(shí),收斂于。(證明略 )注意：函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)的條件比展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的條件低的多.例1設(shè) f (x) 是周期為 2p 的周期函數(shù) ,它在上的表達(dá)式為，將其展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)。解：先求傅里葉系數(shù)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所求函數(shù)的傅氏展開(kāi)式為注:根據(jù)收斂定理可知,當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂于對(duì)于非周期函數(shù),如果函數(shù)只在區(qū)間上有定義,并且滿足狄氏充分條件,也可展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù).作法: 例2將函數(shù)展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù).解 所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件。拓廣的周期函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)式在收斂于.所求函數(shù)的傅氏展開(kāi)式為利用傅氏展開(kāi)式求級(jí)數(shù)的和三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)1.周期為2p的奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)定理4 如果是上的周期為的奇函數(shù)，它的傅里葉系數(shù)為，由此所確定的傅里葉級(jí)數(shù)稱為正弦級(jí)數(shù)如果是上的周期為的偶函數(shù)，它的傅里葉系數(shù)為，由此所確定的傅里葉級(jí)數(shù)稱為余弦級(jí)數(shù)例3 設(shè)f(x)是周期為2p的周期函數(shù),它在上的表達(dá)式為f (x)x,將f(x)展成傅里葉級(jí)數(shù)。解:若不計(jì)則f (x)是周期為2p的奇函數(shù),因此，根據(jù)收斂定理可得f (x)的正弦級(jí)數(shù):2.在0,p上的函數(shù)展成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)對(duì)于定義在區(qū)間上且滿