第二章：動力學系統(tǒng)的微分方程模型

1、第二章：動力學系統(tǒng)的微分方程模型利用計算機進行仿真時，一般情況下要給出系統(tǒng)的數(shù)學模型，因此有必要掌握一定的建立數(shù)學模型的方法。在動力學系統(tǒng)中，大多數(shù)情況下可以使用微分方程來表示系統(tǒng)的動態(tài)特性，也可以通過微分方程可以將原來的系統(tǒng)簡化為狀態(tài)方程或者差分方程模型等。在這一章中，重點介紹建系統(tǒng)動態(tài)問題的微分方程的基本理論和方法。在實際工程中，一般把系統(tǒng)分為兩種類型，一是連續(xù)系統(tǒng)；其數(shù)學模型一般是高階微分方程；另一種是離散系統(tǒng)，它的數(shù)學模型是差分方程。§2.1 動力學系統(tǒng)統(tǒng)基本元件任何機械系統(tǒng)都是由機械元件組成的，在機械系統(tǒng)中有3種類型的基本機械元件：慣性元件、彈性元件和阻尼元件。1 慣性元件

2、：慣性元件是指具有質量或轉動慣量的元件，慣量可以定義為使加速度（或角加速度）產(chǎn)生單位變化所需要的力（或力矩）。慣量（質量）=慣量（轉動慣量）=2 彈性元件：它在外力或外力偶作用下可以產(chǎn)生變形的元件，這種元件可以通過外力做功來儲存能量。按變形性質可以分為線性元件和非線性元件，通常等效成一彈簧來表示。對于線性彈簧元件，彈簧中所受到的力與位移成正比，比例常數(shù)為彈簧剛度。這里稱為彈簧剛度，是彈簧相對于原長的變形量，彈性力的方向總是指向彈簧的原長位移，出了彈簧和受力之間是線性關系以外，還有所謂硬彈簧和軟彈簧，它們的受力和彈簧變形之間的關系是一非線性關系。3 阻尼元件：這種元件是以吸收能量以其它形式消耗能

3、量，而不儲存能量，可以形象的表示為一個活塞在一個充滿流體介質的油缸中運動。阻尼力通常表示為：阻尼力的方向總是速度方向相反。當，為線性阻尼模型。否則為非線性阻尼模型。應注意當?shù)扔谂紨?shù)情況時，要將阻尼力表示為： 這里的“-”表示與速度方向相反§2.2 動力學建?；径ɡ? 動力學普遍定理對于大多數(shù)力學問題，可以使用我們熟知的牛頓動力學基本定理來解決，動力學普遍定理包括動量定理、動量矩定理和動能定理，以及其他變形形式，普遍定理的特點是比較直觀，針對不同的問題可以選擇不同的力學定理，在一般情況下利用普遍定理可以得到大多數(shù)動力學系統(tǒng)的數(shù)學模型。1）動量定理與質心運動定理： 設系統(tǒng)在任意瞬時的動

4、量矢為,作用在系統(tǒng)上的外力矢量和為，則任意瞬時的動量對時間的導數(shù)等于作用在系統(tǒng)中所有外力的矢量和構成了動量定理。 （2-1）通常將該式投影到直接坐標軸系、自然坐標軸系等，（更詳細的情況請參閱理論力學有關知識）利用質心坐標的計算表達式，可以將動量定理轉化為質心運動定理，即： 或： （2-2）其中：是系統(tǒng)的總質量，是系統(tǒng)的質心；是分剛體是質心，是分剛體的質心。2） 動量矩定理：系統(tǒng)在任意瞬時的動量矩對時間的導數(shù)等于作用在系統(tǒng)中所有外力矩的矢量和。（2-3）其中，是系統(tǒng)對固定點的動量矩，力F對O點的矩.除了對固定點的動量矩定理外，還有對質心的動量矩定理，對速度瞬心的動量矩定理和對加速度瞬心的動量矩定

5、理。3）動能定理：動能定理的導數(shù)形式：系統(tǒng)在任意瞬時的動能對時間的導數(shù)等于作用在系統(tǒng)中所有力的功率的代數(shù)和。（2-4）動能定理的積分形式：系統(tǒng)在任意兩瞬時的動能的變化等于作用在系統(tǒng)中所有力的功的代數(shù)和。2動力學普遍方程將達朗伯原理與虛位移原理相結合，得到了建立動力學模型的另一種方法。1) 達朗伯原理 達朗伯原理提供了研究動力學問題的一個新的方法，即借助于慣性力（）的概念，可用研究靜力學平衡的方法來研究動力學問題，這種方法常稱為動靜法。即：在任意時刻，質點在主動力、約束力和慣性力的主矢作用下處于平衡；（2-5）以及主動力、約束力和慣性力對某點的矩矢等于零，即：通常先計算慣性力的主矢和主矩，從而得

6、到質點系的達朗伯原理。2) 虛位移原理 虛位移原理本身是通過虛功的引入，提出了求解靜力學問題的一種方法，它與達朗伯原理相結合得到了建立動力學模型的另一種方法。對于理想約束的完整系統(tǒng)，質點（質點系）在其給定位置上處于平衡的必要充分條件是作用在該質點（質點系）上的所有主動力在其作用點的虛位移上所做的虛功和等于零，即： 或 3） 動力學的普遍方程受理想約束的系統(tǒng)，作用在質點系上的所以主動力和慣性力在各自的虛位移上所做的虛功和等于零，即：或 在具體應用這個方程的時候，可以先引入廣義坐標，使得問題處理簡單。例2-1 質量為均質的桿可以繞O軸定動，試求系統(tǒng)做微幅振動時的微分方程。解：桿繞O軸做定軸轉動，水

7、平位置為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，取桿繞O軸轉動的角度為坐標，可以方便的使用動量矩定理來建立動力學方程。（假定在微小轉動情況下）這里是桿繞O軸轉動的轉動慣量。這是關于的二階線性微分方程。如果不計桿的質量，則微分方程為：這個方程是關于的一階線性微分方程，稱該系統(tǒng)模型為一階系統(tǒng)。例2-2 懸浮擺的動力學建模 下圖所示為小型起重機簡圖，是吊車和吊重的質量，吊繩長為且不計質量，吊車的驅動力為F，考慮軌道的阻力為，試以為廣義坐標，建立系統(tǒng)的動力學控制方程。利用水平方向的質心運動定理，即：或：重物做平面曲線運動，則可以直接利用牛頓定律得到切線方向的動力學方程：（1），（2）兩式是耦合的非線性動力學方程。當系統(tǒng)被限制

8、在附近運動時，可將其在處線性化處理，則可以得到系統(tǒng)的方程為：當給定時，可以建立仿真模型。請讀者考慮，如果要考慮擺桿的質量，則動力學方程如何？例2-3： 車輛懸架系統(tǒng)的動力學模型考慮圖2.2所示的汽車懸架系統(tǒng)示意圖。設計懸架緩沖系統(tǒng)的的目的是減小車輛在崎嶇道路上行駛時產(chǎn)生的震動，因為道路表面的不平坦會引起懸架沿垂直方向的移動和繞某個軸的轉動。圖2.2懸架系統(tǒng)示意圖 圖2.3架系統(tǒng)的受力分析示意圖我們將整個系統(tǒng)的質量中心作為坐標的原點,因此系統(tǒng)在不平道路上的振動運動可以看作是質心的沿垂直方向的平移運動以及繞質心的旋轉運動。車架質量為m,轉動慣量為J。輸入車輪的位置信息、表明路況信息。假設每個車軸的

9、緩沖系統(tǒng)由具有阻尼特性的彈簧構成。忽略輪胎的質量,每個車輪受到的外力為彈簧彈力與阻尼力之和,即其中：和分別表示每個彈簧距離參考位置的瞬時距離。代入上式后根據(jù)質心運動與相對于質心的動量矩定理得：或者：整理后得到：用和分別表示系統(tǒng)質心的平移位移和沿質心的旋轉角度。上式中假定在很小的角度位置條件下滿足，并且取順時針的旋轉方向為正方向。再根據(jù)系統(tǒng)相對于質心的動量矩定理可得：其中是車駕相對于質心的轉動慣量，將上式整理后可得：或：將系統(tǒng)的動力學方程寫成矩陣形式：簡寫為：其中:當為非奇異陣時，可以通過矢量信號我們可以得到系統(tǒng)的仿真模型如（圖2-5）。圖2.5 懸架系統(tǒng)仿真框圖以上系統(tǒng)中假定、是系統(tǒng)兩個相互獨

10、立的輸入變量,但實際上,后輪與前車輪的位置時間相差t=L/V時間。這樣,實際系統(tǒng)滿足。由于借助了拉斯變換，將微分方程換成了代數(shù)方程，如果要得到時域響應則需要借助拉斯反變換。根據(jù)第一章的基本知識，給出基于微分方程的仿真模型，具體計算過程留給讀者練習。例 2-4 機構運動學建模 曲柄滑塊機構的運動學仿真建模(速度分析與建模) 曲柄滑塊機構如圖所示：該機構只有一個自由度，首先給出機構的運動學分析模型，（1） 機構的封閉的矢量方程（2） 矢量方程的分解式（3）關于機構速度問題的運動學方程；機構的輸入運動量為 ，輸出量為 ，寫成矩陣形式可以寫成顯式表達式Simulink仿真模型建立 在該仿真模型中，設系

11、統(tǒng)的輸入角速度為：150弧度/秒，通過一次積分可以得到角度，將這兩個輸入量通過一個信號混合器（以向量形式混合為一路信號），輸入給MATLAB FCN模塊，通過該函數(shù)模塊中的代碼入 ，從而可以得到輸出量（），再進一步積分后，得到位移量。在 MATLAB FUNTION 模塊中寫上函數(shù)過程文件名：Compv，其它不變，建立m腳本文件如下：（函數(shù)子程序）functionx=compv(u); x輸出，（u）輸入。% 參數(shù)說明：r1 曲柄長度，r2 連桿長度% u(1)曲柄角速度；u(2)曲柄角度，u(3)連桿角度r1=15;r2=55;a=r2*sin(u(3) 1; r2*cos(u(3) 0;b

12、=-u(1)*r1*sin(u(2); cos(u(2);x=inv(a)*b;將該文件名儲存為compv.m,然后運行仿真模型，得如下結果。圖2-10 圖2-11連桿的角速度與角度的變化規(guī)律 滑快的速度與位移變化規(guī)律曲柄滑塊機構的運動學仿真（加速度分析）加速度表達式機構的輸入運動量為 ，輸出量為 ，寫成矩陣形式和速度仿真一樣，請讀者建立機構的加速度仿真模型。如果要對此機構的動力學仿真，可以再列寫出系統(tǒng)的動力學方程，與運動學方程聯(lián)立求解。例2-5建立如下系統(tǒng)的振動微分方程，并使用子系統(tǒng)封裝技術。改寫上式為：設：, , , , ,利用子系統(tǒng)技術，我們可以建立相應的仿真模型，利用摸態(tài)分析方法可以得

13、到系統(tǒng)的解析解和仿真解進行比較。若將激勵作用在左邊質量塊上，取，并分析當取值為多大時，質量的振幅接近于零（動力消振器原理）。并進一步分析，當時，主系統(tǒng)的消振效果。說明有阻尼消振效果好還是無阻尼消振效果好。§2.3Hamilton動力學建模體系除了使用牛頓力學的基礎理論建模，還可以使用有關Hamilton力學體系的建模方法，這些建模的基礎理論有 Lagrange第二類方程，Hamilton原理、Hamilton正則方程、APPELL方程和凱恩方程等.1. Lagerange第二類方程其中，是系統(tǒng)的總動能，是對應于第j個廣義坐標的廣義力。即：如果系統(tǒng)受到的力全是保守系力，則Lageran

14、ge可簡化為：其中： 稱為Lagerange函數(shù)。這里：是系統(tǒng)的總動能，是系統(tǒng)的總勢能。對于具有保守力作用和非保守力作用的混合系統(tǒng)，其方程為： （2-其中 是對應非保守力的廣義力。拉格朗日方程式是一組關于個廣義坐標的二階微分方程，它有統(tǒng)一的格式和步驟，因此在動力學建立模型時經(jīng)常采用。2 系統(tǒng)有耗散元件的拉格朗日方程 在工程實際問題中，如果存在有與速度有關的阻力。例如當物體在空氣、液體中運動時會受到流體介質的阻力作用。實驗表明，流動介質的阻力與相對速度有關，并且使系統(tǒng)的總能量不斷減少。這種阻力統(tǒng)稱為耗散力，將這類元件統(tǒng)稱為耗散元件。 作用于系統(tǒng)的耗散力一般可以表示為如下形式其中表示第i個質點的速

15、度，表示第i個質點受到的耗散力，是阻力系數(shù)、是與廣義速度有關的函數(shù)，其中的負號表示阻尼與速度方向相反。在系統(tǒng)中如果存在有耗散力時，只需將耗散力的廣義力添加在拉格朗日方程的右邊即可。關于耗散廣義力計算可參考下式：根據(jù)廣義力的定義考慮到，則有：其中因此有令 稱D為系統(tǒng)的耗散函數(shù)，于是耗散力的廣義力為： 這樣容易得到具有耗散系統(tǒng)的拉格朗日方程為：或者： 因此對于耗散系統(tǒng)，只需將耗散力的廣義力加進Lagerange方程的普通廣義力中即可。例如，在線性動力學系統(tǒng)中，一般當阻尼力是廣義速度的一次式，即：則對應的耗散函數(shù)為：，對應的廣義力為：。例2-6 一旋轉擺如圖所示，擺長為，擺錘質量為m，用光滑鉸鏈連接

16、在鉛直軸上，如果要考慮Om構件的質量為M，當鉛直軸以任意角速度轉動時求出對應的動力學模型。解：當為任意時，此時系統(tǒng)有兩個自由度，分別取和為廣義坐標，其動能和勢能分別為：Lagerange函數(shù)為：在通常情況下，在轉軸上作用有外加力偶矩，根據(jù)Lagerange方程： ： ： 以上兩式仍為耦合非線性動力學方程。（1）如果要考慮AB桿的質量，則動能為：（2）如果考慮多轉軸與軌道之間的摩擦阻尼，即，耗散函數(shù)為：，耗散力的廣義力為：3 Hamlton原理 原理是以變分為基礎的建模方法，設系統(tǒng)的動能為，勢能為，非保守力的虛元功為，則Hamilton原理可以表示為： 其中： 稱為拉格朗日函數(shù) 原理常用來建立連

17、續(xù)的質量分布和連續(xù)剛度分布的系統(tǒng)（彈性系統(tǒng)）的動力學模型。例2-7 彈性系統(tǒng)的動力學建模所謂的彈性系統(tǒng)是指具有連續(xù)的質量分布和連續(xù)剛度分布的系統(tǒng)，下面通過梁的橫向振動來說明彈性體的建模方法。設梁的長度為，截面的彎曲剛度為常數(shù)，單位長度質量為，在截面形心處橫向位移為，忽略剪切變形，則梁的動能表達式為：勢能為：，拉格朗日函數(shù)為： 當系統(tǒng)無外力作用時，根據(jù)原理有：當為常數(shù)時，則上式積分為：根據(jù)原理，滿足時間端點的條件當： 和 時有： 于是我們可以得到：根據(jù)的任意性，滿足上式條件為：第一式為梁的自由振動方程，第二式是變分問題中自然滿足的邊界條件?？梢允褂媚B(tài)分析方法，將偏微分方程化為常微分方程，然后就

18、可以利用前面的方法來建立數(shù)學模型。當梁上作用有分布載荷力和分布力偶時，如下圖：則，系統(tǒng)的虛功可以表示為：其中：這里第一項積分為零，代入原理中有可以得到：如在梁上某點處作用集中力和點處作用有集中力偶矩時，這時，其右邊的廣義力可以表示為：，和 并注意到：在一般情況下，一個連續(xù)系統(tǒng)的動態(tài)特性可以用一個高階微分方程或微分方程組來表示；（2-1）其中： y是系統(tǒng)的輸出，u表示系統(tǒng)的輸入量，如果引進微分算子則有：即：一個動力學系統(tǒng)的數(shù)學模型建立起來以后，還需要對該系統(tǒng)響應規(guī)律進行分析，以便揭示真正的運動規(guī)律?；蛘咄ㄟ^建立仿真模型來揭示運動規(guī)律。§24一維彈性體有限元建模有限元的基本思想是先把結構

19、分割成個不同單元，分別對單元和節(jié)點編號1,2.。單元劃分越細，計算精度越高，但是計算工作量也越大，因此，要根據(jù)具體情況合理的劃分單元數(shù)，本節(jié)將介紹一維梁單元有限元建模方法。 梁單元質量矩陣與剛度矩陣設梁單元中的第個單元的坐標（局部坐標），單元長度為，該單元有兩個節(jié)點，而每個節(jié)點有兩個廣義坐標，這樣一個梁單元共有4個廣義坐標，分別的左界面的位移與轉角和右截面的位移和轉角，有：；，設單元的位移模式為將單元邊界條件帶入上式，可得：整理后可得：其中：，設梁的單位長度質量為，系統(tǒng)的動能為其中：可得單元質量矩陣為： 系統(tǒng)的勢能為；其中：可得單元剛度矩陣為： 將動能和勢能帶入大拉格朗日方程中，即：；其中的廣

20、義力可以利用虛功原理導出。設作用在單元體上的外力為 ，其虛功表達式為：其中： 這樣就可得到系統(tǒng)的單元微分方程為： 這里：2.5.2 總體系統(tǒng)動力學微分方程： 以上僅僅給出了單元系統(tǒng)的微分方程，通過個單元的對接條件，我們可以得到總體坐標下的動力學微分方程，為了得到總體坐標系中的動力學方程，先引入總體節(jié)點位移向量：對于兩單元，有：個位移分量，與單元節(jié)點位移向量，設局部位移向量與總體位移向量的關系為： , 則系統(tǒng)的總動能為： 得: ， 其中：同理：， 其中： 激勵列陣為其中：這樣可以得到總體坐標下的動力學方程 如果結構有的零邊界條件，可以得到降階方程。例2-9 試用有限元法建立如下簡支梁的動力學方程

21、 解，將該梁化為兩個相同單元共有三個節(jié)點6個自由度，總體位移向量為：，單元質量和剛度矩陣如前，單元的與總體坐標之間的變換關系為：，容易得到：易得：， 廣義力：根據(jù)以上，可以得到總體坐標下的質量矩陣、剛度矩陣以及激振力列陣由于總體坐標中的邊界條件中有，則劃去1、5行和1、5列，最后得到縮減的動力方程§25 SIMULINK高級積分器的仿真模型建立積分器是仿真過程中最常使用的重要模型之一，在前面使用積分器模型中，積分的初始值僅在初時條件一攔（InitialCondition）設計即可，但是在復雜問題中往往需要在運行中不斷改變積分初始值，這就需要應用高級積分器，高級積分器有多個端口。1 定

22、義外部初始條件（external）在積分器的 Initial condition sources 有兩種選擇（internal external ） ，如果選擇internal ,則直接可以在 initial condition 參數(shù)中設置初始值，但有時候在動態(tài)仿真過程中需要改變初始條件，這樣就出現(xiàn)了外部條件源的設定方法，同時積分器的形狀發(fā)生改變。如右圖所示。2 限制積分器（飽和輸出）為了防止超出指定的范圍，可以選擇 limit output 復選框并在下面的框中填寫范圍，同時積分器的形狀發(fā)生改變。如右圖所示。3 重置積分器在積分器的屬性窗口當中有一個 （external reset）參數(shù)選擇

23、，分別是：Rising （當重置信號有上升沿時觸發(fā)狀態(tài)重置）簡稱上升沿。falling （當重置信號有下降沿時觸發(fā)狀態(tài)重置）簡稱下降沿。Either （任何重置信號的上升或下降時觸發(fā)狀態(tài)重置）簡稱雙邊沿。Level (當重置信號為非零時，觸發(fā)并保持輸出信號為初始條件)4 狀態(tài)端口 狀態(tài)端口的特點是：如果狀態(tài)端口在當前時間步上重置，那么狀態(tài)端口的輸出值是積分器還沒有被重置時的積分器輸出端口的值，也就是說，狀態(tài)端口的輸出值比積分器的輸出端口早一個時間步。正是這樣的一個特點，往往可以把重置前的積分值作為以后的積分的初始條件。例 2-8 有一個彈性球，其恢復系數(shù)為k=0.8，（力學中的定義是碰撞結束和

24、開始兩個時刻的速度比稱為恢復系數(shù):),距離地面高度為 的地方以初速度垂直向上拋出，并分析彈性球的在靜止前的運動規(guī)律并繪制隨時間變化的軌跡曲線。解： 彈性小球在第一次接地前的動力學方程為 ：， 速度為： 在第一次碰撞后，彈性小球在以后的每次離開地面的初速度應有所變化，但動力學方程形式不變。 其中為恢復系數(shù)這樣一直循環(huán)下去直到小球停止。 由于涉及到了初始條件的變化，則使用重置積分器模型，建立仿真框圖如下，其中的積分器要設置成外部觸發(fā)，顯示端口，使用下降沿觸發(fā)方式，其中的狀態(tài)端口的特點是輸出值比積分器的輸出端口早一個時間步長。第二章 習題1m2m2習題2-1 建立如下汽車懸架的力學模型，其中，路基不平度函數(shù)為，車輛速度，試建立該系統(tǒng)的simulink仿真模型。習題2-2 試建立如下兩自由度系統(tǒng)耗