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1、第 49 講 空間向量的運(yùn)算(B) (第課時(shí))神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)準(zhǔn)確記憶!空間向量及運(yùn)算 重點(diǎn)難點(diǎn)好好把握!重點(diǎn):1空間向量的概念和表示;2空間向量的運(yùn)算;3空間向量的性質(zhì)。難點(diǎn):空間向量性質(zhì)的靈活運(yùn)用。考綱要求注意緊扣!1理解空間向量的概念,掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘;2了解空間向量的基本定理,理解空間向量坐標(biāo)的概念;掌握空間向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì);3掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算。命題預(yù)測(cè)僅供參考!應(yīng)用向量求線段長(zhǎng)、異面直線夾角和證明異面直線垂直??键c(diǎn)熱點(diǎn)一定掌握!1空間向量的概念及其表示定義:在空間中具有大小和方向的量叫作向量,零向量是方向任意、大小為零的向量。兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的方向相同

2、且大小相等。表示:可以用有向線段或是坐標(biāo)來表示,前者使向量與幾何圖形發(fā)生聯(lián)系,后者使向量與實(shí)數(shù)發(fā)生聯(lián)系。用向量知識(shí)解立體幾何題,大多數(shù)情形下,比用幾何法簡(jiǎn)便。這是因?yàn)閹缀螁栴}代數(shù)化后,解題思路方向明確,不必為尋找解題途徑而煞費(fèi)苦心。特別是對(duì)求空間角、空間距離以及線線垂直方面的問題尤其簡(jiǎn)單。2空間向量的運(yùn)算空間向量可以進(jìn)行加法、減法和數(shù)乘和數(shù)量積等運(yùn)算,其運(yùn)算性質(zhì)與平面向量基本相同,只是在數(shù)量積運(yùn)算中不滿足結(jié)合律的下述形式()??臻g向量可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、幾何運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算,代數(shù)運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算基本相同,幾何運(yùn)算賦予向量運(yùn)算各自的幾何意義和物理意義,坐標(biāo)運(yùn)算使向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算。向量加法滿足交換

3、率、結(jié)合律和數(shù)乘的分配率。向量減法可以轉(zhuǎn)換成向量加法進(jìn)行,即 a - b = a +(-b) 。BADCDCBAABCDABCD例 ; 。解: ; ; 設(shè)M是線段CC的中點(diǎn),則 ; 設(shè)G是線段AC靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn),則 。GBADCDCBABCDABCDMBADCDCBAABCDABCDBADCDCBAABCDABCDBADCDCBAABCDABCD3共線向量定理及其用共線向量定理:對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a、b(b0),ab的充要條件是存在實(shí)數(shù),使 a=b 。由該定理易知,當(dāng) b0 時(shí),若 ab ,bc ,則必有 ac 。該定理可用來證明三點(diǎn)共線或線線平行。例若空間三點(diǎn)A(1,2)、B(2,4,

4、1)、C(p,3,q2)共線,則p ,q 。分析: A、B、C三點(diǎn)共線,則 ,即(1,1,3)(p1,2,q4) , ,把 代入得 , 。4空間向量基本定理及其應(yīng)用空間向量基本定理:如果三個(gè)向量a、b、c不共面,那么對(duì)空間任一向量p,存在惟一的有序?qū)崝?shù)組、 ,使 a+b+c 。由上述定理可知,如果三個(gè)向量a、b、c不共面,那么所有空間向量所組成的集合就是p|p=xaybzc,x,y,zR這個(gè)集合可看作是由向量a、b、c生成的,所以我們把a(bǔ),b,c叫做空間的一個(gè)基底,a、b、c都叫做基向量由上述定理可知,空間任意三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底。推論:、是空間不共面的四點(diǎn),則對(duì)空間任一點(diǎn),

5、都存在惟一的有序?qū)崝?shù)組、 ,使 =+ ,特別地,若 +=1 ,則必有、四點(diǎn)共面。故 可以看成是平面的一個(gè)向量參數(shù)方程,其中、為參數(shù)。例. 已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),用向量法證明E、F、G、H四點(diǎn)共面。證明:連結(jié)BG,則由空間向量基本定理的推論知:E、F、G、H四點(diǎn)共面,(其中=)。5空間向量的夾角及其數(shù)量積 空間兩向量的夾角定義:已知兩個(gè)非零向量a、b ,在空間任取一點(diǎn),作=a ,= b ,則叫做向量a和b的夾角,記作<a,b> ,且規(guī)定 <a,b> 。說明:零向量與其它向量之間不定義夾角,當(dāng)兩個(gè)非零向量同向共線時(shí)夾角為

6、0,反向共線時(shí)夾角為。 空間兩向量的數(shù)量積定義:已知空間兩個(gè)向量a、b ,則|a|·|b|·cos< a,b >叫做向量a、b 的數(shù)量積,記作ab ,即 a·b=|a|·|b|·cos<a,b> 。說明:兩向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),它等于兩向量的模與其夾角余弦之積,此定義對(duì)于a、b是零向量以及共線向量的情況仍然成立。由此可知,零向量與任何向量的數(shù)量積均為零。由上述定義不難得出如下結(jié)論,對(duì)于兩個(gè)非零向量a、b ,有: cos<, >= ; ; abab=0 。向量的數(shù)量積適用如下運(yùn)算律:交換律:ab = ba ;

7、結(jié)合律:(a)b =(ab);分配律:a(b+ c)= ab+ ac 。例已知空間三點(diǎn)A(1,1,1)、B(1,0 ,4)、C(2,2,3),則與的夾角的大小是 。分析:=(2,1,3), =(1,3,2),cos<,> ,=<,>=120°。例如圖,在棱長(zhǎng)為的正四面體中,取中點(diǎn),中點(diǎn),連接,求證:為、的公垂線。證明:設(shè) p ,q ,r ,且 p、q、r三向量?jī)蓛蓨A角均為,|p|=|q|=|r|= , (p + q - r), (p + q - r)·p(q·p + r·p p2) ,同理可證 , 為、的公垂線。6向量的直角坐標(biāo)運(yùn)

8、算 設(shè) a =(),b =(),則 a+b =(),a-b =(),ab = 若a、b為兩非零向量 ,則 ab ab = 0 ,若 b0 ,則 ab a=b (bi0 ,)。 , ,cos<, >= , , (兩點(diǎn)距離公式)。例在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P(x,y,z),關(guān)于下列敘述點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P1(x,y,z);點(diǎn)P關(guān)于yOz平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P2(x,y,z);點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P3(x,y,z);點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是P4(x,y,z)其中正確的個(gè)數(shù)是 ()A3 ; B2 ; C1 ; D0 。分析:P關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)P1(x,y,z),P關(guān)于yOz

9、平面對(duì)稱點(diǎn)P2(x,y,z),關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)P3(x,y,z),所以錯(cuò)誤,故應(yīng)選。能力測(cè)試認(rèn)真完成!參考答案仔細(xì)核對(duì)!LJ0301-05空間向量的運(yùn)算12345678空間向量的運(yùn)算加法減法數(shù)乘數(shù)量積共線向量定理及其用證明三點(diǎn)共線證明線線平行空間向量基本定理及其應(yīng)用基本定理應(yīng)用:證明四點(diǎn)共面空間向量的夾角向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算a+ba-babab ab = 0ab a=b1已知p=(x,y,z),q=(a,b,c),(xyz0,abc0),若有等式(x2+y2+z2)(a2+b2+c2)=(ax+by+cz)2成立,則p、q之間的關(guān)系是 ( ) A平行 B垂直 C相交 D以上都可能答案:。2在平行六

10、面體ABCDA1B1C1D1中,設(shè) ,則x+y+z等于( ) A1 ; B ; C ; D 。B1C1DD1A1CBA解:如圖, += ,+= ,代入得 =+ ,又已知 ,但有序?qū)崝?shù)組 、2、3唯一, , + ,故應(yīng)選。3、為空間四點(diǎn),又、為空間的一個(gè)基底,則 ( ). 、四點(diǎn)不共線; . 、四點(diǎn)共面,但不共線; . 、四點(diǎn)中任三點(diǎn)不共線; . 、四點(diǎn)不共面。解:由基底意義可知,、不共面,但供選答案中的前三種都有可能使、共面,故應(yīng)選。4 已知a=(cos,1,sin),b=(sin,1,cos),且sincos,則向量a+b與a-b的夾角是 ( ) A0° B30° C60

11、° D90°解:a+b =(cos+sin,2, cos+sin),a-b =(cos-sin,0, sin- cos), cos< a+b ,a-b > < a+b ,a-b > = ,故應(yīng)選。5已知a(1t,1t,t),b(2,t,t),則ba的最小值是 (). ; . ; . ; . 。解:ba(2,t,t)(1t,1t,t)(1t,2t1,0),ba ,故應(yīng)選。6已知向量a(1,1,0),b(1,0 ,2),且kab與2ab互相垂直,則k值是(). 1; . ; . ; . 。解:ka+bk(1,1,0)(1,0 ,2)(k1,k,2),2ab2(1,1,0)(1,0 ,2)(3,2,2), 兩向量垂直, 3(k1)2k2×20 , ,故應(yīng)選。7如果三個(gè)向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),c=(c1,c2,c3)共面且兩兩不共線,求證向量u=(a1,b1,c1),v=(a2,b2,c2),w

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