空間向量的運(yùn)算B版教材可選

1、第 49 講 空間向量的運(yùn)算(B) （第課時(shí)）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)準(zhǔn)確記憶！空間向量及運(yùn)算 重點(diǎn)難點(diǎn)好好把握！重點(diǎn)：1空間向量的概念和表示；2空間向量的運(yùn)算；3空間向量的性質(zhì)。難點(diǎn)：空間向量性質(zhì)的靈活運(yùn)用。考綱要求注意緊扣！1理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘；2了解空間向量的基本定理，理解空間向量坐標(biāo)的概念；掌握空間向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)；3掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算。命題預(yù)測(cè)僅供參考！應(yīng)用向量求線段長(zhǎng)、異面直線夾角和證明異面直線垂直?？键c(diǎn)熱點(diǎn)一定掌握！1空間向量的概念及其表示定義：在空間中具有大小和方向的量叫作向量，零向量是方向任意、大小為零的向量。兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的方向相同

2、且大小相等。表示：可以用有向線段或是坐標(biāo)來表示，前者使向量與幾何圖形發(fā)生聯(lián)系，后者使向量與實(shí)數(shù)發(fā)生聯(lián)系。用向量知識(shí)解立體幾何題，大多數(shù)情形下，比用幾何法簡(jiǎn)便。這是因?yàn)閹缀螁栴}代數(shù)化后，解題思路方向明確，不必為尋找解題途徑而煞費(fèi)苦心。特別是對(duì)求空間角、空間距離以及線線垂直方面的問題尤其簡(jiǎn)單。2空間向量的運(yùn)算空間向量可以進(jìn)行加法、減法和數(shù)乘和數(shù)量積等運(yùn)算，其運(yùn)算性質(zhì)與平面向量基本相同，只是在數(shù)量積運(yùn)算中不滿足結(jié)合律的下述形式()?？臻g向量可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、幾何運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算，代數(shù)運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算基本相同，幾何運(yùn)算賦予向量運(yùn)算各自的幾何意義和物理意義，坐標(biāo)運(yùn)算使向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算。向量加法滿足交換

3、率、結(jié)合律和數(shù)乘的分配率。向量減法可以轉(zhuǎn)換成向量加法進(jìn)行，即 a - b = a +(-b) 。BADCDCBAABCDABCD例 ； 。解： ； ； 設(shè)M是線段CC的中點(diǎn)，則 ； 設(shè)G是線段AC靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則 。GBADCDCBABCDABCDMBADCDCBAABCDABCDBADCDCBAABCDABCDBADCDCBAABCDABCD3共線向量定理及其用共線向量定理：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a、b(b0),ab的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使 a=b 。由該定理易知，當(dāng) b0 時(shí)，若 ab ，bc ,則必有 ac 。該定理可用來證明三點(diǎn)共線或線線平行。例若空間三點(diǎn)A（1，2）、B（2，4，

4、1）、C（p，3，q2）共線，則p ，q 。分析： A、B、C三點(diǎn)共線，則 ，即（1，1，3）（p1，2，q4） ， ，把 代入得 ， 。4空間向量基本定理及其應(yīng)用空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組、 ，使 a+b+c 。由上述定理可知，如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是p|p=xaybzc，x，y，zR這個(gè)集合可看作是由向量a、b、c生成的，所以我們把a(bǔ)，b，c叫做空間的一個(gè)基底，a、b、c都叫做基向量由上述定理可知，空間任意三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底。推論：、是空間不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)，

5、都存在惟一的有序?qū)崝?shù)組、 ，使 =+ ，特別地，若 +=1 ，則必有、四點(diǎn)共面。故 可以看成是平面的一個(gè)向量參數(shù)方程，其中、為參數(shù)。例. 已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，用向量法證明E、F、G、H四點(diǎn)共面。證明：連結(jié)BG，則由空間向量基本定理的推論知：E、F、G、H四點(diǎn)共面，(其中=）。5空間向量的夾角及其數(shù)量積 空間兩向量的夾角定義：已知兩個(gè)非零向量a、b ，在空間任取一點(diǎn)，作=a ，= b ，則叫做向量a和b的夾角，記作<a，b> ，且規(guī)定 <a，b> 。說明：零向量與其它向量之間不定義夾角，當(dāng)兩個(gè)非零向量同向共線時(shí)夾角為

6、0，反向共線時(shí)夾角為。 空間兩向量的數(shù)量積定義：已知空間兩個(gè)向量a、b ，則|a|·|b|·cos< a，b >叫做向量a、b 的數(shù)量積，記作ab ，即 a·b=|a|·|b|·cos<a，b> 。說明：兩向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，它等于兩向量的模與其夾角余弦之積，此定義對(duì)于a、b是零向量以及共線向量的情況仍然成立。由此可知，零向量與任何向量的數(shù)量積均為零。由上述定義不難得出如下結(jié)論，對(duì)于兩個(gè)非零向量a、b ，有： cos<, >= ； ； abab=0 。向量的數(shù)量積適用如下運(yùn)算律：交換律：ab = ba ；

7、結(jié)合律：（a）b =（ab）；分配律：a（b+ c）= ab+ ac 。例已知空間三點(diǎn)A（1，1，1）、B（1，0 ，4）、C（2，2，3），則與的夾角的大小是 。分析：=（2，1，3）， =（1，3，2），cos<，> ，=<，>=120°。例如圖，在棱長(zhǎng)為的正四面體中，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，求證：為、的公垂線。證明：設(shè) p ，q ，r ，且 p、q、r三向量?jī)蓛蓨A角均為，|p|=|q|=|r|= ， （p + q - r）， （p + q - r）·p（q·p + r·p p2） ，同理可證 ， 為、的公垂線。6向量的直角坐標(biāo)運(yùn)

8、算 設(shè) a =（），b =（），則 a+b =（），a-b =（），ab = 若a、b為兩非零向量 ，則 ab ab = 0 ，若 b0 ，則 ab a=b （bi0 ，）。 , ,cos<, >= , , （兩點(diǎn)距離公式）。例在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（x，y，z），關(guān)于下列敘述點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P1（x，y，z）；點(diǎn)P關(guān)于yOz平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P2（x，y，z）；點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P3（x，y，z）；點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是P4（x，y，z）其中正確的個(gè)數(shù)是 （）A3 ； B2 ； C1 ； D0 。分析：P關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)P1（x，y，z），P關(guān)于yOz

9、平面對(duì)稱點(diǎn)P2（x，y，z），關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)P3（x，y，z），所以錯(cuò)誤，故應(yīng)選。能力測(cè)試認(rèn)真完成！參考答案仔細(xì)核對(duì)！LJ0301-05空間向量的運(yùn)算12345678空間向量的運(yùn)算加法減法數(shù)乘數(shù)量積共線向量定理及其用證明三點(diǎn)共線證明線線平行空間向量基本定理及其應(yīng)用基本定理應(yīng)用：證明四點(diǎn)共面空間向量的夾角向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算a+ba-babab ab = 0ab a=b1已知p=(x,y,z),q=(a,b,c),(xyz0,abc0)，若有等式(x2+y2+z2)(a2+b2+c2)=(ax+by+cz)2成立，則p、q之間的關(guān)系是 （ ） A平行 B垂直 C相交 D以上都可能答案：。2在平行六

10、面體ABCDA1B1C1D1中，設(shè) ，則x+y+z等于（ ） A1 ； B ； C ； D 。B1C1DD1A1CBA解：如圖， += ，+= ，代入得 =+ ，又已知 ，但有序?qū)崝?shù)組 、2、3唯一， ， + ，故應(yīng)選。3、為空間四點(diǎn)，又、為空間的一個(gè)基底，則 （ ）. 、四點(diǎn)不共線； . 、四點(diǎn)共面，但不共線； . 、四點(diǎn)中任三點(diǎn)不共線； . 、四點(diǎn)不共面。解：由基底意義可知，、不共面，但供選答案中的前三種都有可能使、共面，故應(yīng)選。4 已知a=(cos,1,sin)，b=(sin,1,cos)，且sincos，則向量a+b與a-b的夾角是 （ ） A0° B30° C60

11、° D90°解：a+b =（cos+sin,2, cos+sin），a-b =（cos-sin,0, sin- cos）， cos< a+b ，a-b > < a+b ，a-b > = ，故應(yīng)選。5已知a（1t，1t，t），b（2，t，t），則ba的最小值是 （）. ； . ； . ； . 。解：ba（2，t，t）（1t，1t，t）（1t，2t1，0），ba ，故應(yīng)選。6已知向量a（1，1，0），b（1，0 ，2），且kab與2ab互相垂直，則k值是（）. 1； . ； . ； . 。解：ka+bk（1，1，0）（1，0 ，2）（k1，k，2），2ab2（1，1，0）（1，0 ，2）（3，2，2）， 兩向量垂直， 3（k1）2k2×20 ， ，故應(yīng)選。7如果三個(gè)向量a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3），c=（c1，c2，c3）共面且兩兩不共線，求證向量u=（a1，b1，c1），v=（a2，b2，c2），w